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Cinemática Rotacional

Cinemática Rotacional. Loreto A. Mora Muñoz LPSA Viña del Mar. L.A.M.M. Conceptos previos. La cinemática es una rama de la física mecánica, que se encarga del estudio y descripción del movimiento.

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Cinemática Rotacional

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Presentation Transcript

  1. Cinemática Rotacional Loreto A. Mora Muñoz LPSA Viña del Mar

  2. L.A.M.M. Conceptos previos. • La cinemática es una rama de la física mecánica, que se encarga del estudio y descripción del movimiento. • La cinemática rotacional dice relación con los movimientos en que hay rotación de un objeto respecto de un eje (o punto) central.

  3. L.A.M.M. Ejemplos: • El minutero de un reloj análogo rota respecto del centro del reloj. • Un automóvil que da la vuelta en una rotonda está girando alrededor del centro de la misma. • Los planetas giran en torno al Sol.

  4. L.A.M.M. Variables escalares. • Periodo: es el tiempo que demora en dar una vuelta completa (o una revolución) • Se le asigna la letra T y se mide en segundos(s) en el sistema MKS. • También se puede medir en minutos, horas, dias, años, etc.

  5. L.A.M.M. Ejemplo: • ¿Cuánto demora un minutero en dar una vuelta completa al reloj? • Como 1(min) es el tiempo que marca el minutero, la vuelta completa al reloj se da en 60(min), por lo tanto el periodo del minutero es T=60(min), o bien T=3600(s).

  6. L.A.M.M. Ejemplo: • Un ciclista demora 2(min) en dar tres vueltas en una rotonda. ¿Cuánto vale el periodo de su movimiento? • Si 3vueltas  120(s) 1vuelta  X (s) X = 120*1/3 El periodo del movimiento del ciclista es de 40(s)

  7. L.A.M.M. Variables escalares: • Frecuencia: es la cantidad de vueltas en cierto tiempo. Se denomina con la letra f y su unidad de medida es (1/s) a lo cual se le llama HERTZ (Hz) en el sistema MKS. • Se expresa como: • También se puede medir en RPM (revoluciones por minuto).

  8. L.A.M.M. Ejemplos: • ¿Cuál es la frecuencia de un motor que da 300 vueltas en 5 (s)? • Como : f = 300/5(s),  f = 60 (Hz) • Esto significa que da 60 vueltas en un segundo.

  9. L.A.M.M. Ejemplo: • ¿Cuál es el periodo del motor cuya f=60(Hz)? • Como sabemos que 60 vueltas  1(s) entonces: 1 vuelta  X(s) El periodo del motor es T = 1/60  T = 0,01667(s) • De lo que se deduce que f = 1/T

  10. L.A.M.M. Frecuencia y Periodo • Como vimos en el ejemplo anterior Periodo y frecuencia se relacionan de forma inversa, esto es, mientras uno aumenta el otro disminuye. • O bien a mayor frecuencia menor periodo, y viceversa. Es valido decir que: , o bien:

  11. L.A.M.M. Ejemplo: • Calcule el periodo y la frecuencia del planeta Tierra para su: • Rotación sobre su eje • Traslación respecto del Sol

  12. L.A.M.M. Solución: • Como da una vuelta completa en un día, sabemos que: 1(día) = 24(hrs), pero cada hora tiene 3600(s); por lo tanto: T = 24*3600 (s)  T = 86400 (s) Luego f = 1/T  f = 1/86400 f = 1,1574 x 10E-5 (Hz)

  13. L.A.M.M. Solución: b) Sabemos que el planeta demora 365 días en dar la vuelta completa alrededor del Sol. Por lo que T = 365(días)*24(hrs)*3600(s) Luego T = 31536000 (s) Entonces f = 1/T  f = 3,17x10E-8 (Hz)

  14. L.A.M.M. Ejemplo: • Un motor gira a 3000rpm ¿Cuánto vale su frecuencia en el Sistema Internacional? • Como se dan 3000 vueltas en 1 minuto, se puede decir que: 3000 rev 60 (s) X rev  1 (s) f = 50 (Hz)

  15. L.A.M.M. Variables Angulares. • En un plano cartesiano XY (en metros), podemos decir que un objeto se encuentra en las coordenadas (x,y)=(3,4), o bien podemos indicar su posición diciendo que está a 5(m) y a 36,9º sobre el eje X positivo.

  16. L.A.M.M. Variables Angulares • Posición angular: lugar en que se encuentra un objeto, medido en ángulos. (como el segundo caso del ejemplo anterior). • Se le asigna la letra griega θ y su unidad de medida es en radianes(rd), en el sistema MKS. • También se puede medir en grados, para lo cual se sabe que: 360º = 2π (rd)

  17. L.A.M.M. Ejemplo de cálculo: • ¿Cuántos radianes son 90º? • Como 360º = 2π (rd) • 90º = X (rd) X = 90*2π/360 • Luego 90º = π/2 (rd)

  18. L.A.M.M. Relación entre grados y radianes • Para una vuelta completa se tiene que:

  19. L.A.M.M. Pero: ¿Qué es un radián? • El radian se define como el ángulo para el cual el arco comprendido por dicho ángulo es igual al radio. • Entonces la razón (o división) entre el arco y el radio es igual a UNO. • Note que por ser una división entre magnitudes de distancia resulta una variable sin unidad de medida (adimensional).

  20. L.A.M.M. Ejemplo: • Se recorre un arco de 30(cm) en una circunferencia de 20(cm) de radio ¿Qué ángulo se abarca? ángulo (rd) = arco/radio ángulo = 1,5(rd) O bien: ángulo = 42,97º

  21. L.A.M.M. Ejemplo: • En una circunferencia de radio 50(cm) Un ángulo de 72º barre un arco de: a) 125 π (cm) b) 20 π (cm) c) 259,2 π (cm) d) 3600 π (cm) SOLUCION: 72º* π /180* = ángulo en radianes Ángulo = 0,4 π (rd) Luego arco/radio = ang (rd) Queda: ang (rd) *radio = arco 0,4 π (rd) * 50 (cm) = 20 π (cm)

  22. L.A.M.M. Desplazamiento angular. • Desplazamiento angular: se le denomina así al cambio de posición angular. • Se le designa Δθ = θf – θi • Es la diferencia entre la posición angular final y la posición angular inicial. Por tanto se mide también en radianes o grados.

  23. L.A.M.M. Ejemplo: • Un objeto que se encuentra en A, a 90º, gira alrededor de un eje hasta llegar a B, a 210º, como muestra la figura. ¿Cuánto vale su desplazamiento angular? Como: Δθ = θf – θi Δθ = 210º – 90º  Δθ = 120º Como 360º = 2π (rd)  120º = 2π/3 (rd) = Δθ

  24. L.A.M.M. Rapidez Angular • Rapidez (o velocidad) angular: es el desplazamiento angular efectuado en cierto intervalo de tiempo. Se expresa como: ω = Δθ/Δt • Su unidad de medida en el sistema MKS es el radian/segundos (rd/s) • También se puede medir en grados/seg.

  25. L.A.M.M. Ejemplo: • Para una circunferencia de 3(cm) de radio, se recorre un arco de 5(cm) en apenas 4(s). ¿Cuánto vale la rapidez angular para este movimiento? • Arco/radio = ang (rd)  ángulo = 1,67 (rd) Por lo tanto: ω = 1,67(rd) / 4 (s) ω = 0,4167 (rd/s)

  26. L.A.M.M. MCU • El Movimiento circular uniforme es aquel en el que la rapidez angular ω es constante. • Para este tipo de movimiento rotacional si ω es constante, entonces significa que el cambio en la posición angular es el mismo en iguales intervalos de tiempo.

  27. L.A.M.M. MCU • Por ejemplo si un ventilador de paletas gira con MCU dando 5 vueltas en 0,2 (s): • ¿Cuánto vale su periodo y su frecuencia? • ¿Cuánto vale su ω? • Cuantas vueltas dará en 5 (min)?

  28. L.A.M.M. Solución: • Como f = nº vueltas / tiempo, entonces: f = 5 vueltas / 0,2 (s)  f = 25 (Hz) Como T = 1/f  T = 0,04 (s)

  29. L.A.M.M. Solución: b) Como 1 vuelta = 2 π (rd) Y nos dicen que da una vuelta en 0,04 (s) Entonces: ω = 2 π (rd) / 0,04 (s) ω = 157 (rd/s) de aquí se obtiene que: ω = 2 π / T o bien: ω = 2 π f

  30. L.A.M.M. Solución: c) Como 5 (min) = 300 (s) Si da 5 vueltas  0,2 (s) X vueltas  300 (s) X = 5*300/0,2  X = 7500 vueltas

  31. L.A.M.M. MCU • Como ω es constante y vale: ω = Δθ/Δt • Si ti = 0 (s), entonces despejamos: ω = Δθ/t  ω*t= Δθ ω*t= θf – θi Luego queda: ω*t+ θi = θf es la ecuación de la posición para un objeto que se mueve con MCU

  32. L.A.M.M. Rapidez • La rapidez, es como se ha visto antes, la distancia recorrida en cierto intervalo de tiempo. • Como en el ejemplo anterior, se recorre un arco de 5 (cm) durante 4 (s), entonces la rapidez es V = 5(cm) / 4 (s) Nos queda: V = 1,25 (cm/s)

  33. L.A.M.M. Rapidez • Es la rapidez con que se recorre la circunferencia (o el arco) durante la rotación. • Si V = d/t, entonces en una vuelta completa: • V = Perímetro / Periodo , o bien:

  34. ¿Cuál es la relación entre V y ω? • Como ω = 2 π / T • Y V = 2 π R /T • Al realizar la division V / ω queda: V = 2 π R /T V / ω = R ω 2 π /T o bien: V = ω * R

  35. L.A.M.M. Ejemplo: • Calcule la rapidez con que se recorre una circunferencia de radio 20(cm) si el periodo de dicha rotación es de 1,2 (min) Como: V = 2πR/T V = 125,66 (cm) / 72 (s) V = 1,745 (cm/s)

  36. L.A.M.M. Ejemplo: • ¿Cuál es el periodo de un carrusel que gira a 0,1257(m/s) si el radio del mismo es de 3(m)? a) 23,866 (s) b) 18,85 (s) c) 47,73 (s) d) 150 (s) SOLUCION: 2 π R / T = V Luego: 2 π R / V= T 18,85 (m) / 0,1257 (m/s) = T T = 149,95 (s) ≈ 150 (s)

  37. Aceleración angular • Aceleración angular es el cambio en la rapidez angular en cierto tiempo. Se designa con la letra α y se expresa como: α = Δω / Δt • Su unidad de medida en el sistema MKS es el Radián/segundo cuadrado (rd/s^2)

  38. Aceleración angular: • Por ejemplo: un motor disminuye su frecuencia de 300 rpm a 120 rpm en 15 (s). ¿Cuánto vale la aceleración angular del motor?

  39. Solución: • Inicialmente: Como 300 rev 1 (min) 300 rev  60 (s) f = 5 (Hz) • Luego como: ω = 2 π f  ω = 10 π (rd/s)

  40. Solución: • Finalmente: Como 120 rev 1 (min) 120 rev  60 (s) f = 2 (Hz) • Luego como: ω = 2 π f  ω = 4 π (rd/s)

  41. Solución: • Sabemos que: α = ωf – ωi / t  α = 4 π – 10 π / 15 α = – 6 π / 15 La aceleración angular es α = – 0,4 π (rd/s^2) es más bien una desaceleración

  42. L.A.M.M. MCUA • Movimiento Circular Uniformemente Acelerado es aquel en que hay aceleración angular constante. • Esto significa que en iguales intervalos de tiempo la rapidez angular cambia en iguales valores.

  43. L.A.M.M. Ecuaciones del MCUA • Como existe aceleración, para cada tiempo hay una velocidad distinta, pero se despeja de la definición de aceleración: α = Δω / Δt si ti = 0 (s) Queda: α = Δω / t, despejamos α*t = ωf – ωi α*t + ωi= ωf Es la ecuación de la rapidez angular en función del tiempo

  44. L.A.M.M. Ecuaciones del MCUA • Como sabemos que: ω*t+ θi = θf • Pero ω no es constante, por lo que debemos buscar un valor promedio de ω: ωprom = ωi+ ωf reemplazamos en la 2 ecuación anterior y queda: ( ωi+ ωf )*t + θi = θf 2

  45. L.A.M.M. Ecuaciones del MCUA Despejamos ( ωi+ ωf )*t + θi = θf el paréntesis 2 ωi *t + ωf *t + θi = θf 2 2 Pero como: α*t + ωi= ωf Queda: ωi *t + (α*t + ωi)*t + θi = θf 2 2

  46. L.A.M.M. Ecuaciones del MCUA Despejamos nuevamente el paréntesis: ωi *t + (α*t + ωi)*t + θi = θf 2 2 ωi *t + α*t*t + ωi*t + θi = θf 2 2 2 Finalmente sumamos términos semejantes: α*t^2 + ωi *t + θi = θf 2 Es la ecuación de la posición angular en función del tiempo para un objeto que se mueve con MCUA

  47. L.A.M.M. Ejemplo: • ¿Cuantas vueltas dará una rueda en 5 s , si partiendo del reposo su aceleración angular es de 20 (rad/s^2) . • Como: α*t^2 + ωi *t + θi = θf 2 α*t^2 = Δθ20*25 = Δθ = 250 (rd) 2 2

  48. L.A.M.M. Ejemplo: • Si Δθ = 250 (rd) es el ángulo barrido • Y como: 2 π (rd) = 1 vuelta 250 (rd) = X vueltas Nos queda que dio: X = 39,788 vueltas.

  49. L.A.M.M. Cinemática Rotacional(cantidades vectoriales) Loreto A. Mora Muñoz LPSA Viña del Mar

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