1. Elektromagnetische Wellen

1. C Q I R Maschenregel  L x D Mechanisches Analogon: m γ Elektrodynamik 1. Elektromagnetische Wellen 1.1. Schwingkreise 1.1.1. Freie Schwingung • Übersetzung:Mechanik Elektrodynamik • x  Q • m  L   R D  C1

2. C Q Schwingfall: I R L Aperiodischer Grenzfall: Kriechfall: Lösung übersetzt aus Mechanik:

3. C Q U(t) x  D R I F(t) L γ m Resonanzfrequenz:  Z  R minimal Bandbreite: 1.1.2. Erzwungene Schwingung ( Übersetzung aus Mechanik) Serienschwingkreis:

4. IL R L  C xm I QC x D U(t) γ F(t) m Resonanzfrequenz:  maximal Parallelschwingkreis: Kleine Dämpfung  Bandbreite:

5. R1 R2 L12 Q2 L1 L2 I2 I1 C1 C2 Q1 Beispiel: L1L2LC1C2CR1R2R Normalkoordinaten: Eigenfrequenzen: Normalmoden ( Schwingfall ): 1.1.3. Gekoppelte Schwingkreise ( gekoppelte mechanische Schwinger) Induktive Kopplung: Lösungsweg: Transformation auf Normalkoordinaten

6. Ck R1 R2 L1 L2 C1 C2 R1 R2 Rk L1 L2 C1 C2 Analoges Verfahren  Kapazitive Kopplung: Galvanische Kopplung:

7.   Schwingkreis L C L C   autarker Schwingkreis npn-Transistor als elektronischer Schalter sperrt   Puffer-Kondensator R1 C1 R1 C1 Lade-Widerstand   Schwingphase 1 1.1.4. Erzeugung ungedämpfter Schwingungen Beispiel: Meißner-Schaltung 

8.   Schwingkreis L C L C   Nachladung npn-Transistor als elektronischer Schalter leitet   Puffer-Kondensator R1 C1 R1 C1 Lade-Widerstand   Schwingphase 2 1.1.4. Erzeugung ungedämpfter Schwingungen Beispiel: Meißner-Schaltung 

9. 1.2. Elektromagnetische Wellen auf Leitern 1.2.1. Die Telegraphengleichung x x Ersatzschaltbild: dR dL dR dL dR dL dR dL dC dC dC dC dC dx dx dx dx viele gekoppelte Schwinger  Kontinuumsübergang  Wellen Beispiele: Leitermantel ,  I(x,t) I(x,t) d d Doppelleitung (Flachbandkabel, Twisted Pair) Koaxialkabel (Koax-Kabel) Beispiel: dmm  ≪ 30 GHz Voraussetzung:dc≪T   bzw. ≪ cd d.h. lokal gelten weiterhin die Gesetze der Quasistatik!

10. Am Ort x zur Zeit t: dR dL dR dL dC dC x x dx Maschenregel:  für dx Also: dC

11. Am Ort x zur Zeit t: dR dL dR dL dC dC x x dx Knotenregel: Also:

12. Folgerung: Telegraphengleichung  Wellengleichung mit Dämpfung

13. Wellengleichung Phasengeschwindigkeit Lösung: (  Tafelrechnung,  Handout ) Dispersionsrelation Wellenwiderstand (Impedanz) Spezialfall: ideale Leiter  Ak ℂ-Amplitude zu harmonischem Anteil (k), Laufrichtung  x Bk ℂ-Amplitude zu harmonischem Anteil (k), Laufrichtung  x

14. 1.2.2. Signalkabel Flachbandkabel Koaxialkabel 2r 2a 2b d ≫ r Vakuum-Wellenwiderstand Vakuum-Lichtgeschwindigkeit Brechungsindex

15. Phasengeschwindigkeit: Bemerkung:Reales Kabel, .  Die harmonischen Komponenten werden k-abhängigabsorbiert.  Pulsformen bleiben nicht erhalten; Pulse zerfließen.  Es gibt Dispersion. Bemerkung: Die Phasengeschwindigkeit hängt nicht von k ab.  Alle harmonischen Komponenten laufen gleich schnell im Kabel.  Pulsformen bleiben erhalten.  Es gibt keineDispersion.

16. Harmonische Komponenten für x  0: einlaufend: reflektiert: Reflexionskoeffizient Harmonische Komponenten für x  0: transmittiert: Transmissionskoeffizient Behandlung von Übergängen zwischen Kabeln (exemplarisch): Puls x 0

17. Stetigkeit von U und I bei x  0 (Grund: am Übergang endlich)  aber I  x     offenes Ende: kurzgeschlossenes Ende: perfekte Anpassung: x  0: x  0:

18. 1.3. Elektromagnetische Wellen im Vakuum 1.3.1. Hertzscher Dipol erfüllen den ganzen Raum • Quasistatik versagt • Eigendynamik der Felder wird wichtig • Abstrahlung elektromagnetischer Wellen Übergang: offener Schwingkreis

19. Antenne (Sender/Empfänger) • Dämpfung: • Ohmscher Widerstand der Antenne • Abstrahlung elektro-magnetischer Wellen Sender mit induktiver Energieeinspeisung: Ungedämpfter Oszillator L12 Energie L  0 0  Resonanzfrequenz  ?

20. z L Tafelrechnung ZW  0 mit m ℕ Kontinuitätsgleichung Tafelrechnung  Linienladungsdichte Tafelrechnung schwingender Dipol Hertzscher Dipol  Wechselstromleitung in Antenne (Dämpfung vernachlässigt): Telegraphengleichung & Randbedingungen

21.                      d0        Anschauliches mikroskopisches Modell: Dipolnäherung  Bewegung der Ladungsschwerpunkte L d0 ist sehr viel kleiner als L feste Ionenrümpfe (Gesamtladung Q) frei bewegliche Elektronen (Gesamtladung Q)

22. Nahfelder: Abstrahlung elektromagn. Wellen vom Hertzschen Dipol ( Theorie VL) wechselseitige Anregung  Dynamik des Stromflusses  (Quasistatik) E- und B-Feld 90 phasenverschoben  Eigendynamik der Felder  Fernfelder: E- und B-Feld phasengleich dominant für r»d0

23. Zeitentwicklung des E-Feldes

24. Zeitentwicklung des E-Feldes …

25. E- und B-Fernfelder

26. z  0 z Qualitative Eigenschaften der Fernfelder: • -Feld konzentrisch um Dipolachse (max. in Äquatorialebene) • mittlere Energiestromdichte • mittlere abgestrahlte Leistung • Abstrahlcharakteristik (max. in Äquatorialebene) Abstrahlung  4 senkrecht zur Dipolachse

27. Krümmung der Phasenflächen zu vernachlässigen  Ebene Wellen, Polarisation ∥ z y x Strahlung in großem Abstand von der Sendeantenne, r»d: Strahlung senkrecht zur Antenne (x-Richtung):

28. Momentaufnahme eines Hertzschen Dipols Interpretation q Ladungsschwerpunkt der freien Ladungsträger q q Antenne  v  0  v  c q q v  c 1.3.2. Abstrahlung einer beschleunigten Ladung Beschleunigte Ladungen strahlen (in ihrem Ruhesystem) e.m.-Wellen aus (Dipolstrahlung mit Beschleunigungsrichtung als Dipolachse)

29. p n n n p n n p n n n n p n p p p p p p p n e Anwendung: Synchrotronstrahlung (  Beispiel: BESSY II ) Elektronen-Synchrotron Radius typisch 100 m • Strahlung ist… • intensiv & eng gebündelt • kurz gepulst • breitbandig (bis X-Rays) • polarisiert e Synchrotronstrahlung Anwendung: Röntgenstrahlung Vakuumröhre ,,Bremsstrahlung“ Glühkathode Anode e Kern im Anodenmaterial Röntgenstrahlen (X-Rays) zur Patientin

30. Strahlungsintensität des Hertzschen Dipols von Sonne rötlich unpolarisiert weiß unpolarisiert bläulich voll polarisiert Beispiel: Himmelsblau Streuung von Sonnenlicht an N- und O-Atomen der Atmosphäre Elektronenhülle eines Atoms   • Blau wird viel stärker gestreut als Rot •  blauer Himmel • Streuung azimutal symmetrisch • Keine Streuung entlang der Dipolachse  keine Streuung entlang des E-Vektors des einfallenden Strahls Schwingung des Ladungsschwerpunkts  Hertzscher Dipol • Polfilter-Anwendung in Fotografie: • Abdunklung vom Himmelsblau, dramatische Stimmung • Veränderung des Farbkontrasts

31. 1.3.3. Das elektromagnetische Spektrum 400 nm  700 nm Violett Rot Charakterisierung: Plancksches Wirkungsquantum h  6.6261034 Js • Frequenz • Wellenlänge • Photonenergie (Photon: Feldquant des e.m.-Feldes) Ultralangwelle:   1 Hz   300000 km kosmische Gammastrahlung: E≲ 1014 eV  100 TeV  ≳ 1020 m

32. N: Dimension eines elastischen kontinuierlichen Mediums x,t x,t x N  1: Stab, Saite, ... Transversalwelle Longitudinalwelle N  2: Membran, Platte, Glocke, ...  (x,y,t) N  3: Festkörper, Flüssigkeitsvol., Gasvol., ...  (x,y,z,t) N  3: abstrakte Räume in Feldtheorie ...  (x1,x2,,xN,t) Linearer Elastizitätsbereich (Hookesches Gesetz)  Wellengleichung (isotropes Medium) c  Phasengeschwindigkeit 1.4. Analogie: Mechanische Systeme 1.4.1. Erinnerung: Wellengleichungen

33. kj: mikroskopische Federkonstanten für den Auslenkungstyp  Massendichte:  Auslenkung k2 Isotrope elastische Materialkonst. dm k1 z.B. Elastizitätsmodul, Torsionsmodul, Kompressionsmodul Kin. Energie: Pot. Energie: Herleitung der Wellengleichung aus dem Hamiltonschen Prinzip:

34. Massendichte:  Auslenkung Definition: k2 Lagrange-Funktion: dm k1 mit mit Lagrangedichte: kontinuierliche dynamische Variablen gleichberechtigte Parameter

35. Euler-Lagrange-Gleichungen: Wirkung:  Hamiltonsches Prinzip: Unser Beispiel: Wellengleichung 

36. Wellengleichung im isotropen Medium Spezielle Lösungsklassen: harmonische Wellen: Kugelwellen: N  3 N  2 Allgemeine Lösung (vgl. Physik I): mit Dispersionsrelation

37. Saite: Masse m, Länge L ideal flexibel (keine Steifigkeit) Spannung S (Kraft auf die Einspannung) (z,t) Kleine Auslenkung S Ruhelage S z 0 L Vergleich mit liefert:  Phasengeschwindigkeit 1.4.2. Schwingende Saite Actio  Reactio  S  Kraft zwischen benachbarten Saitensegmenten Auslenkung  L  LL V=SL

38. Saite: Masse m, Länge L ideal flexibel (keine Steifigkeit) Spannung S (Kraft auf die Einspannung) (z,t) S Ruhelage S z 0 L Randbedingungen: Allgemeine Lösung: mit Eigenschwingungen Lösung der Wellengl.: Zerlegung in Superposition ebener Wellen

39. Allgemeine Lösung: Grundfrequenz mit Eigenschwingungen Eigenschwingungen: 1 Bauch 0 Knoten n  1 Grundschwingung 2 Bäuche 1 Knoten n  2 1. Oberschwingung 3 Bäuche 2 Knoten n  3 2. Oberschwingung 

40. Fourier-Entwicklung An ,,Frequenzspektrum” Anschauliche Fourierentwicklung für Zupfen bei L: groß klein Anwendung: Saiteninstrumente • Zupf-Anregung (Gitarre, Cembalo, Harfe, ) Anfangszustand: Kein reiches Frequenzspektrum  ungünstiger Zupfpunkt  

41. h L β·L β = 1/3 β = 1/10 n n Asymmetrisch gezupfte Saite:

42. Bewegung der gezupften Saite:

43. Mittlere Auslenkung Auslenkung beim Bogen Ruheposition der Saite Zeit • Streich-Anregung (Geige, Cello, )  Helmholtz-Bewegung Periode Teil 1: Saite haftet am Bogen und wird mitgeführt Periode Teil 2: Saite löst sich und schnellt zurück • Streichgeschwindigkeit  Schwingungsamplitude • Spektrum ähnlich zum Zupfen

44. Δ V L β·L β = 1/3 β = 1/10 n n • Hammer-Anregung (Klavier, ): Idealfall: Flacheres (d.h. reicheres) Frequenzspektrum als beim Zupfen

45. Problem für Musikerzeugung mit Saiten: Saiten sind schwache Schallstrahler  langer, aber sehr leiser Klang Ausweg:mechanische Kopplung ( z.B. Steg ) an andere Schwinger (Platten, Lufthohlräume  Helmoltz-Resonator , die effektiv Energie abstrahlen Cello Konzertgitarre

46. y Kleine Auslenkung x Vergleich mit liefert:  Phasengeschwindigkeit 1.4.3. Schwingende Membran Membran: Masse m, Fläche A ideal flexibel (keine Steifigkeit) Spannung:S S ds  Spannkraft senkrecht auf Rand ds jedes Flächenelements Einspannung Auslenkung  A  AA V = SA

47. Einspannung y x Errechnung der Eigenmoden durch Faktorisierungsansatz ( Tafel): Besselfunktionen Zusätzlich: Randbedingung durch Einspannung: Wellengleichung … … in kartesischen Koordinaten (x,y) … in Polarkoordinaten (r,) günstig für Rechteckmembran günstig für Kreismembran

48. Fall 1: Rechteckmembranen: Lx Randbedingungen: Allgemeine Lösung: Eigenfrequenzen Eigenschwingungen y Ly x Lösung der Wellengleichung: Superposition ebener Wellen

49. Allgemeine Lösung: Eigenfrequenzen Eigenschwingungen n = 1 m = 1 n = 2 m = 1 • n Bäuche in x-Richtung • m Bäuche in y-Richtung • n1 Knotenlinien in x-Richtung • m1 Knotenlinien in y-Richtung n = 1 m = 2 n = 2 m = 2 • Saite: n  n 1  harmonischer Klang • Membran: nicht-harmonisches Spektrum • Eine schwingende Membran erzeugt keinen Klang n = 3 m = 1 n = 3 m = 2 Chladni-Muster

50. y 2R r x  Lösung der Wellengleichung: Superposition von Kreiswellen , pℕ0 Randbedingung: Bezeichnung:pn  n-te Nullstelle der p-ten Besselfunktion Jp (nℕ) Eigenschwingungen Allgemeine Lösung: Eigenfrequenzen: Fall 2: Kreismembranen: