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Runde Fraktale

Runde Fraktale. Präsentation eines MatLab-Programms von Nele Fröse Seminar bei Prof. Chr. Kaernbach: Dynamik komplexer Systeme Juli 2007, Kiel. Warum Runde Fraktale?. Eckige Fraktale wie die Kochkurve kennen wir schon. Gibt es so etwas auch ohne Ecken? Eigenschaften von fraktalen Mustern:

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Runde Fraktale

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Presentation Transcript

  1. Runde Fraktale Präsentation eines MatLab-Programms von Nele Fröse Seminar bei Prof. Chr. Kaernbach: Dynamik komplexer Systeme Juli 2007, Kiel

  2. Warum Runde Fraktale? • Eckige Fraktale wie die Kochkurve kennen wir schon. • Gibt es so etwas auch ohne Ecken? • Eigenschaften von fraktalen Mustern: • Selbstähnlichkeit: • Bekommt man einen Ausschnitt des Fraktals präsentiert, so kann man es vom Original nicht unterscheiden www.flg-online.de/faecher/ma/fraktale/einfach.htm

  3. Idee: Sinusfunktion • Mit Sinus- und Cosinusfunktionen lassen sich vielleicht runde Fraktale herstellen. • Zum Beispiel Schneckenhaus-förmige

  4. 1. Kreis • Xsinus=sin(x) • Ycosinus=cos(x) • Wobei x in kleinen Schritten von 0 bis 2Pi läuft.

  5. 2. Spirale • Wir multiplizieren unsere Kurven mit einem schrittweise ansteigenden Wert • Xspiral=schritt*sin(x) • Yspiral=schritt*cos(x)

  6. 2. Spirale • Problem: Diese Spirale ist nicht wirklich selbstähnlich. • Der Abstand zwischen den Spirallinien müsste zur Mitte hin enger werden, damit man sie ins Unendliche fortführen kann.

  7. 3. Fibonacci-Zahlen • Wenn der Radius der Spirale nach außen derart zunimmt, dass sich der neue Radius aus der Summe der beiden alten ergibt, haben wir Selbstähnlichkeit. • Fibonacci-Zahlen: • 0,1,1,2,3,5,8,13,21,...

  8. 4. Fibonacci und Sinus • Die Idee ist nun, die Kurven schrittweise mit der nächsthöheren Fibonacci-Zahl zu multiplizieren. • Ganz so einfach ist die Sache jedoch nicht...

  9. 4. Fibonacci und Sinus • Hier sieht man die Sinuskurve mit wachsender Amplitude nach den Fibonacci-Regeln. • Um einen geschmeidigen Kurvenverlauf zu erzielen, wird die Kurve erst nach jeden Nulldurchgang mit der höheren F-Zahl multipliziert: • xspiral=fibonacci(i)*sin(x) • i=ceil(schritt*konstante)

  10. 5. Fibonacci und Cosinus • Bei der zugehörigen Cosinuskurve muss die F-Zahl an der gleichen Stelle geändert werden wie bei Sinus, sonst gibt es Ecken in der Gesamt-Spirale • Also eine neue F-Zahl an jeder Amplitude • Allerdings entstehen dafür Zacken in der Cos-Kurve • yspiral= fibonacci(i)*cos(y)

  11. 5. Fibonacci und Cosinus • Um die Zacken zu glätten, müssen die Kurvenstücke abwechselnd nach oben und unten um eine F-Zahl additiv verschoben werden. • yspiral= (+/-1) *fibonacci(i-3)+fibonacci(i)*cos(y)

  12. 6. Fibonacci Spirale • xspiral und yspiral zusammen ergeben eine schöne selbstähnliche Spirale! • Wenn man unendlich viele Windungen berechnet, kann man unendlich weit in die Spirale hineinzoomen, ohne dass sich ihr Erscheinungsbild ändert.

  13. 6. Fibonacci Spirale

  14. Kanten-Eigenschaften • Reduziert man die Schrittzahl für die Kurven, so wiederholt sich auch das Kantenmuster selbstähnlich

  15. Mehrere Spiralen • Man kann auch mehrere Spiralen verdreht darstellen.

  16. Noch mehr Spiralen

  17. 100 Spiralen... Huch??

  18. Zoom...

  19. Was ist passiert? • Die Schritt-Kanten der verdrehten Spiralen überschneiden sich • Dabei bilden sich dichte Kreise aus Schnittpunkten, die sich in eigenartiger Weise wiederholen • 1-3-1-3-1-3-1-3... • Dieses Muster aus Abständen der Ringe zueinander ist selbstähnlich!

  20. Andere Kreismuster • Es bilden sich verschiedene Kreismuster je nach Kantenauflösung der Spirale • Bild oben: 6, unten: 7 • Die Kreise unterscheiden sich nach Dicke und Nähe • Grobe Klassifizierung nach Augenmaß: • Dicker Ring: , • Dünner Ring: . • Nahe Ringe: ... • Ferne Ringe: . . .

  21. Kreismuster-Codes • 5: .,. , .,. , .,. , .,. , .,. • 6: , . , . , . , . , . , . , . , . , • 7: . ... . , . ... . , . ... . , . ... • 8: , . , . , . , . , . , . , . , . , • 9: . , . . ... . . , . . ... . . , . . ... • 10: , . . . , . . . , . . . , . . . , . . . • 11: . . . ,,, . . . , . . . ,,, . . . , . . . ,,, . • 12: . . . . , . . . . , . . . . , . . . . , • 13: . . . . ,,, . . . . , . . . . ,,, . . . . , . . • 14: . . . . .,. . . . .,. . . . .,. . . . .,.

  22. Was sagt uns das? • Die Ringmuster wiederholen sich periodisch und selbstähnlich, sind also auch fraktal • Die fraktalen Spiralen haben fraktale Ringmuster erschaffen! • Und wir wissen nicht, bei welcher Kantenzahl welches Muster entsteht. Chaos? • Oder kann man für jede Kantenzahl das Muster vorhersagen und umgekehrt?

  23. Fazit • Ich weiß, dass ich nichts weiß • Vielleicht findet jemand anders heraus, wie die Kantenzahl und die Muster zusammenhängen.

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