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Trigonometria. Autor: José António F ernandes de Freitas. Aceite para publicação em 22 de Setembro de 2011. Aplicações da Trigonometria.
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Trigonometria Autor: José António Fernandes de Freitas Aceite para publicação em 22 de Setembro de 2011
Aplicações da Trigonometria A palavra Trigonometria é formada por três radicais gregos: tri (três), gonos (ângulos) e metron (medir). Daí vem o seu significado mais amplo: Medida dos Triângulos, assim através do estudo da Trigonometria podemos calcular as medidas dos elementos do triângulo (lados e ângulos). Com o uso de triângulos semelhantes podemos calcular distâncias inacessíveis A Trigonometria é um instrumento potente de cálculo, que além do seu uso na Matemática, também é usado no estudo de fenómenos físicos, Eletricidade, Mecânica, Música, Topografia, Engenharia entre outros.
Alguns exemplos básicos de aplicações práticas da trigonometria
Distâncias dentro do sistema solar • Distância de planetas inferiores Quando o planeta inferior (tem a sua órbita menor que a da terra) em máxima elongação (emax), o ângulo entre a Terra e o Sol, na posição do planeta, será 90º. Então, nessa situação Sol, Terra e planeta formam um triângulo retângulo, e a distância do planeta ao sol será:
Distância de planetas superiores Considerando o triângulo formado pelo sol, Terra e planeta (SE’P’), o ângulo entre o Sol e o planeta, visto da terra é 90º, e o ângulo formado entre a Terra e o planeta é α. Então a distância entre o Sol e o planeta será:
Determinação do raio lunar Um observador com ajuda de aparelhos especiais que lhe forneçam o ângulo em que ele vê a lua e a distância em que a lua se encontra da Terra, pode descobrir o raio da lua, apenas utilizando a lei do seno: substituindo, , o que deduz a fórmula:
Análise e estudo da frequência cardíaca. A variação da pressão sanguínea (em mm HG) de uma pessoa, em função do tempo (em s), é uma função trigonométrica cuja lei é dada por:
Fenómenos periódicos Em matemática, as funções trigonométricas são funções angulares, importantes no estudo dos triângulos e na modelação de fenómenos periódicos. Nós chamamos um fenómeno de periódico quando este fenómeno se repete após certo intervalo de tempo (período). Se um fenómeno é sabidamente periódico, podemos prever com relativa facilidade o que ocorre em momentos não observados.
Dado um ângulo de medida x, a função seno é a relação que associa a cada x ϵ IR, o seno do ângulo x, definido pelo número real sen(x). A função é definida por f(x) = sen(x) ou y = sen(x) Clique na figura abaixo para visualizar o gráfico da restrição da função seno ao intervalo [0, 2π]. O traçado representado na figura anterior corresponde a uma volta no círculo trigonométrico, de 0 a 2π. Continuando a dar voltas no círculo, no sentido positivo ou no sentido negativo, obtém-se o gráfico da função seno, que pode ser visto como uma sucessão repetitiva da curva anteriormente apresentada.
A seguir apresenta-se parte da representação gráfica da função seno, um pouco mais «estendida» no seu domínio. O gráfico da função seno é uma curva que se designa por sinusóide. Clique na imagem anterior e resolva os exercícios 3, 4, 5 e 6 da ficha orientada.
Transformações no gráfico da função seno A periodicidade das funções trigonométricas permite que estas sejam frequentemente utilizadas para definir modelos matemáticos que ajudam à compreensão de inúmeros fenómenos periódicos, tais como: marés, fases da lua, ondas sonoras, órbitas de satélites, etc. Um modelo muito utilizado para este tipo de fenómenos é definido por f(x) = a.sen(bx + m) + k, onde os parâmetros reais a, b e m são, em vários contextos, designados como amplitude, frequência e desfasamento, respectivamente.
Sugere-se uma pequena investigação sobre esta família de funções. Partindo da função seno e recorrendo ao Geogebra, estude a influência de cada parâmetro no comportamento da função, nomeadamente em relação ao período, contradomínio, zeros e extremos. Situação 1: Consideremos a função cuja expressão é dada por y = f1 (x) = sen(x) + k, onde k é uma constante real. A pergunta natural a ser feita é: “Qual a ação da constante k no gráfico desta nova função quando comparado ao gráfico da função inicial y = sen(x)?” Para ajudar na resposta a esta questão clique aqui.
Situação 2: Ainda podemos pensar numa função seno que seja dada pela expressão y = f2 (x) = a.sen(x), onde a é uma constante real, a ≠ 0. A pergunta natural a ser feita é: “Qual a ação da constante a no gráfico desta nova função quando comparado ao gráfico da função inicial y = sen(x)?” Para ajudar na resposta a esta questão clique aqui.
Situação 3: Consideremos agora uma função seno que seja dada pela expressão y = f3 (x) = sen(x + m), onde m é uma constante real, m ≠ 0. A pergunta natural a ser feita é: “Qual a ação da constante m no gráfico desta nova função quando comparado ao gráfico da função inicial y = sen(x)?” Para ajudar na resposta a esta questão clique aqui.
Situação 4: Consideremos agora uma função seno que seja dada pela expressão y = f4 (x) = sen(bx), onde b é uma constante real, b ≠ 0. A pergunta natural a ser feita é: “Qual a ação da constante b no gráfico desta nova função quando comparado ao gráfico da função inicial y = sen(x)?” Para ajudar na resposta a esta questão clique aqui.
Agora que já estudou o efeito de cada parâmetro separadamente, chegou o momento de os colocar a todos em ação. O gráfico da função f(x), representado a negro, foi gerado aleatoriamente. O seu desafio é encontrar os valores dos coeficientes a, b, c e d da função g(x) (a vermelho) de modo que o gráfico desta função seja igual ao gráfico de f(x). Para resolver o desafio clique aqui.
A função cosseno é a correspondência unívoca que associa a cada número real x o valor do cosseno de x, tal como definido no círculo trigonométrico. Clique na figura abaixo para visualizar o gráfico da restrição da função cosseno ao intervalo [0, 2π].
A seguir apresenta-se parte da representação gráfica da função cosseno, um pouco mais «estendida» no seu domínio. O gráfico da função cosseno é o transformado do gráfico da função seno pela translação horizontal associada ao vetor (-π/2 ; 0). Clique na imagem anterior e resolva os exercícios 14, 15, 16 e 17 da ficha orientada.
A função tangente é a correspondência unívoca que associa a cada número real x, que não pertença a {x ϵ IR : x = (π/2) + k π, kϵ Z}, o valor da tangente de x, tal como definido no círculo trigonométrico. Clique na figura abaixo para visualizar o gráfico da restrição da função tangente ao intervalo [0, 2π], para os valores de x onde a tangente está definida.
A seguir apresenta-se parte da representação gráfica da função tangente, um pouco mais «estendida» no seu domínio. Clique na imagem anterior e resolva os exercícios 20, 21, 22 e 23 da ficha orientada.
Observe, agora, como as funções trigonométricas também podem representar figuras interessantes. Figura 1 – clique aqui. Figura 2 – clique aqui. Figura 3 – clique aqui. FIM
Ficha técnica Autor da atividade : José António Fernandes de Freitas Licença da atividade: Creative Commons da Casa das Ciências
