Teori Antrian Antrian M/M/1

1. Teori AntrianAntrian M/M/1 Hendrawan hend@telecom.ee.itb.ac.id

2. Outline • Motivasi • Introduksi sistem antrian • Elemen sistem antrian • Notasi sistem antrian • Background • Proses kedatangan dan keberangkatan • Little’s law • Antrian M/M/1 • Penurunan dan Hasil • Aplikasi utk analisa multiplexing

3. Dasar Antrian • Pelanggan (customer) tiba untuk pelayanan, dan jika semua pelayan (server) sibuk, pelanggan diantrikan dan dilayani kemudian • Parameter: Kecepatan kedatangan (arrival rate), kecepatan pelayanan (service rate), jumlah pelayan (server) • Pengukuran: waktu tunggu, waktu pelayanan, waktu di dalam sistem, utilisasi server, jumlah pelanggan dalam antrian, jumlah pelanggan dlm sistem, ...

4. Dasar Antrian • Single queue system biasa digunakan utk merepresentasikan shared resource networks • Network of queues biasa digunakan utk merepresentasikan tipe jaringan yg lain • Process networks • Switching networks

5. Resource Sharing Networks • Time-shared computers (Programs: CPU/DISK/IO) • Statistical Multiplexer/Concentrator • Packet-based (Packets: links) • Channel-based (Calls: channels) • Multiple-access & random access networks (Packets: shared medium)

6. Resource Sharing Networks • Ukuran performansi • Waktu tunggu • Probabilitas blocking • Pertanyaan • Bagaimana relasi antara jumlah user, pola penggunaan, jumlah resource dan performansi? • Apakah resource dimanfaatkan secara adil (fair)?

7. Process Networks • Multi-stage switch • Distributed simulation system • Manufacturing process

8. Process Networks • Ukuran performansi • Waktu penyelesaian (delay) • Throughput (penyelesaian persatuan waktu) • Pertanyaan • Bagaimana performansi dipengaruhi oleh pola penggunaan berbeda? • Proses mana yg menjadi “bottlenecks” yg membatasi performansi? • Apakaha input berbeda diperlakukan secara adil dalam hal performansi?

9. Switching Networks • Jaringan telepon (telepon: circuit switches) • Jaringan signaling telepon (switches; STP) • Jaringan Paket X.25 (komputer: packet switches) • Internet (komputer: router)

10. Switching Networks • Ukuran performansi • Delay (end point to end point) • Throughput • Utilization • Blocking probability • Loss • Pertanyaan • Topologi jaringan yg terbaik? • Bagaimana me-routekan? • Bagaimana menjamin kualitas pelayanan (QOS)?

11. Apa yang Bisa Dipelajari? Faktor • Jumlah pelanggan • Pola penggunaan (workload) • Karakteristik service • Jumlah resource • Performansi • Waktu tunggu • Blocking • Loss

12. Elemen-Elemen Antrian

13. Model Dasar • Pelanggan dari suatu populasi tiba pada sistem dg waktu kedatangan random •  adalah rate kedatangan pelanggan • Sistem antrian mempunyai c server identik • Pelanggan ke-j meminta pelayanan dan akan memerlukan sj unit waktu pelayanan dari satu server • Jika semua server sibuk, pelanggan yg datang bergabung dlm antrian sampai tersedia server

14. Model Dasar • Disiplin pelayanan menspesifikasikan urutan dimana pelanggan dipilih dari antrian • Contoh: FIFO, LIFO, priority, random, … • Waktu tunggu tQj adalah waktu diperlukan pelanggan ke-j antara memasuki sistem dan memasuki pelayanan • Total delay dari sistem j = tQj + sj • n = jumlah pelanggan dlm sistem • suatu random variable • nq = jumlah pelanggan dlm antrian • suatu random variable

15. Notasi Antrian a/b/m/K • a = tipe proses kedatangan • M (Markov) menunjukan kedatangan Poisson, shg waktu antar kedatangan iid exponential random variables • b = service time distribution • M (Markov) menunjukan distribusi eksponensial • D (Determistic) menunjukan service time konstan • G (General) menunjukan iid service times mengikuti suatu general distribution

16. Notasi Antrian a/b/m/K • m = jumlah server • K = jumlah maksimum pelanggan yg dibolehkan dlm sistem

17. Background: Proses Poisson • Kedatangan terjadi dg rate  • Probabilitas [secara eksak satu pelanggan tiba dlm interval [t, t+t]] =  t • Probabilitas [tidak ada kedatangan dlm interval [t, t+t]] = 1 -  t • Dg membuat t mendekati nol, kita mendapatkan proses Poisson

18. Distribusi Kedatangan • Pn(t) = P[Jumlah kedatangan sampai saat t = n]

19. Jumlah Kedatangan • Mis. E[n] adalah mean dari jumlah kedatangan dlm perioda interval t • Mean • Variance

20. Kelayakan Apakah proses Poisson cukup layak digunakan? • Secara umum proses Poisson adalah model yg baik jika terdapat sejumlah user yg besar (sumber paket) sehingga • Users serupa • Users independen

21. Kelayakan • Misalkan kita menggabungkan n proses Poisson • Tiap proses mempunyai rate /n, shg rate gabungan (aggregate) =  • Waktu antar kedatangan , utk tiap proses mempunyai distribusi F(s) = P{  s} dan independen • Proses penggabungan mendekati proses Poisson dg rate  dg n  

22. Waktu Antar Kedatangan • Mis. T = waktu antar kedatangan dlm proses Poisson • T adalah random variables • Utk proses Poisson, waktu antar kedatangan adalah exponentially distributed random variables • Fungsi distribusi dan densitas utk distribusi eksponensial

23. Memoryless Property • Distribusi eksponensial adalah memoryless • Apa yg terjadi setelah waktu t adalah independen thd apa yg terjadi sebelum t • Pengetahuan masa lalu tidak membantu memprediksi masa depan • Untuk waktu service • Waktu tambahan yg diperlukan utk menyelesaikan service pelanggan yg sedang berlangsung independen thd kapan service dimulai

24. Memoryless Property • Utk waktu antar kedatangan • Waktu utk kedatangan berikutnya independen thd kapan kedatangan terakhir terjadi • Distribusi eksponensial adalah satu-satunya distribusi kontinyu mempunyai sifat memoryless • Distribusi diskrit yg mempunyai sifat memoryless adalah distribusi geometric

25. Markov Property • Memoryless property memungkinkan menggunakan Markov Chain untuk menganalisa antrian M/M/1 • Diberikan independensi dari waktu antara kedatangan dan waktu service, jumlah pelanggan dlm sistem kedepan hanya tergantung pd N(t), jumlah pelanggan dlm sistem pada saat t

26. Markov Property • Proses random adalah proses Markov jika masa depan proses diberikan saat ini independen thd masa lalu • Markov chain adalah proses Markov dg discrete state space

27. Markov Property • Jika kita tahu sistem ada dlm state a pd saat tk, probabilitas transisi ke state lainnya pd saat tk+1 dp ditentukan • tidak perla tambahan informasi masa lalu

28. Little’s Law • Jumlah pelanggan rata-rata dlm sistem (antrian) sama dg rate kedatangan dikalikan waktu rata-rata dlm sistem (antrian)

29. Little’s Law • Misalkan • Rate kedatangan () • Jumlah dlm sistem, n(t), jumlah dlm antrian nQ(t), jumlah dlm pelayanan nS(t) • Waktu dlm sistem , waktu dlm antrian Q, waktu dlm pelayanan s • Relasi parameter-parameter dg Little’s Law • Jumlah dlm sistem : E[n] = .E[] • Jumlah dlm antrian : E[nQ] = .E[Q] • Jumlah dlm service :  = E[nS] = .E[s]

30. Utilisasi • Utilisasi dari sistem single server • Utilisasi dari sistem c-server

31. In-Class Exercise • Pelanggan memasuki toko dg rate rata-rata 32 pelanggan per jam. Rata-rata pelanggan menghabiskan waktu 12 menit di dlm toko. Berapa banyak pelanggan yg kita harapkan kita jumpai di dlm toko dlm sembarang waktu?

32. Saluran Transmisi

33. Saluran Transmisi • Parameter •  adalah rate kedatangan • NQ adalah jumlah rata-rata paket menunggu dlm antrain (belum ditransmisikan) • W adalah rata-rata waktu tunggu dlm antrian (tidak termasuk waktu transmisi) • Little’s law memberikan NQ = .W • Jika X adalah waktu transmisi rata-rata, Teorema Little memberikan utilisasi  (rata-rata jumlah transmisi paket)  = .X

34. Saluran Transmisi • Perhatikan kasus dimana • 1/ adalah rata-rata waktu antar kedatangan • jika  > 1, maka ekspektasi waktu service lebih besar drpd ekspetasi waktu antar kedatangan, yaitu pelanggan datang lebih cepat drpd yg dp dilayani • Antrian akan overflow atau meningkat sangat panjang •  > 1, menghasilkan situasi yg tidak stabil

35. Network of Transmission Lines

36. Network of Transmission Lines • Paket tiba pada n node berbeda utk transmisi dg rate 1, 2, … ,m • N adalah jumlah paket total dlm jaringan • Little’s law memberikan delay rata-rata per paket

37. Network of Transmission Lines • Perlu dicatat bahwa rata-rata delay per-paket adalah independen dari distribusi panjang paket dan metoda utk me-routing-kan paket • Juga utk node i, Ni = iTi

38. Antrian M/M/1 • Antrian tunggal (single queue) • Server tunggal (single server) • Pelanggan (paket) tiba sesuai dg proses Poisson dg rate  per-detik • Distribusi waktu pelayanan adalah eksponensial dg mean 1/ detik • Buffer tak terbatas

39. Markov Chain • Karena memoryless property dari r.v. eksponensial, jumlah pelanggan dlm sistem saat t, N(t), dp diekspresikan sbg continuous-time Markov chain

40. Probabilty Flux • Probabilitas flux transisi adalah perkalian probabilitas state dimana transisi dimulai dan rate transisi • Indikasi rata-rata brp kali per-detik event sesuai dg korespondesni transisi terjadi • Dlm kondisi steady-state, rata-rata brp kali/det suatu state dimasuki adalah sama dg rata-rata brp kali/det suatu state ditinggalkan • Menuju pd global balance equations

41. Global Balance • Total rate transisi keluar dari state n sama dg total rate transisi ke state n • Dynamic equilibrium

42. Global Balance Equations • Global balance equation utk antrian M/M/1 • Jika ada N state, ada N persamaan, termasuk relasi berikut

43. Local Balance • Utk Markov Chain, rate transisi dari state A ke state B sama dg rate transisi dari B ke A • Sbg contoh, rate transisi dari n-1 ke n sama dg rate transisi dari n ke n-1

44. Local Balance Equations • Persamaan local balance utk anrian M/M/1

45. Menyelesaikan Local Balance Equations • Pers local balance menghasilkan n-1 rekursi berikut

46. Menyelesaikan Local Balance Equations • Normalisasi dicapai melalui ‘conservation of probability’

47. Menyelesaikan Local Balance Equations • Dg  = / dan menggunakan identitas berikut • Maka

48. Hasil • Jika  = / < 1 , kita dp • Utilisasi • Mean dari jumlah pelanggan, n

49. Hasil • Dg Little’s law, dp dicari waktu rata-rata dlm sistem • Dan waktu rata-rata dlm antrian

50. Hasil • Dg Little’s Law lagi, jumlah rata-rata pelanggan dlm antrian