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Tema 14

Tema 14. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL. Tema 10.3 * 1º BCS. AMPLIACIÓN DEL BINOMIO DE NEWTON. BINOMIO DE NEWTON. Observar las potencias: Fijarse en los coeficientes : 0 (a+b) = 1 1

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Presentation Transcript

  1. Tema 14 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Matemáticas Aplicadas CS I

  2. Tema 10.3 * 1º BCS AMPLIACIÓN DEL BINOMIO DE NEWTON Matemáticas Aplicadas CS I

  3. BINOMIO DE NEWTON Observar las potencias: Fijarse en los coeficientes: • 0 • (a+b) = 1 1 • 1 • (a+b) = a + b 1 1 • 2 2 2 • (a+b) = a + 2.a.b + b 1 2 1 • 3 3 2 2 3 • (a+b) = a + 3.a .b + 3.a.b + b 1 3 3 1 • 4 4 3 2 2 3 4 • (a+b) = a + 4.a . b + 6.a . b + 4.a. b + b 1 4 6 4 1 • ............ = ..................... • Ya vistos por ser todos productos notables. Forman un triángulo • llamado • Triángulo de Tartaglia Matemáticas Aplicadas CS I

  4. PROPIEDADES, que podemos comprobar con los ejemplos que sirven de base para el desarrollo de Newton: • 1.- El número de sumandos o términos del desarrollo siempre es igual al número del exponente más uno. • 2.- Los coeficientes numéricos forman siempre un triángulo, donde un coeficiente cualquiera es siempre igual a la suma de los dos coeficientes que están por encima de él. • 3.- El grado de todos y cada uno de los términos del desarrollo es siempre el mismo, e igual al exponente del binomio. • 4.- El grado del primer término del binomio, de ‘a’, va disminuyendo desde el valor del exponente hasta cero. • 5.- El grado del segundo término del binomio, de ‘b’, va aumentando desde cero hasta el valor del exponente. • 6.- La suma de los grados de ‘a’ y de ‘b’ , en todos y cada uno de los términos del desarrollo es siempre el mismo, e igual al exponente del binomio. • 7.- Si el binomio es una resta en lugar de una suma, los términos de lugar par del desarrollo serán de signo negativo. • 8.- Los coeficientes numéricos presentan siempre simetría. Son todos ellos Combinaciones sin repetición: C m,n • donde ‘m’ es el exponente del binomio y ‘n’ varía de 0 a ‘m’ Matemáticas Aplicadas CS I

  5. EJEMPLOS DEL BINOMIO DE NEWTON • (x + 2)5 = C5,0 .x5 + C5,1 .x4 .2 + C5,2 .x3 .4 + C5,3 .x2 .8 + C5,4 .x .16 + C5,5 . 32 • (x – 3)4 = C4,0 .x4 – C4,1 .x3 .3 + C4,2 .x2 .9 – C4,3 .x . 27 + C4,4 . 81 • (4 – x)5 = C5,0 .45 – C5,1 .44 .x + C5,2 .43 . x2 – C5,3 .42 . x3 + C5,4 . 4. x4 – C5,5 . x5 • (x + 1)17 = C17,0 .x17 + C17,1 .x16 + C17,2 .x15 + …. + C17,16 .x + C17,17 • (x + 3)5000 = C5000,0 .x5000 + C5000,1 .x4999 .3 + C5000,2 .x4998 .9 + … + C5000,5000 . 35000 • (– 2.x – 3)9 = C9,0 .(- 2x)9 + C9,1 .(- 2x)8 .(- 3) + C9,2 .(- 2x)3 .(- 3)2 +…. + C9,9 .(- 3)9 Matemáticas Aplicadas CS I

  6. PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS COMBINATORIOS • m m • I. ( ) = ( ) = 1 • 0 m • m m • II. ( ) = ( ) • n m – n • m m m + 1 • III. ( ) + ( ) = ( ) • n – 1 n n • m m m m • IV. ( ) + ( ) + ( ) + … + ( ) = 2 m • 0 1 2 m Matemáticas Aplicadas CS I

  7. Ejemplos (Verificación) • 5 5 • I. ( ) = ( ) = 1  5! / 0!.(5 – 0)! = 5! / 1.5! = 1 • 0 5 • 6 6 • II. ( ) = ( )  6! / 2!.(6 – 2)! = 6! / 4!.(6 – 4)! ; 15 = 15 • 2 4 • 5 5 6 • III. ( ) + ( ) = ( )  5! / 3!.(5 – 3)! + 5! / 4!.(5 – 4)! = • 3 4 4 • = 6! / 4!.(6 – 4)!  20 / 2 + 5 / 1 = 30 / 2  10+5 = 15 • 3 3 3 3 • IV. ( ) + ( ) + ( ) + ( ) = 23  1 + 3 + 3 + 1 = 23  8 = 8 • 0 1 2 3 Matemáticas Aplicadas CS I

  8. BINOMIO DE NEWTON • EXPRESIÓN FORMAL DEL BINOMIO DE NEWTON • m 0 m 1 m-1 2 m-2 2 m m • (a+b) = C .a + C .a . b + C . a . b + ... + C . b • m m m m • Ejemplo: • 4 0 4 1 3 2 2 2 3 3 4 4 • (7+ 5) = C .7 + C .7 . 5 + C . 7 . 5 + C . 7. 5 + C . 5 • 4 4 4 4 4 • 4 4 3 2 2 3 4 • 12 = 1. 7 + 4.7 .5 + 6.7 .5 + 4.7.5 + 1.5 , que se puede comprobar. Matemáticas Aplicadas CS I

  9. Tema 10.4 * 1º BCS EXPERIMENTO DE BERNOUILLI Matemáticas Aplicadas CS I

  10. EXPERIMENTO DE BERNOUILLI • Se conoce como experimento de Bernouilli un experimento aleatorio que sólo tiene dos resultados posibles, complementarios entre sí. • Los sucesos de un experimento de Bernouilli se denominan éxito (E) y fracaso (F). • Se considera la variable aleatoria X que asocia al suceso éxito el valor 1, y al suceso fracaso el valor 0. • P(X=1) = p ,, P(X=0) = 1 – p = q • CÁLCULO DE PARÁMETROS • MEDIA μ = 0.q + 1.p = p • DESVIACIÓN TÍPICA σ =√ (02.q + 12.p – p2) = √ p.(1 – p) = √ p.q • Como toda función de probabilidad discreta, p+q = 1, con p >0 Matemáticas Aplicadas CS I

  11. Si un experimento de Bernouilli se repite n veces, tendremos: • n 0 n 1 n-1 2 n-2 2 n n • ( q + p ) = C . q + C . q . p + C . q . p + ... + C . p • n n n n • Siendo p la probabilidad de éxito (E) y q la de fracaso (F). • Como p+ q = 1 siempre, la suma de los (n + 1) términos es 1. • Y cada uno de los sumandos es una probabilidad: • P(X=0) = probabilidad de 0 éxitos • P(X=1) = probabilidad de 1 éxitos • P(X=2) = probabilidad de 2 éxitos • ……………………………………… • P(X=k) = probabilidad de k éxitos • …………………………………….. • P(X=n) = probabilidad de n éxitos • Al tener el experimento de Bernouilli sólo dos valores de la variable, podemos aplicar el Binomio de Newton en su repetición. Matemáticas Aplicadas CS I

  12. EJEMPLO DE APLICACIÓN de DISTRIBUCIÓN BINOMIAL • Se sabe que 7 de cada 10 personas tienen el carnet de conducir. Se toma una muestra aleatoria de 3 personas. • Hallar la probabilidad de que 0 personas tengan el carnet. • Hallar la probabilidad de que 1 personas tengan el carnet. • Hallar la probabilidad de que 2 personas tengan el carnet. • Hallar la probabilidad de que 3 personas tengan el carnet. • Resolución • La probabilidad de que una persona cualquiera tenga el carnet es: • P(E) = p = 7/10 = 0,70 por la Regla de Laplace. • La probabilidad de que no lo tenga será: • P(F) = 1 – P(E) = 1 – p = 1 – 0,70 = 0,30 = q • Es un experimento de Bernouilli. • Media μ = p = 0,70 • Desviación típica σ = √ p.q = √ 0,70.0,30 = √ 0,21 = 0,4582 Matemáticas Aplicadas CS I

  13. Tomar una muestra de 3 personas y ver si tienen o no el carnet de conducir es repetir el experimento de Bernouilli tres veces. • Estamos en la llamada Distribución Binomial y se denota así: • B(n,p) • Donde p es la probabilidad de éxito y n el número de veces que se repite el experimento de Bernouilli. • En nuestro ejemplo: B(3, 0,7) • Y ayudándonos por el Binomio de Newton: • 3 0 3 1 2 2 2 3 3 • ( 0,3 + 0,7 ) = C . 0,3 + C . 0,3 . 0,7 + C . 0,3 . 0,7 + C . 0,7 = • 3 3 3 3 • = (1.0,027) + (3.0,063) + (3.0,147) + (1.0,343) = • = 0,027 + 0,189 + 0,441 + 0,343 , que son respectivamente las probabilidades de que tengan carnet de conducir 0, 1, 2 y 3 personas. • Se cumple que: (0,3 + 0,7)3 = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) • Como (0,3 + 0,7)3 = 13 = 1, se puede comprobar que la suma es 1. • 0,027 + 0,189 + 0,441 + 0,343 = 1 Matemáticas Aplicadas CS I

  14. Ampliación del EJEMPLO • Se sabe que 7 de cada 10 personas tienen el carnet de conducir. Se toma una muestra aleatoria de 8 personas. • Hallar la probabilidad de que 3 personas tengan el carnet. • Hallar la probabilidad de que ninguna persona tenga el carnet. • Hallar la probabilidad de que más de una persona tenga el carnet. • Hallar la probabilidad de que 4 ó 5 personas tengan el carnet. • Resolución • La probabilidad de que una persona cualquiera tenga el carnet es: • P(E) = p = 7/10 = 0,70 por la Regla de Laplace. • P(F) = q = 1 – P(E) = 1 – p = 1 – 0,70 = 0,30 • Podemos usar el binomio de Newton: • 8 0 8 1 7 • ( 0,3 + 0,7 ) = C . 0,3 + C . 0,3 . 0,7 + … • 8 8 • Pero es excesivamente largo (9 sumandos) y laborioso. • Tenemos que ir directamente al sumando o sumandos correspondientes y calcular sus valores. Y si podemos usar Tablas, mejor. Matemáticas Aplicadas CS I

  15. …. Ampliación del EJEMPLO • B(n, p)  B(8, 0´7), donde p=0,7, q = 0,3 • Hallar la probabilidad de que 3 personas tengan el carnet. • r n – r 3 5 • P(X=r) = C . p . q = C .0,7 .0,3 = 56.0,343.0,00243 = • n, r 8,3 = 0,046675 • Hallar la probabilidad de que ninguna persona tenga el carnet. • 0 8 • P(X=0) = C . 0,7 .0,3 = 1.1.0,000065 = 0,000065 • 8, 0 • Hallar la probabilidad de que más de una persona tenga el carnet. • P(X>1)=1 – P(X=0) – P(X=1) = 1 – 0,0001 – 0,0012 = 0,9987 • Hallar la probabilidad de que 4 ó 5 personas tengan el carnet. • P(X=4)+P(X=5) = 0,1361 + 0,1468 = 0,2829 • Nota: Cuando p > 0,5 no podemos usar las Tablas directamente. • Argucia: Si p=0,7 y nos piden P(X=5) en la binomial B(8, 0,7), equivale a hallar P(X=3) en la Binomial B(8, 0,3). • Hallar la probabilidad de que 5 de las 8 personas tenga carnet es lo mismo que hallar la probabilidad de que 3 de las 8 personas no lo tengan. Matemáticas Aplicadas CS I

  16. USO DE TABLAS • Si p>0,50 invertimos el enunciado y podemos usar las Tablas • Ahora tenemos B(8, 0,3), donde P(E) es que no tengan carnet. • Hallar la probabilidad de que 3 personas tengan el carnet. • Hallar la probabilidad de que 5 personas NO tengan el carnet. • Por Tablas: P(X=5) = 0,0467 • Hallar la probabilidad de que ninguna persona tenga el carnet. • Hallar la probabilidad de que Todas las persona no tenga el carnet. • Por Tablas: P(X=8) =0,0001 • Por la fórmula nos había dado 0,000065, lo que implica que está redondeado el resultado. • Hallar la probabilidad de que más de una persona tenga el carnet. • Hallar la probabilidad de que ninguna o una persona NO tenga el carnet. • Por Tablas: P(X=0)+P(X=1) = 0,0576 + 0,1977 = 0,2553 • Hallar la probabilidad de que 4 ó 5 personas tengan el carnet. • Hallar la probabilidad de que 3 ó 4 personas NO tengan el carnet. • P(X=3)+P(X=4) = 0,2541 + 0,1361 = 0,3902 Matemáticas Aplicadas CS I

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