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LES0407 Estatística Aplicada II

LES0407 Estatística Aplicada II. Prof. Dr. Vitor Ozaki. Probabilidade Condicional. De forma geral , a probabilidade condicional de A dado B , Pr(A|B ), será dado por: A probabilidade condicional de B dado A , Pr(B|A ), será dado por:. Probabilidade.

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  1. LES0407 Estatística Aplicada II Prof. Dr. Vitor Ozaki

  2. Probabilidade Condicional • De forma geral, aprobabilidade condicional de A dado B, Pr(A|B), será dado por: • A probabilidade condicional de B dado A, Pr(B|A), será dado por:

  3. Probabilidade • Imagine a mesmasituação da urna anterior, mas agora a primeira bola será repostaapós o sorteio; • Nessascondições, as extraçõessãoindependentes, pois o resultado de umaextraçãonãoteminfluência sobre a outra; • Aárvore de probabilidade será igual a:

  4. Árvore de Probabilidades 2/5 3/5 2/5 2/5 3/5 3/5

  5. Probabilidade • De forma geral, os resultados serão:

  6. Probabilidade • Note que nesse caso: • Pr(Cinzana 2º| Cinza na 1º) = 2/5 = Pr(Cinzana 2º) • Se indicarmos por A e B os seguintes eventos: • A: bola cinzana 2º extração; • B: bola cinzana 1º extração;

  7. Probabilidade • Percebe-se que: • Pr(A | B) = Pr(A) • Lembrando que Pr(A ∩ B) = Pr(A | B) . Pr(B) “regra do produto de probabilidades”; • Então, diz-se que o evento A independe do evento B, e: • Pr(A ∩ B) = Pr(A) . Pr(B)

  8. Eventos Independentes • De forma geral, podemos definir que dois eventos A e B sãoindependentes, se e somente se:

  9. Probabilidade • Considere agora, umaurna contendo2 cubos vermelhos e 3 cubos verdes, 3 bolas vermelhas e 1 bola verde. • Inicialmente, retira-se um objeto da urna; • Qual a probabilidade do objeto selecionado ser quadrado ou vermelho?

  10. Probabilidade Qual a probabilidade do objeto selecionado ser quadrado ou ser vermelho?

  11. Probabilidade Qual a probabilidade do objeto selecionado ser quadrado ou ser vermelho?

  12. (eventos disjuntos ou mutuamente exclusivos!!) Probabilidade

  13. Probabilidade • Considere agoraumaurna contendo6 bolas vermelhas e 5 bolas azuis. • Inicialmente, retiram-se duas bolas da urna; • Qual a probabilidade de escolher dois objetos vermelhos (sem reposição)?

  14. ? . . . Probabilidade Qual a probabilidade de escolher dois objetos vermelhos (sem reposição)? 11 10

  15. Probabilidade Qual a probabilidade de escolher dois objetos vermelhos (sem reposição)? 6 5

  16. Probabilidade Qual a probabilidade de escolher dois objetos vermelhos (sem reposição)?

  17. Probabilidade Qual a probabilidade de escolher dois objetos vermelhos (sem reposição)?

  18. Probabilidade Qual a probabilidade de escolher dois objetos vermelhos (sem reposição)?

  19. Probabilidade Qual a probabilidade de escolher dois objetos vermelhos (COM reposição)? (eventos independentes)

  20. Probabilidade Qual a probabilidade de escolher pelo menos 1 objeto vermelho em cinco retiradas?

  21. Probabilidade • Espaço amostral: C11,5 • Evento: pelo menos 1 V entre 5 – 1 V entre 6 e 4 não V entre 5 A; Pr(1V) = C6,1 . C5,4; • Evento: pelo menos 2 V entre 5 – 2 V entre 6 e 3 não V entre 5 A; Pr(2V) = C6,2. C5,3; • Evento: pelo menos 3 V entre 5 – 3 V entre 6 e 2 não V entre 5 A; Pr(1V) = C6,3. C5,2; • Evento: pelo menos 4 V entre 5 – 4 V entre 6 e 1 não V entre 5 A; Pr(1V) = C6,4. C5,1;

  22. Probabilidade • Evento: pelo menos 5 V entre 5 – 5 V entre 6 e 0 não V entre 5 A; Pr(1V) = C6,5. C5,0; • Ou, de forma mais rápida: • Pr(pelo menos 1 V) = 1 – Pr(5 A). • Pr(5 A) = 5/11 . 4/10 . 3/9 . 2/8 . 1/7 = 0,002 • Assim, Pr(pelo menos 1 V) = 1 – 0,002 = 0,998.

  23. Probabilidade

  24. eventos mutuamente exclusivos eventos independentes Probabilidade

  25. Probabilidade • Cálculo da probabilidade no caso infinito e contínuo, em que todos os eventos elementares tem a mesma chance de ocorrência. • Ex. Considere uma roleta (roda da fortuna) graduada de 0 a 1. A roleta ao ser rodada entra em contato com um ponteiro fixo que mostra o valor do perímetro do disco quando em repouso;

  26. Probabilidade • Nesse contexto o experimento seria o valor real y indicado pelo ponteiro quando este estiver em repouso. • Evento A ≡ 0,15 ≤ y ≤ 0,10 N(A) = 0,05; N(Ω) = 1; Pr(A) = 0,05

  27. Probabilidade • Evento B ≡ 0 ≤ y ≤ 0,8 • N(B) = 0,8; N(Ω) = 1; Pr(A) = 0,8 • Evento C ≡ B ∩ A • N(A) = 0,05; N(Ω) = 1; Pr(A) = 0,05

  28. Exercícios • A probabilidade de que um homem esteja vivo daqui a 30 anos é 2/5; a probabilidade de que a mulher esteja viva daqui a 30 anos é 2/3. Determinar a probabilidade de que daqui a 30 anos, • ambos estejam vivos; • somente o homem esteja vivo; • somente a mulher esteja viva; • nenhum esteja vivo; e • pelo menos um esteja vivo.

  29. Exercícios • a) ambos estejam vivos;

  30. Exercícios • somente o homem esteja vivo; • somente a mulher esteja viva;

  31. Obs: Exercícios • nenhum esteja vivo; • pelo menos um esteja vivo;

  32. Exercícios • Sejam A e B eventos tais que Pr(A) = 0,2; Pr(B) = p; e Pr(AB) = 0,6. Calcular p considerando A e B: • mutuamente exclusivos; • independentes.

  33. Exercícios • mutuamente exclusivos;

  34. Exercícios • independentes

  35. Teorema de Bayes • Probabilidade condicional – muitas vezes pode ocorrer o seguinte problema: qual a probabilidade de ocorrer certo evento dado que se sabe que outro evento ocorreu? • Ex. Considere o lançamento de um dado e os seguintes eventos. • A: sair resultado par. A ≡ {2, 4, 6} • B: resultado inferior a 3. B ≡ {1,2} • Segue-se que A ∩ B = {2}; • Pode-se verificar que Pr(A) = ½ e Pr(A ∩ B) = 1/6;

  36. Teorema de Bayes • Ex. Considere agora a seguinte situação: um dado foi lançado fora do alcance de nossa visão e fomos informados que o resultado foi par, ou seja, de que ocorreu A; • Nessas condições pergunta-se: qual a probabilidade de que tenha ocorrido o evento B?

  37. Teorema de Bayes • Espaço amostral: S ≡ {2,4,6} • Pr(B|A) = ? • O que interessa é um dos eventos: A ∩ B = {2} • Então: Pr(B|A) = 1/3

  38. Teorema de Bayes • Dividindo o numerador e o denominador por 6, temos que: • Teoremas importantes: • Teorema do Produto.

  39. Teorema de Bayes • Teorema das probabilidades totais: Em particular, se A e C pertencem a um espaço de eventos, então:

  40. Teorema de Bayes • Teorema de Bayes

  41. Teorema de Bayes • Ex. a administração de um fundo de investimentos em ações pretende divulgar, após o encerramento do pregão, a probabilidade de queda do IBOVESPA para o próximo dia, baseando-se em informações disponíveis até aquele momento. A previsão inicial é de 0,10; • Após o encerramento do pregão, a mídia noticia a desvalorização do real. A experiência passada mostra que quando houve queda no IBOVESPA no dia seguinte, 20% das vezes foram precedidas por esse tipo de notícia (desvalorização do real), enquanto nos dias em que houve alta, apenas em 5% das vezes houve a notícia no dia anterior;

  42. Teorema de Bayes • Seja E o evento queda no IBOVESPA, Pr(E) = 0,10; • Enquanto Pr(E) = 0,90; • Se B indicar desvalorização do real, então: Pr(B | E) = 0,20 e Pr(B | E) = 0,05; • Pergunta qual a probabilidade do IBOVESPA cair dado que houve desvalorização do real? Pr(E | B)? =

  43. Teorema de Bayes = = = 0,31 • Portanto, a nova informaçãoaumenta a chance de quehajaqueda no IBOVESPA DE 10% para 31%.

  44. Regras de Probabilidades - Revisão

  45. Regras de Probabilidades - Revisão

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