A Fibonacci-féle sorozat

1. A Fibonacci-féle sorozat

2. Leonardo Pisano (1170-1250) olasz kereskedő-matematikus, a századfordulón egyike volt azoknak, akik a tízes alapú, helyi értékes rendszerre épülő számírási módot Európában meghonosították. Leonardo, ismertebb nevén Fibonacci kora matematikai ismereteit Liber Abaci címen ismert munkájában foglalta össze. E híres munkájában található a következő probléma, amit Fibonacci nyulaiként is gyakran emlegetnek:

3. „Hány pár nyúlra szaporodik egy év alatt a kezdeti pár, ha tudjuk, a nyulak két hónap alatt válnak ivaréretté, és ezután minden pár minden hónapban egy új párnak ad életet és mindegyikük életben marad?”

4. A feladat megoldásában a nyúl-párok számának időbeli alakulását kell követni. Az első hónapban egy nyúl-párunk van, és ugyanannyi lesz a másodikban is; a párok száma csak a harmadik hónapban változik egyről kettőre. A következő hónapban a szülők újabb párnak adnak életet, így a párok száma háromra nő. Az ötödik hónapban azonban már az új pár is szaporulatképes, így az új párok száma kettővel nő, és az összes párok száma ötre gyarapodik. A következő hónapban már mindkét ifjabb generáció hoz létre utódokat, és a párok száma hárommal növekedve nyolcra változik.

5. Eltelt idő Párok száma

6. A Fibonacci-féle sorozat néhány tulajdonsága • A) Az első n tag összege • B) Az első n tag négyzetének összege • C) A sorozat n-edik tagjának megállapítása

7. A) Az első n tag összege a1+a2+a3+a4+…+an-2+an-1+an= a1+a2+(a1+a2)+(a2+a3)+… +(an-4+an-3)+(an-3+an-2)+(an-2+an-1)= a2+2(a1+a2+a3+…+an-2)+an-1 Ebből az összefüggésből: a1+a2+a3+…+an-2=an-a2=an-1

8. B) Az első n tag négyzetének összege a1+a2+…+an ak+1=ak+ak-1 – szorozzunk ak-val és fejezzük ki ak-et ak=ak+1ak-akak-1 Ezért: 2 2 2 2 2

9. a1= a1a2 (mert a1=a2=1) a2=a3a2-a2a1 a3=a4a3-a3a2 an-1=anan-1-an-1an-2 an=an+1an-anan-1 a1+a2+…+an=anan+1 2 2 2 2 2 2 2 2

10. C) A sorozat n-edik tagja a1=1; a2=1; an=an-1+an-2 ha n≥3 Próbáljunk olyan x számot keresni, hogy x2=an legyen. Ennek az eljárásnak a végeredménye a következő lesz: n n 1 1 + √5 1 + √5 an = 2 √5 2

12. A Fibonacci-sorozat és az aranymetszés A Fibonacci-sorozat szoros kapcsolatban van az aranymetszéssel. A Fibonacci-sorozat elemei nem alkotnak mértani sorozatot, az egymást követő elemek hányadosa nem állandó, ami különösen jól látszik alacsony sorszámok esetén. Az elemek számának növelésével azonban ez a hányados egy állandó számhoz közelít.

13. A közelítés kétoldali: két egymást követő elem hányadosa nagyobb, illetve kisebb, mint a közrefogott aranyszám. Írjuk fel a Fibonacci-sorozat elemeit és vizsgáljuk a két egymást követő tag hányadosának alakulását!

15. Ez a kétoldali közelítés más módon is világossá tehető. Ismeretes a mértani sorozatnak azon tulajdonsága, miszerint a második tagtól kezdve bármely elem az előtte lévő és őt követő elem mértani középarányosa. Ez másképpen fogalmazva azt jelenti, hogy a középső elem négyzete a vele közvetlenül szomszédos elemek szorzatával egyenlő. A Fibonacci-sorozat elemeire vonatkozóan ez a tulajdonság azzal a módosítással érvényesül, hogy a sorozat bármely elemének a négyzete (a másodiktól kezdve) a szomszédos elemek szorzatánál egyel kisebb vagy egyel nagyobb. Az elemek négyzetei és a szomszédos tagok szorzatai a következő táblázatról leolvashatók:

17. Fibonacci-számok a természetben Fibonacci-spirál: A Fibonacci-spirál egy olyan logaritmikus spirál, ami egy negyedfordulat alatt nő a φ-szeresére (φ – ‘aranyszám’). A Fibonacci-spirálon egyenlő távolságra pontokat elhelyezve azok „spirálkarokká” állnak össze, és ezen karok száma Fibonacci-szám lesz. A Fibonacci-spirál mentén elhelyezett gömbök optimális elrendezést adnak abban az értelemben, hogy nagyon sok gömböt elhelyezve is azok egyenletesen oszlanak el.

18. A virágszirmok száma gyakran Fibonacci-szám: például a liliomnak, és a nősziromnak három; a haranglábnak, a vadrózsánakés a boglárkának öt; a szarkalábnak, a vérpipacsnak és a pillangóvirágnak nyolc; a jakabnapi aggófűnek, a hamvaskának és a körömvirágnak 13; az őszirózsának, a borzas kúpvirágnak 21; a fodroslevelű margitvirágnak, az útilapunak és egyes százszorszépeknek 34; más százszorszép-fajoknak pedig 55 vagy 89 szirma van. Fibonacci-spirálba rendeződnek például a fenyőtoboz és az ananász pikkelyei, a napraforgó magjai, a málna szemei, a karfiol és brokkoli rózsái és egyes kaktuszok tüskéi. A nautiluszok háza is hasonlít a Fibonacci-spirálhoz, de nem egy negyed, hanem egy teljes kör alatt nő meg a sugár a φ-szeresére.