Dimenzioniranje pravokutnih i T presjeka na Moment savijanja i Uzdužnu silu i model DKP

1. Dimenzioniranje pravokutnih i T presjekana Moment savijanja i Uzdužnu silui model DKP

2. Pravokutni presjek

3. Jednostruko armirani pravokutni presjek opterećen momentom savijanja a – za pravokutne presjeke = 0.85

4. Radni dijagram betona – koeficijent punoće RDB-a

5. Radni dijagram betona – koeficijent položaja tlačne sile (težište dijagrama)

6. Jednostruko armirani pravokutni presjek - Osnovne jednadžbe

7. Dvostruko armirani pravokutni presjek – Logika nastanka

8. Dvostruko armirani pravokutni presjek – Osnovne jednadžbe

9. Jednostruko/Dvostruko armirani pravokutni presjek – Opterećen momentom savijanja i uzdužnom silom – Postupak Wuczkowskog Konvencija: Tlak + Vlak -

10. Pravokutni presjek – Dijagram toka rješenja problema Učitavanje podataka o presjeku, materijalu, napadnim silama, te tražene deformacije armature Izračunavanje bezdimenzionalnog momenta savijanja Postavljanje početne ravnine deformacije Postavljanje tekuće ravnine deformacije Izračunavanje koeficijenata za tekuću ravninu deformacije Usporedba izračunatih i traženih vrijednosti Izračunavanje potrebne armature, ispis

11. T presjek Ako neutralna os siječe ploču (x ≤ hf), tada se ovakav presjek rješava kao pravokutni dimenzija beff*h. Ako neutralna os siječe rebro (x > hf), tada je ovakav presjek pravi T presjek i potrebno ga je kao takvog proračunati.

12. Određivanje reducirane širine T presjeka (bi)

13. T presjek – Dijagram toka rješenja problema Učitavanje podataka o presjeku, materijalu, napadnim silama, te tražene deformacije armature Izračunavanje bezdimenzionalnog momenta savijanja Izračunavanje bezdimenzionalnog momenta savijanja Postavljanje početne ravnine deformacije Postavljanje tekuće ravnine deformacije Izračunavanje koeficijenata za tekuću ravninu deformacije Kontrola položaja neutralne osi Proračun reducirane širine T presjeka Usporedba izračunatih i traženih vrijednosti Izračunavanje potrebne armature, ispis

14. DKP – DIMENZIONIRANJE KOMPOZITNIH PRESJEKA U nastavku je prikazan model dimenzioniranja općih kompozitnih poprečnih presjeka opterećenih ekscentričnom uzdužnom silom. Presjeci mogu biti proizvoljnog oblika, sastavljeni od različitih materijala i formirani u više faza. Proračun uključuje analizu naponsko-deformacijskog stanja presjeka, utvrđivanje graničnog kapaciteta nošenja i određivanje potrebne površine šipkaste armature za utjecaj kratkotrajnog opterećenja. Ukratko je opisana mogućnost primjene modela na dimenzioniranje betonskih presjeka ojačanih labavom i prednapetom šipkastom armaturom, te krutim čelikom.

15. OSNOVNE PRETPOSTAVKE • Presjeci i nakon deformiranja ostaju ravni. • Nema klizanja na spoju različitih materijala nakon njihova sprezanja. • Poznata je veza napon-deformacija za svaki materijal. • RAVNINA DEFORMACIJE PRESJEKA • Grafički prikaz moguće ravnine deformacije, u odnosu na prethodno ravnotežno stanje, dan je na slici. Dopunska deformacija neke točke presjeka definirana je jednadžbom ravnine.

16. VEZA NAPREZANJE DEFORMACIJA • Polazi se od poznate veze između jednoosnog naprezanja s i deformacije e za pojedini materijal. Za realne materijale ova je veza u osnovi krivolinijska, a definirana je jednoosnim testom ili odgovarajućom regulativom. Sa stanovišta numeričke analize, zgodno je ovu vezu definirati kao linearnu po pojedinim segmentima. Ovako uvedena kontrolirana pogreška je zanemariva u odnosu na druge pretpostavke. Veza s-e između bilo koje dvije točke i,j dijagrama definirana je pomoću U gornjim izrazima E označava tekući modul elastičnosti materijala (nagib pravca na promatranom sektoru), dok je grafička interpretacija naprezanja s’ vidljiva sa slike. Treba naglasiti da je za poznato početno stanje i pretpostavku tekuće deformacije između točaka i,j , naprezanje s’ konstantno i određeno.

17. JEDNADŽBA RAVNOTEŽE • Vektor unutrašnjih otpornih sila presjeka Su je funkcija rezultantne ravnine deformacije i veze s-e pojedinog materijala. Ukoliko su oni poznati, Su se može jednostavno izračunati integracijom naprezanja na području kompozitnog presjeka. • Nu označava unutrašnju uzdužnu sliku, Mzu i Myu odgovarajuće momente sile obzirom na koordinatne osi, W područje pojedinog materijala, a S sumacija preko svih materijala m. • ODREĐIVANJE STANJA NAPREZANJE-DEFORMACIJA • Za poznate vanjske sile i definirani poprečni presjek, često treba odrediti ravnotežnu deformacijsku ravninu i naponsko stanje. Rješenje ovog problema se direktno svodi na rješenje jednadžbe (1). Koristeći iterativni postupak rješenja, problem se može zapisati u obliku

18. NEKI PRORAČUNSKI ASPEKTI • a) Šipkasta armatura • Nakon određivanja veličine ukupne deformacije a u promatranoj šipci, utvrđuje se između kojih čvornih deformacija i, i+1 na predmetnom dijagramu - ona leži. Potom se odredi pripadajući modul elastičnosti E, te doprinos tekućih mehaničkih karakteristika šipkastih materijala. • a) Materijal veće površine • Područje materijala koji ima značajnu površinu u odnosu prema površini čitavog poprečnog presjeka zadaje se konveksnim poligonalnim elementima bez šupljina (konačni elementi – KE). Na području jednog KE može biti samo jedan tip materijala, izuzimajući šipkastu armaturu. Svaki KE određen je listom čvornih točaka i njihovim koordinatama, te indeksom svojstva materijala. Dakle, konture svakog materijala najprije se aproksimiraju poligonom, a potom se omeđeno područje podijeli na KE.

19. Nakon određivanja rezultantne ravnine deformacija na promatranom KE i položaja pripadajuće neutralne osi u prethodnoj iteraciji, postavlja se set pravaca koji su s njom paralelni i na kojima leže točke KE, s deformacijama jednakim čvornim deformacijama i radnog dijagrama. Potom se traži presjek ovih pravaca sa stranicama svakog KE, te tako na svakom od njih definiraju područja ei (podelementi) s konstantnim modulom elastičnosti E. Matrica Ie za svako ovo područje je oblika

20. Vektor unutrašnjih sila: • Mehaničke karakteristike i dio vektora unutrašnjih sila jednoga KE dobivaju se sumiranjem odgovarajućih karakteristika svih područja ei na tom elementu, a pojedinih materijala preko svih KE koji opisuju taj materijal. Analogno, sumiranjem preko svih materijala dobivaju se ukupne karakteristike kompozitnog presjeka.

21. ODREĐIVANJE GRANIČNE NOSIVOSTI PRESJEKA • Ako se želi dobiti granična nosivost presjeka Sug za zadani smjer vektora vanjskih sila Sv, deformacijska ravnina mora biti u graničnom položaju. Ona je definirana dosezanjem granične (maksimalne/minimalne) deformacije g u nekom materijalu presjeka. Vektor odgovarajućih vanjskih sila Svg, koji uzrokuje ovo stanje, biti će u tom slučaju:

22. PRORAČUN POVRŠINE ŠIPKASTE ARMATURE • Kompozitni presjeci često su ojačani kvalitetnijim materijalom (armaturom) čija je površina u odnosu na ukupnu površinu mala, te se može uzeti da je ta površina zgusnuta u točku. Najčešće treba odrediti površinu i raspored armature, te vektor vanjskog opterećenja, ako su poznate dimenzije presjeka, kvaliteta i raspored materijala. Postupak je analogan postupku određivanja granične nosivosti presjeka, s tim da se u svakom inkrementalnom koraku korigira potrebna površina armature.

23. SLIJED ITERATIVNOG POSTUPKA • 1) Na temelju poznatog položaja deformacijske ravnine pk iz prethodne iteracije k, izračuna se matrica Ik i vektor unutrašnjih sila presjeka . • 2) Izvrši se korekcija vektora neuravnoteženih sila , ako je on funkcija položaja ravnine deformacije, tako da je . • 3) Izračuna se vektor neuravnoteženih sila . • 4) Odredi se vektor prirasta parametara ravnine deformacije iz • 5) Odredi se tekući vektor parametara dopunske ravnine deformacije . • 6) Kontrolira se konvergencija postupka. Ako je zadovoljen kriterij konvergencije ispišu se rezultati i uzima se novi slučaj opterećenja. Ako kriterij konvergencije nije zadovoljen, postupak se vraća na korak rješenja (1).

24. GENERALNI PRIKAZ

25. JEDNOSTAVNI PRIMJER • Potrebno je odrediti stanje naprezanja-deformacije za sustav i presjek prikazan na slici, pod vlačnom silom F=360 kN.

26. Pošto je presjek opterećen vlačnom silom kompletnu silu preuzima armatura. • Za početak pretpostavimo da je u=0. • Osnovne pretpostavke

27. 1. iteracija

28. 2. iteracija

29. PRIMJER 1 • U primjeru 1 analiziran je jedan klasično armirani presjek nekog mosta. • Presjek nastaje u dvije faze. U prvoj fazi montažni T nosač (beton C 30/37, armatura 1228 + 3010 - RA 400/500) opterećen je uporabnim momentom savijanja od stalnog opterećenja Mg1=0.88 MNm. U drugoj fazi, nakon očvršćavanja betona kolničke ploče (beton C 25/30, armatura 2019 - RA 400/500), spregnuti nosač je opterećen momentom savijanja od dopunskog stalnog opterećenja Mg2=0.90 MNm i momentom savijanja od prometnog opterećenja Mp=0.872 MNm.

30. Naponsko-deformacijsko stanje spregnutog presjeka za uporabno opterećenje • Naponsko-deformacijsko stanje spregnutog presjeka za graničnu nosivost

31. PRIMJER 2 • Na crtežima je prikazan jedan prednapeti uzdužni nosač mosta Kličevica. Presjek je formiran u dvije faze. U prvoj fazi nosač je opterećen momentom od stalnog tereta u iznosu 11.81 (MNm), i silom prednaprezanja 2.03 (MN) za svaki kabel (pripadna deformacija je epp=0.00533 ‰). U drugoj fazi, nakon otvrdnjavanja ploče, presjek je dodatno opterećen momentom od dodatnog stalng opterećenja u iznosu 1.73 (MNm) te momentom od pokretnog opterećenja u iznosu 4.85 (MNm). Odnos s-e za beton i prednapete kablove prikazan je u nastavku. Dimenzioniranje je izvršeno prema EC2.

32. GEOMETRIJA NOSAČA

33. STANJE NAPREZANJE-DEFORMACIJA NOSAČA U I FAZI

34. STANJE NAPREZANJE-DEFORMACIJA NOSAČA U I FAZI

35. STANJE NAPREZANJE-DEFORMACIJA NOSAČA U II FAZI

36. STANJE NAPREZANJE-DEFORMACIJA NOSAČA U II FAZI

37. GRANIČNO STANJE NOSAČA U II FAZI

38. GRANIČNO STANJE NOSAČA U II FAZI