Unidad 5: Funciones de varias variables

1. Unidad 5: Funciones de varias variables Funciones de dos variables: Dominio de una función Curvas de Nivel

2. Motivación Suponga que la compañía de novedades A&S determina que las ganancias por dos tipos de artículos que produce son de 9 y 7 dólares la unidad ¿Qué variables intervienen en la determinación de las ganancias de la compañía? ¿Qué relación existe entre las variables anteriores?

3. Funciones de dos variables Una funciónfde variables independientesxeyes una regla que asigna a cada par ordenado(x; y)de números reales, en algún conjunto dado D, uno y sólo un número real representado porf(x; y). El dominiode la función f es el conjunto de todos los pares ordenados (x; y) de números reales para los cuales la expresión f(x; y) puede calcularse.

4. Ejemplo 1 • Para cada una de las funciones: • y • Calcule, si existe: f (2, 0) y f (0, 2). • Calcule, si existe: g(2; 4) y g(1,3) • Halle el dominio de f y g, y represente gráficamente • en el plano xy. Ejemplo 2 Dada la función , determine el dominio de la función e interprete geométricamente su resultado.

5. Funciones de producción de Coob-Douglas La producciónQde una fábrica con frecuencia se considera como una función de la cantidad de inversión de capital, K, y del tamaño de la fuerza laboral,L. Las funciones de producción de la forma: donde A y  son constantes positivas y 0 <  < 1 se conocen como “funciones de producción de Coob-Douglas” Q(K; L) = AK L1- 

6. Ejemplo 3 Suponga que en cierta fábrica la producción está dada por la función de producción de Cobb-Douglas donde K es la inversión de capital en unidades de $1 000 y L es el tamaño de la fuerza laboral en horas-trabajador. Q(K; L) = 30K1/4 L3/4unidades, a. Calcule la producción si la inversión es $256 000 y se utilizan 10 000 horas-trabajador de mano de obra. b.Demuestre que la producción en (a.) se triplicará si se triplican a la vez la inversión de capital y la fuerza laboral.

7. Ejemplo 4 (aplicación) Una compañía fabrica un sistema de sonido que se puede vender ensamblado o para armar. Las funciones de demanda que relacionan los precios unitarios, A y B, con las cantidades demandadas semanalmente, x e y, de las versiones ensambladas y para armar respectivamente están dadas por: ; a)Exprese el ingreso semanal total de la compañía como función de las cantidades demandadas. b)Calcule el ingreso si en una semana se venden 100 sistemas de sonidos ensamblados y 50 para armar.

8. Curvas de nivel de z = x2 + y2 Definición Una curva de nivel defences el conjunto de puntos(x; y)correspondiente en el planoXYque satisfacef(x; y) = c y z = 3 z = 6 x z = 9

9. Ejemplos • Grafique las curvas de nivel de la función: • 1. f(x; y) = x2 – y – 1, para z = -2, z = 0 y z = 2 • 2. f(x; y) = y – x2, para z = -2, z = 0 y z = 2

10. Curva del producto constante o Isocuanta Si la producción Q(x; y) de un proceso de manufactura está determinada por los factores x e y (por ejemplo, horas de mano de obra e inversión de capital) entonces la curva de nivel se denominaCurva del producto constante oIsocuanta. Q(x; y ) =C, C >0

11. Curva de indiferencia Un consumidor que está considerando la compra de una cantidad de unidades de cada uno de dos artículos se asocia con una función de utilidadU(x; y), que mide la satisfacción total (o utilidad) que el consumidor obtiene al tener “x” unidades del primer artículo e “y” unidades del segundo. Una curva de nivel U(x; y) =C, C > 0 de la función utilidad se denomina curva de indiferencia y proporciona todas las combinaciones de “x” e “y” que conducen al mismo nivel de satisfacción del consumidor.

12. Ejemplo 1.7 Suponga que la utilidad obtenida por un consumidor de x unidades de un artículo y de y unidades de un segundo artículo está dada por la función de utilidad U(x; y) = x3/2y. Si el consumidor posee actualmente x = 16 unidades del primer artículo e y = 20 unidades del segundo, halle el nivel actual de utilidad del consumidor y trace la curva de indiferencia correspondiente.