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SUBMÓDULO IV NOÇÕES DE MATEMÁTICA

SUBMÓDULO IV NOÇÕES DE MATEMÁTICA. SUBMÓDULO IV: NOÇÕES DE MATEMÁTICA. Estrutura do Submódulo. Unidade 1 – Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1); Unidade 2 – Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2); Unidade 3 – Introdução à Álgebra. Unidade 1

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SUBMÓDULO IV NOÇÕES DE MATEMÁTICA

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  1. SUBMÓDULO IV NOÇÕES DE MATEMÁTICA

  2. SUBMÓDULO IV: NOÇÕES DE MATEMÁTICA Estrutura do Submódulo Unidade 1 – Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1); Unidade 2 – Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2); Unidade 3 – Introdução à Álgebra.

  3. Unidade 1 Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1)

  4. Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1) Apresentação • Esta unidade tem como objetivo introduzir o aluno nos conceitos básicos da matemática, abrangendo: • Operações com números inteiros; • Operações com números negativos; • Potenciação; • Lei distributiva; • Ordem das operações. • Avançar no uso da matemática é pré-requisito para a continuidade dos estudos profissionalizantes ou universitários.

  5. Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1) 1. Introdução: Operações com Números Inteiros • 1.1 Adição (+) e Subtração (-) • Comutativo: • Nome matemático dado a certas operações; • Significa que se pode fazer a operação em qualquer ordem; • A adição é comutativa, pois que: • 2  4 significa a mesma coisa que 4  2  • A subtração não é comutativa, pois: • 21  6 não significa a mesma coisa que 6  21

  6. Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1) 1. Introdução: Operações com Números Inteiros • 1.1 Adição (+) e Subtração (-) • Pode-se rearranjar a ordem de uma soma envolvendo adições e subtrações, mas é preciso manter o número com o sinal exato que o precede. • Por exemplo: • 3  5  3  4  7  3  3  3  3  4  5  7 • b) 6  7  10  2  1  2  6  7  2  10  1  2

  7. Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1) 1. Introdução: Operações com Números Inteiros • 1.2 Multiplicação (x ou ) e Divisão (, / ou  ) • A multiplicação é uma operação comutativa: • a) 3  4  5  5  4  3 • A justaposição indica a multiplicação quando se utilizam letras para representar quantidades: • a) 3a significa 3 a e xy significa xy • b) ab3a 3aab • A divisão não é comutativa, pois 4  2  2  4.

  8. Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1) 1. Introdução: Operações com Números Inteiros • 1.3 Índices ou Potências • Notações abreviadas; • Quantas vezes um número é multiplicado por si mesmo: • a) • b) • Um índice negativo indica que a potência deve estar no denominador, com o número um no numerador: • a) • b)

  9. Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1) 1. Introdução: Operações com Números Inteiros • 1.4 Regras Adicionais Associadas com Multiplicação e Divisão • Zero: • Qualquer quantidade multiplicada por zero é zero; • O zero multiplicado por qualquer quantidade é zero; • a) • b) • c)

  10. Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1) 1.Introdução: Operações com Números Inteiros • 1.4 Regras Adicionais Associadas com Multiplicação e Divisão • Zero: • O zero dividido por qualquer quantidade é zero: • A operação de dividir por zero “não é definida”. Assim:

  11. Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1) 1. Introdução: Operações com Números Inteiros • 1.4 Regras Adicionais Associadas com Multiplicação e Divisão • Um: • A multiplicação de qualquer número por um significa que seu valor permanece o mesmo: • a) • b) • c)

  12. Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1) 2. Operações com Números Negativos • Adição e subtração: • Quando se subtrai um número positivo (ou se soma um número negativo), se move o ponto para a esquerda e se obtém um número menor. • A representação abaixo é da operação 3  5 2.

  13. Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1) 2. Operações com Números Negativos • Adição e subtração: • Quando se soma um número positivo (ou se subtrai um número negativo), se move o ponto para a direita e se obtém um número maior. • A representação abaixo é da operação: 3  7  4.

  14. Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1) 2. Operações com Números Negativos • Subtrair um número positivo e adicionar um número negativo resulta em um movimento à esquerda; • Adicionar um número positivo e subtrair um número negativo resulta em um movimento à direita:

  15. Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1) 2. Operações com Números Negativos • Multiplicação e divisão: • Veja o que acontece com o sinal: • a) 4 5 20 e 4  5 20 • 4 5  20 • Então:

  16. Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1) 2. Operações com Números Negativos • Da mesma forma, tem-se: • Multiplicar ou dividir duas quantidades com o mesmo sinal dá um resultado positivo; • Multiplicar ou dividir duas quantidades com sinais diferentes dá um resultado negativo. 

  17. Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1) 3. Potenciação • O sistema numérico: • Para a esquerda, aumenta em potências de 10; • Para a direita, diminui em potências de 10. • No número 123.456,78: • O número 1 diz quantos 100.000 existem, • O número 4 indica o número de centenas (100), • O número 7 indica o número de dezenas (10).

  18. Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1) 3. Potenciação • Ao multiplicar dois números juntos, tal como: • 200  3.000 • Usa-se o sistema do lugar do valor para representar: • (2  100) (3  1.000) • Pode-se reescrever como:

  19. Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1) 3. Potenciação • 3.2 Informações sobre as Calculadoras • A notação científica: • Quando o número for muito grande ou muito pequeno; • Consiste de escrever o número em duas partes: • A primeira parte é um número entre 1 e 10; • A segunda parte é a potência de 10. • Exemplos: • 2 milhões (2.000.000) seria escrito como 2  106. • 0,00345 seria escrito como 3,45  10-3.

  20. Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1) 3. Potenciação • Exemplos: • 2 milhões (2.000.000) seria escrito como 2  106. • 0,00345 seria escrito como 3,45  10-3. • No caso de 1  987654321, tem-se que: • 1  987654321  1,0125-09 0,0000000010125

  21. Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1) 4. Lei Distributiva Suponha que você tenha quatro crianças e que cada criança requer um penal ($ 2,50), uma régua ($ 1,25), um livro de exercícios ($ 2,25) e um conjunto de lápis coloridos ($ 12) para a escola. Uma forma de calcular o custo é multiplicar cada item por 4 e somar o resultado:

  22. Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1) 4. Lei Distributiva • Mas, não seria mais fácil calcular o custo de uma criança e então multiplicá-lo por 4? • sendo que: • A Lei Distributiva na matemática: • O cálculo envolvendo parênteses, • Calcula-se primeiro o que está dentro dos parênteses.

  23. Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1) 5. Ordem das Operações Considere a seguinte situação. Você trabalhou das 14h00 às 21h00 em um projeto. Como lhe foi exigido que a tarefa fosse concluída no dia seguinte, você pode pedir horas-extras. As taxas das 9h00 às 17h00 são de $ 25,00 por hora e das 17h00 até a meia noite aumentam para $ 37,50. Matematicamente, isso pode ser expresso como. Quanto você ganhou? Cálculo 1Cálculo 2

  24. Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1) 5. Ordem das Operações • A resposta certa é a do cálculo 2 ($ 225,00). • Convenções estabelecidas:  • Parênteses: avaliar a expressão que está dentro dos parênteses primeiro. Ex.: • Potências: avaliar as expressões elevadas à potência. • Ex.: • Divisão e multiplicação: dividir ou multiplicar da esquerda para a direita. Ex.: • Adição e subtração: somar ou subtrair da esquerda para a direita. Ex.:

  25. Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1) 6. Conclusões • O exercício de qualquer atividade profissional exige conhecimentos básicos de matemática. • Nesta unidade, foram explorados: • Conhecimentos básicos sobre operações com números inteiros, negativos, potenciação; • Algumas regras sobre a condução de operações, a partir da lei distributiva e da ordem das operações. • Tais conhecimentos evitam o uso indevido da matemática e aumentam as chances de que o indivíduo seja absorvido pelo mercado.

  26. Unidade 1: Exercícios de Fixação 1) Responda às seguintes questões com verdadeiro (V) e falso (F): a. ( ) A soma é uma operação comutativa. b. ( ) A subtração é uma operação comutativa. c. ( ) A ordem dos fatores altera o produto. d. ( ) A divisão é uma operação comutativa. e. ( ) A operação comutativa está relacionada com a ordens dos elementos para a realização dos cálculos. 2) Resolva as seguintes questões, apresentando os cálculos correspondentes:  a. 55 R.: b. 5-5 R.:

  27. Unidade 1: Exercícios de Fixação c. R.: d. R.: e. R.: f. Represente a operação 10  500.000 na forma geral e na forma reduzida. R.:

  28. Unidade 1: Exercícios de Fixação g. Você tem quatro trabalhadores em sua empresa e terá de comprar um par de botas ($ 100,00), um uniforme ($ 120,00) e um capacete ($ 50,00) para cada um. Utilizando-se a lei distributiva, demonstrar quanto você irá desembolsar. R.: h) O trabalhador tem seu expediente na fábrica das 14h00 às 22h00, pelo qual recebe $ 10,00 por hora. Quando faz hora extra, o indivíduo recebe 50% adicionais por hora trabalhada. Digamos que você tenha trabalhado um turno completo e feito mais duas horas extras, quanto você recebeu no final deste dia? R.:

  29. Unidade 2 Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2)

  30. Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2) Apresentação • Esta unidade tem como objetivo introduzir o aluno nos conceitos básicos da matemática, abrangendo: • Cálculos envolvendo decimais; • Cálculos envolvendo frações; • Cálculos de porcentagens; • Intercambiando frações, decimais e porcentagens.

  31. Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2) 1. Introdução: Cálculos Envolvendo Decimais • Os zeros à direita de um ponto decimal não têm valor: • No entanto, tais números têm determinada precisão: • 10,4 diz que esse número tem a precisão decimal, • o número 10,400000 tem uma precisão em milionésimos.

  32. Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2) 1. Introdução: Cálculos Envolvendo Decimais • 1.1 Arredondamentos • Arredondamento de 1,25687 para duas casas decimais: • Olhar a casa decimal que está após o número para o qual se deseja o arredondamento. Nesse caso, é a terceira casa; • Se o número é 6, 7, 8 ou 9, arredondar para cima. No exemplo, o número arredondado resulta em: 1,26; • Se o número é 0, 1, 2, 3 ou 4, o arredondar para baixo.

  33. Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2) 1. Introdução: Cálculos Envolvendo Decimais • 1.1 Arredondamentos • Arredondamento de 2,47568 para três casas decimais: • Se o número na casa decimal após a casa para a qual se deseja arredondar é o número 5, olhar para os números que o seguem. No exemplo, os números 568. • Se o número 568 estiver mais próximo de 600, arredondamos o 5 para cima, caso contrário, para baixo. Dessa forma, o número será arredondado para 2,476. • Se somente um 5 seguir a casa na qual se está interessado, arredondar ou para cima ou para baixo, pois ele está exatamente no meio termo entre 0 e 10.

  34. Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2) 1. Introdução: Cálculos Envolvendo Decimais 1.2 Adição e Subtração de Decimais Para somar ou subtrair números decimais, deve-se primeiro alinhar o ponto decimal. Por exemplo:

  35. Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2) 1. Introdução: Cálculos Envolvendo Decimais • 1.3 Multiplicação de Decimais • Duas decimais são multiplicadas juntas, da mesma forma como o são dois números inteiros: • Primeiramente, proceder a multiplicação, ignorando as casas decimais; • Então, contar o número de dígitos após o ponto decimal em ambos os números e somá-los em conjunto; • Finalmente, retorne o ponto decimal à posição apropriada no produto através da contagem para trás a partir do dígito do lado direito.

  36. Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2) 1. Introdução: Cálculos Envolvendo Decimais • 1.3 Multiplicação de Decimais • Por exemplo: calcular • Multiplicar 26 por 5: 26  5  130; • Contar o número de dígitos após o ponto decimal 1 + 3  4; • Retornar o ponto decimal para o produto, quatro casas antes do dígito do lado direito, somando zeros, se for necessário:

  37. Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2) 1. Introdução: Cálculos Envolvendo Decimais • 1.4 Divisão de Decimais • Para dividir números com decimais por números inteiros: • Colocar o ponto decimal na resposta, exatamente onde ele ocorre no número decimal. Por exemplo:  • Mover o ponto decimal no divisor (denominador) à direita, o suficiente para que ele se torne um número inteiro; • Mover o ponto decimal no dividendo (numerador) o mesmo número de casas à direita (somando zeros se necessário); • Realizar a divisão. Alguns exemplos:

  38. Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2) 2. Cálculos Envolvendo Frações

  39. Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2) 2. Cálculos Envolvendo Frações • 2.1 Alterar Números Mistos para Frações Impróprias • A fração pode ser expressa como , pois existem 15 quintos em 3 inteiros mais 4 quintos. • Isso pode ser feito pela multiplicação do número inteiro pelo denominador e somando o numerador

  40. Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2) 2. Cálculos Envolvendo Frações • 2.2 Alterar Frações Impróprias para Números Mistos • As frações impróprias são frações nas quais o numerador é maior do que o denominador, como por exemplo: • O processo para chegar no número misto apropriado é o seguinte:

  41. Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2) • 2.3 Multiplicação de Frações • Representar as frações em sua forma • Multiplicar os numeradores juntos e, então, multiplicar os denominadores juntos. Por exemplo: • 2.4 Divisão de Frações • É o mesmo que multiplicar por sua recíproca. • A recíproca de uma fração é a fração . Assim, o recíproco de é , o recíproco de é e o recíproco de 5 é . • Logo, para dividir por é o mesmo que multiplicar por • Por exemplo:

  42. Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2) • 2.5 Adição e Subtração de Frações • Converter as frações, para que tenham o mesmo denominador. • Duas frações são equivalentes se elas representam a mesma parte de um inteiro. • é equivalente a , pois elas representam a mesma quantia. • Para encontrar as frações equivalentes, multiplicar o topo e a base de uma fração pela mesma quantia. Por exemplo: • Encontrar as frações equivalentes para cada parte da soma, e, então, somar ou subtrair os numeradores, como por exemplo:

  43. Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2) 3. Cálculos de Porcentagens • Porcentagens são frações com o denominador de 100; • Às vezes não há 100 elementos para expressar uma fração ou uma porcentagem, encontrar uma • Encontrar uma fração equivalente de 100, multiplicando por 100, que é o mesmo que multiplicar por 1, como nos exemplos:

  44. Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2) 3. Cálculos de Porcentagens Para encontrar uma porcentagem, primeiro encontrar a fração. Se existem 15 homens, 13 mulheres e 22 crianças em um grupo, a fração de homens no grupo é de , pois existem 50 pessoas (15+13+22) no grupo. Você pode multiplicar por 100% e verificar que os homens correspondem a 30% do grupo

  45. Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2) 4. Intercambiando Frações, Decimais e Porcentagens • 4.1 Transformando Frações em Decimais • Para expressar uma fração como uma decimal, dividir o número do topo (numerador) pelo número da base (denominador). • Assegurar-se de colocar um ponto decimal depois do numerador e somar alguns zeros, como por exemplo:

  46. Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2) 4. Intercambiando Frações, Decimais e Porcentagens • 4.2 Transformando Frações em Porcentagens • Deve-se expressar a fração como uma decimal e, então, multiplicar o resultado por 100%. • Isso pode ser feito mudando o ponto decimal para duas casas à direita, como por exemplo: • Quando o denominador da fração a ser convertida segue uniformemente a 100, a porcentagem pode ser encontrada usando frações equivalentes:

  47. Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2) 4. Intercambiando Frações, Decimais e Porcentagens • 4.3 Transformando Porcentagens em Decimais • Para converter uma porcentagem em uma decimal, divide-se por 100. • Isso pode ser feito mudando-se o ponto decimal duas casas à esquerda. • Se não existe um ponto decimal, colocar um ponto decimal à direita do número inteiro, como por exemplo:

  48. Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2) 4. Intercambiando Frações, Decimais e Porcentagens • 4.4 Ordenando Frações, Decimais e Porcentagens • Para comparar números é usual fazer a conversão em decimais, • Escrever os números abaixo um do outro, alinhando-os pelos pontos decimais. • Preencher todos os espaços com zeros. • Comparar primeiro o alinhamento dos números inteiros, • então comparar o lado da fração. • Por exemplo, para expressar os números na ordem dos menores para os maiores:

  49. Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2) • Passos: • Converter todos os números em decimais: • Alinhar os números: • Preencher todos os espaços com zeros:

  50. Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2) • 4. Comparar os números inteiros. Se existe um alinhamento, comparar o lado das frações. Como seis dos números começam com zero, podemos comparar o lado direito: • 5. Expressar os números do menor para o maior:

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