Paklaidų analizė

1. Paklaidų analizė 3 paskaita

2. Absoliučiosios paklaidos Apibrėžimas. Apytiksliu skaičiumi a vadinamas skaičius, labai mažai tesiskiriantis nuo tikslaus skaičiaus A ir pakeičiantis šį skaičių skaičiuojant. Apibrėžimas. Tikslaus ir apytikslio skaičių skirtumo modulį vadiname apytikslio skaičiaus absoliučiąja paklaida ir žymime ∆, t.y.: |A-a|= ∆. Daugeliu atvejų galima nustatyti tokį teigiamą kiek galima mažą skaičių ∆a, nemažesnį už absoliučiąją paklaidą, t.y. ∆≤ ∆a. Skaičius ∆a vadinamas skaičiaus aribine absoliučiąja paklaida.

3. Santykinės paklaidos Absoliučioji paklaida nepakankamai apibūdina matavimo arba skaičiavimo tikslumą. Norint tiksliau apibūdinti matavimo arba skaičiavimo tikslumą, vartojama santykinė paklaida. Apibrėžimas. Skaičiaus asantykinė paklaida lygi jo absoliučiosios paklaidos bei tikslaus skaičiaus A modulio santykiui ir žymima δ, t.y. Čia taip pat įvedame ribinę santykinę paklaidąδa, kuri nemažesnė už santykinę paklaidą, t.y. δ ≤ δa. Santykinė paklaida yra normuotas dydis ir dažniausiai išreiškiamas procentais.

4. Funkcijos absoliučioji ir santykinė paklaidos Sakykime, kad turime kelių kintamųjų funkciją: čia x1, x2, . . ., xn – nepriklausomi kintamieji. Kuriuo nors būdu apibrėždami jų skaitines reikšmes, padarome paklaidas Šių argumentų ribines absoliučiąsias paklaidas žymime Funkcijos absoliučioji paklaida įvertinama tokiu sąryšiu: Funkcijos santykinė paklaida:

5. Paklaidų kaupimas, atliekant aritmetinius veiksmus Imkime du apytikslius teigiamus skaičius: x ir y, jų absoliučiosios ribinės paklaidos atitinkamai lygios ∆x ir ∆y. Šių skaičių sumos absoliučioji paklaida: ∆x+y= ∆x+ ∆y; Skirtumo absoliučioji paklaida: ∆x-y= ∆x+ ∆y; Daugybos absoliučioji paklaida: ∆xy= y∆x+ x∆y; Santykio absoliučioji paklaida:

6. Paklaidų kaupimas, atliekant aritmetinius veiksmus Sumos santykinė paklaida: Skirtumo absoliučioji paklaida: Daugybos absoliučioji paklaida: Santykio absoliučioji paklaida: Visos šios palaidų formulės gautos naudojantis (1) ir (2) lygtimis.

7. Pavyzdys Turime du apytikslius skaičius ir Nustatykite skaičiaus absoliučiąją ir santykinę paklaidas. Sprendimas. Sakykime, kad ieškomas skaičius yra dviejų kintamųjų funkcija: Raskime dalines išvestines: Išreiskę (1) ir (2) formules turėsime absoliučiąją ir santykinę paklaidas: Įstačius į šias formules turimas reikšmes x1=0,56, Δx1=0,05, x2=1,28, Δx2=0,03, gauname, kad ∆f=0,077 ir δf=0,053.

8. Apytikslis lygčių sprendimas

9. Apytikslis lygčių sprendimas Sakykime turime lygtį: Apytikslė šaknis randama dviem etapais: • išskiriama šaknis, t.y. nustatomas izoliacijos intervalas [a, b], kuriame yra viena ir tik viena šaknis; • apytikslė šaknis tikslinama, t.y. pasiekiamas reikalaujamas tikslumas ε, kai |c-xn|< ε, čia xn yra apytikslė šaknis, o c lygties šaknis Pirmas etapas dažniausiai įvykdomas sprendžiant lygtį grafiniu būdu, o šaknie tikslinimas atliekamas naudojant stygų, liestinių, kombinuotą ir kitu metodus.

10. Grafinis lygčių sprendimas Šaknis išskiriame arba randame šaknų izoliacijos intervalus remdamiesi tolydžios funkcijos uždarame intervale savybe: jei funkcija f(x) yra tolydi uždarame intervale [a, b], ir intervalo galuose įgyja priešingų ženklų reikšmes, t.y. tai tame intervale yra nors viena reikšmė c, kai Šaknis c bus vienintelė intervale [a, b], jei egzistuoja ir tame intervale ji turi pastovų ženklą. Apytikslę šaknį gauname parinkę Realiąsias lygties šaknis galima rasti kaip funkcijos grafiko susikirtimo su 0x ašimi taškų abscises.

11. Pavyzdys Raskime bent vieną realiąją lygties šaknį grafiniu būdu 0,1 tikslumu. Sprendimas. Pirmiausia susitvarkome lygtį: Braižome kairės pusės funkcijos grafiką: Matome , kad funkcija kerta Ox ašį daug sykių. Pasirinkime vieną susikirtimo tašką. Tegu tai bus teigiama mažiausia šaknis.

12. Pavyzdys (tęsinys) Grafike matosi, kad šiame intervale Ox ašis kertama ne vieną sykį Dar siauriname x intervalą: Taigi jau aiškiai matosi, kokiam intervale yra funkcijos šaknis. Pasirenkame kairį intervalo galą a=0,67 (kirtimo taškui iš kairės) ir dešinį intervalo galą b=0,83.

13. Pavyzdys (tęsinys) Patikslintame intervale šaknis matosi, tačiau tikslumas 0,1 dar nėra pasiektas. Vėl patikslinus intervalo galus, gauname norimo tikslumo izoliacijos intervalą [0,71; 0,79].

14. Pavyzdys (tęsinys) Patikrinkime ar nustatytame intervale yra vienintelė šaknis: Intervalo galuose funkcijos ženklas skiriasi; Skaičiuojame išvestinę Išvestinė visame intervale nekeičia ženklo. Taigi nustatytame intervale šaknis yra vienintelė.

15. Kombinuotas stygų-liestinių metodas Duota lygtis . Intervalas [a, b] yra lygties izoliacijos intervalas, t.y. , funkcija yra tolydi intervale ir yra pastovays ženklo. Šaknies intervalo tikslinimui naudosime kombinuotą stygų-liestinių metodą. Rasta šaknis tikslinama tol, kol pasiekiamas norimas tikslumas |a-b|<ε. Tuomet sprendinys bus Galimi keturi šaknies tikslinimo atvejai.

18. Pavyzdys Dabar raskime vieną realiąją lygties šaknį kombinuotu metodu 0,001 tikslumu. Sprendimas.Mes jau nagrinėjome šią lygtį prieš tai. Dabar laikykime, kad šaknies izoliacijos intervalas yra [0,5; 1]. Tikrinkime ar tenkinamos izoliacijos intervalo sąlygos: Funkcijos ženklas intervalo galuose skiriasi. Tikriname ar tame intervale šaknis yra vienintelė:

19. Pavyzdys Išvestinės ženklas visada vienodas . Taigi [0.5; 1] yra izoliacijos intervalas. Dar patikrinkime grafiką ir ženklą: Antros išvestinės ženklas taip pat nesikeičia intervale ir yra neigiamas (žemiau Ox ašies): Taigi turime trečią kombinuoto metodo atvejį. Iš kairės pusės šaknį tikslinsime stygų formule, o iš dešinės liestinių formule.