บทที่ 7 ตัวแบบมาร์คอฟ (Markov Model)

1. บทที่ 7 ตัวแบบมาร์คอฟ (Markov Model)

2. ตัวแบบมาร์คอฟ (Markov Model) คือตัวแบบทางคณิตศาสตร์ที่ใช้ในการวิเคราะห์พฤติกรรมของตัวแปรเพื่อพยากรณ์พฤติกรรมในอนาคตของตัวแปรนั้น วิธีการใช้ตัวแบบมาร์คอฟได้รับ การพัฒนาโดยนักคณิตศาสตร์ ชาวรัสเซียชื่ออังเดรเอมาร์คอฟ

3. คุณสมบัติสำคัญของปัญหาคุณสมบัติสำคัญของปัญหา ที่จะนำตัวแบบมาร์คอฟมาแก้ปัญหา 1. ปัญหานั้นต้องมีผลลัพธ์ที่จะเกิดขึ้นจำนวนที่แน่นอนจำนวนหนึ่ง

4. 2. ค่าความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ถัดไปต้องขึ้นอยู่กับผลลัพธ์ก่อนหน้านั้น ?

5. 3. ค่าความน่าจะเป็นของการเกิดผลลัพธ์ต่างๆต้องมีค่าคงที่เสมอไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลาที่เปลี่ยนไป

6. ลูกโซ่มาร์คอฟ

7. ลูกโซ่มาร์คอฟ (Markov Chain) คือลำดับของการเกิดเหตุการณ์ซึ่งค่าความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์แต่ละเหตุการณ์จะขึ้นอยู่กับเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น ก่อนหน้านั้น

8. 1. เหตุการณ์ (Event) :สิ่งที่อาจเกิดขึ้นหรือการเปลี่ยนแปลงที่เกิดขึ้น 2. สถานะ (State) :สภาพที่เป็นอยู่ในเวลาใดเวลาหนึ่งซึ่งสถานะนั้นๆอาจจะเปลี่ยนแปลงหรือไม่เปลี่ยนแปลงก็ได้แต่ในระยะยาวสถานะนั้นๆจะคงที่

9. สัญลักษณ์ Sแทนสถานะ j ใดๆ (เมื่อ j = 1, 2, 3, …n) เช่นบริษัทหนึ่งมีพนักงาน 3 สถานะ (ระดับ) S1 = พนักงานระดับปฏิบัติการ S2 = หัวหน้างาน S3 = ผู้บริหาร

10. 3. ความน่าจะเป็นแบบทรานสิชั่น (Transition Probability)

11. 3. ความน่าจะเป็นแบบทรานสิชั่น (Transition Probability) สัญลักษณ์ Pij แทนความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนแปลงสถานะจาก Si ไป Sj เช่น P12 = 0.1 หมายถึงความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนแปลงสถานะจาก S1 ไปเป็น S2 มีค่าเท่ากับ 0.1

12. การแสดงค่าความน่าจะเป็นแบบทรานสิชั่นสามารถทำได้ 2 วิธี วิธีที่ 1การใช้ไดอะแกรมแสดงสถานะ (State Diagram) P12 = 0.4 0.7 0.6 S1 S2 P22 P11 P21 = 0.3

13. จากสถานะ เปลี่ยนไปเป็นสถานะ รวม S1 S2 S1 0.6 0.4 1 S2 0.3 0.7 1 วิธีที่ 2การใช้ทรานสิชั่นแบบเมทริกซ์ (Transition Matrix)

14. 4. ค่าความน่าจะเป็นแบบทรานเชียนท์ (Transient Probability)

15. 4. ค่าความน่าจะเป็นแบบทรานเชียนท์ (Transient robability) ค่าความน่าจะเป็นของการอยู่ในสถานะใดสถานะหนึ่งของลูกโซ่มาร์คอฟ (ค่าความน่าจะเป็นระยะสั้น) ก่อนที่จะเข้าสู่สถานะคงตัว สูตร P(S1) = P11 P(S1) + P21 P(S2) + P31 P(S3) + … Pn1 P(Sn) P(S2) = P12 P(S1) + P22 P(S2) + P32 P(S3) + … Pn2 P(Sn) P(S3) = P13 P(S1) + P23 P(S2) +P33 P(S3) นำค่าความน่าจะเป็นในตารางทรานสิชั่นเมทริกซ์มาแทนค่าในสูตรเพื่อหาค่าความน่าจะเป็น

16. 0.4 0.6 0.3 S1 S3 0.1 0.1 0.1 0.3 0.3 S2 0.8 ตัวอย่างที่ 7.2 หน้า 172 กรณีลูกโซ่มาร์คอฟมี 3 สถานะ จากไดอะแกรมข้างต้นนำมาเขียนในรูปของเมตริกซ์ เพื่อง่ายในการคำนวณ

17. จากสถานะ เปลี่ยนไปเป็นสถานะ รวม S1 S2 S3 S1 0.4 0.3 0.3 1 S2 0.1 0.8 0.1 1 S3 0.1 0.3 0.6 1 กำหนดให้ P(S1) = 0.4 P(S2) = 0.3 P(S3) = 0.3 (ค่าความน่าจะเป็นณปัจจุบัน)

18. การหาค่าความน่าจะเป็นในระยะสั้น (ทรานเชียนท์) (ค่าความน่าจะเป็นในครั้งถัดไป) โดยการนำค่าความน่าจะเป็นณปัจจุบันไปคูณกับความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนสถานะหนึ่งไปยังอีกสถานะหนึ่ง

19. P(S1) = P11 P(S1) + P21 P(S2) + P31 P(S3) สูตร • = (0.4)(0.4) + (0.1)(0.3) + (0.1)(0.3) • = 0.16 + 0.03 + 0.03 • = 0.22

20. P(S2) = P12 P(S1) + P22 P(S2) + P32 P(S3) • = (0.3)(0.4) + (0.8)(0.3) + (0.3)(0.3) • = 0.12 + 0.24 + 0.09 • = 0.45

21. P(S3) = P13 P(S1) + P23 P(S2) + P33 P(S3) • = (0.3)(0.4) + (0.1)(0.3) + (0.6)(0.3) • = 0.12 + 0.03 + 0.18 • = 0.33

22. ครั้งที่ P(S1) P(S2) P(S3) 1 0.4 0.3 0.3 = 1 2 0.22 0.45 0.33 = 1 3 0.166 0.525 0.309 = 1 4 0.150 0.565 0.285 = 1 5 0.145 0.580 0.275 = 1 ผลของการคำนวณค่าความน่าจะเป็นแบบทรานเชี่ยน ในครั้งต่อๆไป

23. ครั้งที่ 3 • P(S1) = (0.4)(0.22) + (0.1)(0.45) + (0.1)(0.33) • = 0.088 + 0.045 + 0.033 • = 0.166 • P(S2) = (0.3)(0.22) + (0.8)(0.45) + (0.3)(0.33) • = 0.066 + 0.36 + 0.099 • = 0.525

24. P(S3) = (0.3)(0.22) + (0.1)(0.45) + (0.6)(0.33) • = 0.066 + 0.045 + 0.198 • = 0.309 • หรือP(S3) = 1 – P(S1) – P(S2) • = 1 – 0.166 – 0.525 • = 0.309

25. 5. ความน่าจะเป็นแบบสเตดีเสตท (Steady – State Probability)

26. ความน่าจะเป็นแบบสเตดีเสตทความน่าจะเป็นแบบสเตดีเสตท (Steady – State Probability) ความน่าจะเป็นของการอยู่ในสถานะใดสถานะหนึ่งของ ลูกโซ่มาร์คอฟซึ่งมีค่าคงตัว (ค่าความน่าจะเป็นในระยะยาว)

27. จากสถานะ เปลี่ยนไปเป็นสถานะ S1 S2 S1 0.75 0.25 S2 0.25 0.75 P(S1) = P11 P(S1) + P21 P(S2) P(S2) = P12 P(S1) + P22 P(S2) P(S1) + P(S2) = 1 ตัวอย่าง 7.3 หน้า 175 สูตร หาค่าความน่าจะเป็นของ P(S1), P(S2), P(S3) โดยวิธีแก้สมการ

28. วิธีทำ แทนค่าP11 = 0.75, P21 = 0.25 P12 = 0.25, P22 = 0.75 P(S1) = P11 P(S1) + P21 P(S2) = 0.75 P(S1) + 0.25 P(S2) P(S2) = P12 P(S1) + P22 P(S2) = 0.25 P(S1) + 0.75 P(S2) P(S1) + P(S2) = 1 1 2 3

29. แก้สมการหาค่า P(S1) จากสมการ 1 P(S1) = 0.75 P(S1) + 0.25 P(S2) P(S1) – 0.75 P(S1) = 0.25 P(S2) 0.25 P(S1) = 0.25 P(S2) P(S1) = P(S2)

30. แก้สมการหาค่า P(S2) จากสมการ 2 • P(S2) = 0.25 P(S1) + 0.75 P(S2) • P(S2) – 0.75 P(S2) = 0.25 P(S1) • 0.25 P(S2) =0.25 P(S1) • P(S2) = P(S1) • จากสมการ 3 P(S1) + P(S2) = 1 • จากการแก้สมการ 1, 2, 3 จะได้ P(S1) = P(S2) • P(S1) = 0.5 • P(S2) = 0.5

31. โจทย์หน้า 180 – 182 • บริษัทแห่งหนึ่งมีพนักงานในระดับต่างๆรวมทั้งสิ้น 500 คนดังนี้ • ระดับ 1 มีจำนวน 350 คนคิดเป็น 70% • ระดับ 2 มีจำนวน 100 คนคิดเป็น 20% • ระดับ 3 มีจำนวน 50 คนคิดเป็น 10%

32. จากสถานะ เปลี่ยนไปเป็นสถานะ 1 2 3 1 0.90 0.10 0.00 2 0.20 0.75 0.05 3 0.10 0.00 0.90 พนักงานแต่ละระดับมีการเปลี่ยนแปลงสถานะดังนี้

33. นโยบายของบริษัทกำหนดไว้ว่าเมื่อไรที่มีคนออกไม่ว่าจะเป็นพนักงานระดับใดจะทำการจ้างพนักงานระดับ 1 เข้ามาทดแทนจำนวนที่ขาดไป ให้วิเคราะห์หาสัดส่วนของพนักงานในปีหน้าและสัดส่วนของพนักงานในระยะยาว

34. วิธีทำ 1. หาสัดส่วนพนักงานปีหน้า (ความน่าจะเป็นแบบทรานเชียนท์) กำหนดให้P(S1) = พนักงานระดับ 1 = 0.7 P(S2) = พนักงานระดับ 2 = 0.2 P(S3) = พนักงานระดับ 3 = 0.1

35. สูตรP(S1) = P11 P(S1) + P21 P(S2) + P31 P(S3) • = (0.9)(0.7) + (0.2)(0.2) + (0.1)(0.1) • = 0.63 + 0.04 + 0.01 • = 0.68 • P(S2) = P12 P(S1) + P22 P(S2) + P32 P(S3) • = (0.1)(0.7) + (0.75)(0.2) + (0)(0.1) • = 0.07 + 0.15 + 0 • = 0.22

36. P(S3) = P13 P(S1) + P23 P(S2) + P33 P(S3) • = (0)(0.7) + (0.05)(0.2) + (0.9)(0.1) • = 0 + 0.01 + 0.09 • = 0.10 • หรือP(S3) = 1 - P(S1) - P(S2) • = 1 – 0.68 – 0.22 • = 0.10

37. ในปีหน้าจำนวนพนักงานในระดับต่างๆจะเป็นดังนี้ในปีหน้าจำนวนพนักงานในระดับต่างๆจะเป็นดังนี้ จำนวนพนักงานระดับ 1 มีสัดส่วนเป็น68%หรือ340คน จำนวนพนักงานระดับ 2 มีสัดส่วนเป็น22%หรือ110คน จำนวนพนักงานระดับ 3 มีสัดส่วนเป็น10%หรือ50คน

38. 2. หาสัดส่วนพนักงานในระยะยาว • (ความน่าจะเป็นแบบสเตดีสเตท) • สร้างสมการจากตัวแบบมาร์คอฟ • P(S1) = 0.9 P(S1) + 0.2 P(S2) + 0.1 P(S3) • P(S2) = 0.1 P(S1) + 0.75 P(S2) + 0 P(S3) • P(S3) = 0 P(S1) + 0.05 P(S2) + 0.9 P(S3) • P(S1) + P(S2) + P(S3) = 1 1 3 2 4

39. แก้สมการหาค่า P(S1), P(S2), P(S3) พิจารณาสมการ 2 P(S2) = 0.1 P(S1) + 0.75 P(S2) + 0 P(S2) – 0.75 P(S2) = 0.1 P(S1) 0.25 P(S2) = 0.1 P(S1) (0.1 หาร) 2.5 P(S2) = P(S1) หรือเอา 0.25 หารจะได้ P(S2) = 0.4 P(S1) 5

40. พิจารณาสมการ 3 P(S3) = 0 + 0.05 P(S2) + 0.9 P(S3) P(S3) – 0.9 P(S3) = 0.05 P(S2) 0.1 P(S3) = 0.05 P(S2) (0.1 หาร) P(S3) = 0.5 P(S2) หรือเอา 0.05 หารจะได้ 2 P(S3) = P(S2) 6

41. แทนค่าในP(S1) + P(S2) + P(S3) = 1 2.5 P(S2) + P(S2) + 0.5 P(S2) = 1 4 P(S2) = 1 P(S2) = 0.25

42. แทน P(S2) ในสมการ 5, 6 • P(S1) = 2.5 P(S2) • = 2.5 (0.25)= 0.625 • P(S3) = 0.5 P(S2) • = 0.5 (0.25) = 0.125 • จะได้ : • P(S1) = 0.625 • P(S2) = 0.25 • P(S3) = 0.125

43. พนักงานระดับ 1 มีสัดส่วน62.5%หรือ312คน (312.5) พนักงานระดับ 2 มีสัดส่วน25%หรือ125 คน พนักงานระดับ 3 มีสัดส่วน12.5%หรือ63คน (62.5) หมายเหตุพนักงานระดับ 1, 3 ได้จากการปัดเศษให้เป็นจำนวนเต็ม