Aritmética de Números Cardinais

1. Aritmética de Números Cardinais André Vitor de Almeida Palmares (avap) Rodrigo Alves Costa (rac2)

2. Somas infinitas e produtos de números cardinais • No cap 5, vimos operações aritméticas em números cardinais. É razoável generalizar estas operações e definir somas e produtos de números cardinais. É natural esperar que: • Ou, de maneira mais geral: • A soma de dois números cardinais e foi definida como a cardinalidade de , sendo e conjuntos disjuntos tais que e • Assim, é possível generalizar a definição de soma da maneira a seguir.

3. Somas infinitas e produtos de números cardinais • Definição: seja um sistema de conjuntos mutuamente disjuntos, e seja para todo . Podemos definir a soma de por • A definição de usa conjuntos particulares . No caso finito, quando e , mostramos que a escolha de e é irrelevante. Provamos que se é um outro par de conjuntos disjuntos tais que então

4. Somas infinitas e produtos de números cardinais • Em geral, é necessário usar o Axioma da Escolha para provar o lema correspondente a somas infinitas. Sem o Axioma da Escolha, não é possível excluir a possibilidade a seguir: podem existir dois sistemas de conjuntos mutualmente disjuntos tais que cada e cada possua dois elementos, mas que não seja equipotente a … • Por causa disso, e devido ao fato de muitas considerações a seguir dependem do Axioma da Escolha, o mesmo será usado sem que isto seja sempre explicitado. • Lema: se e são sistemas de conjuntos mutualmente disjuntos tais que para todo , então

5. Somas infinitas e produtos de números cardinais • Lema: se e são sistemas de conjuntos mutualmente disjuntos tais que para todo , então • Prova: para todo , escolha um mapeamento um-para-um de em . Então é um mapeamento um para um de em • Este lema torna a definição de legítima. Uma vez que uniões infinitas de conjuntos são associativas, as somas infinitas de cardinais também são associativas. A operação tem outras propriedades razoáveis, como: se para todo então, . Entretanto, se para todo não é necessariamente verdade que

6. Somas infinitas e produtos de números cardinais • Se os termos da soma são todos iguais, então a afirmativa a seguir é verdade, da mesma forma que no caso finito: se para todo , então: • Também não é difícil avaliar somas infinitas. Por exemplo, considere: É fácil ver que esta soma é igual a . • Teorema: Seja um cardinal infinito, sejam números cardinais diferentes de zero, e seja Então:

7. Somas infinitas e produtos de números cardinais • Teorema: Seja um cardinal infinito, sejam números cardinais diferentes de zero, e seja Então: • Prova: Por um lado, para cada , entao > Por outro lado, percebemos que Temos também : a soma é um limitante superior dos e é o menor limitante superior. Uma vez que tanto quanto são verifica-se que , que é maior que os dois, também é A conclusão deste teorema é agora uma consequência do Teorema de Cantor-Bernstein.

8. Produto • O produto de dois cardinais e foi previamente definido como a cardinalidade do produto cartesiano , onde e são conjuntos arbitrários tais que e . Isto é generalizado da seguinte forma: • Definição: Seja uma família de conjuntos tais que para todo . Definimos o produto de por: • Assim como para soma, a definição de não depende de conjuntos particulares.

9. Produto • Lema: Se e são tais que para todo , então . • Prova: para cada , escolha um mapeamento um-para-um de em . Seja uma função em definida da maneira seguir: se seja . Então é um mapeamento um-para-um de em • Os produtos infinitos possuem muitas propriedades de produtos finitos de números naturais. Por exemplo, se ao menos um é 0, então . Os produtos também são associativos; uma outra propriedade simples é que se para todo , então . Se todos os fatores são iguais a , então temos, assim como no caso finito,

10. Produto • As regras a seguir, que envolvem exponenciação, também são generalizadas do caso finito (para o infinito): • Produtos infinitos são mais difíceis de avaliar do que somas infinitas. Em alguns casos especiais, como ao avaliar o produto <I de uma sequência crescente de cardinais, algumas regras podem ser provadas. Vamos considerar o caso a seguir:

11. Produto • Primeiro, notamos que: • Temos que: • E então concluímos que: • Podemos então provar um teorema importante, que pode ser usado para derivar várias desigualdades na aritmética de cardinais… o teorema de Konig.

12. Teorema de Konig • Teorema de Konig: se e são número cardinais, e se para todo , então. • Prova: primeiro, vamos mostrar que Sejam e tais que e para todo e os são mutuamente disjuntos. Podemos assumir que para todo . Podemos achar um mapeamento um-para-um de em Escolhemos para cada , e definimos uma função f a seguir: para todo , seja o único i tal que . Seja onde

13. Teorema de Konig • Se seja e e mostremos que Se ix = iy = i, então enquanto . Se então enquanto . Em ambos os casos, e então f é um-para-um. • Agora, vamos mostrar que . Seja tal que para todo . Se o produto fosse igual a soma , poderíamos achar subconjuntos mutuamente disjuntos do produto cartesiano tal que para todo i e

14. Teorema de Konig • Podemos mostrar que isto é impossível. Para cada , seja, (1.8) (observe a figura) • Para todo , temos , já que Então existe tal que . Seja , pode-se mostrar facilmente que b não é um membro de nenhum Para qualquer , e então, por (1.8), . Então não é todo o conjunto , uma contradição.

15. Teorema de Konig • Podemos usar o Teorema de Konig na seção 3; no momento apenas mencionamos que o teorema (e sua prova), são generalizações do Teorema de Cantor que fala que para todo . Se expressarmos como a soma infinita e como o produto infinito podemos aplicar o Teorema de Konig (já que 1 < 2) e obter