Liouville , Strahlung und Selbst-Effekte

1. Liouville, Strahlung und Selbst-Effekte Liouvillesches Theorem lineares, diskretesBeschleuniger Modell (Gap) normierteEmittanz Synchrotron Schwingung Ein-Teilchen Synchrotron-Strahlung kohärente und inkohärente Synchrotron-Strahlung SektormagnetmitStrahlung Beispiel Dämpfung von Orbit Schwingungen, Robinson Theorem natürlicheStrahlemittanz Selbsteffekte (Raumladung und Wakes)

2. LiouvilleschesTheorem lineareAbbildungimPhasenraum: VolumenimPhasenraum: Liouvillesches Theorem: VolumenimPhasenraumist invariant symplektischeAbbildungTtST = S fürglatteelektromagnetische Felder und kanonischeKoordinaten glatteelektromagentische Felder: keineSingularitäten, keineTeilchen-TeilchenStreuung, keineinkohärente Synchrotron Strahlung kanonischeKoordinaten: mit Lagrange FunktionL und Bewegungsglg. aus Hamilton Funktion

3. LiouvilleschesTheorem BeschleunigerKoordinaten sindnichtkanonisch! aber die Orts- und Momentum-Koordinaten sindes, wenn das Vektorpotential des Magnetfeldesverschwindet; z.B. imfeldfreienRaum(Drift) kann das V.p.verschwindendgewähltwerden Koordinatentransformationfür Drift:

4. LiouvilleschesTheorem Phasenraumdichte in BeschleunigerKoordinaten: magnetisches System, ebeneTrajektorie, entkoppelteEbenen: für das bisherbetrachtetemagnetische System bleibt die Phasenraumdichte auch in BeschleunigerKoordinatenerhalten;

5. LiouvilleschesTheorem Konsequenz: die Phasenraumdichtekannnichterhöhtwerden die Quellebestimmt die Phasenraumdichte man kann in ein Bucket nureinmalinjizieren Bilderaus [K.Wille]

6. erweiterter linearer Formalismus Transport mitzusätzlicherkonstanterAnregung kanndurcherweiterte Matrix Schreibweiseberücksichtigtwerden umlaufendes System stationäreLösung DifferenzLösung dafür gilt wieder die homogeneRekursion wichtigfürstationäreLösung: Invertiebarkeit von IT wichtigfür Stabilität: Eigenwerte von T

7. bisher magnetisches System, ebeneTrajektorie, entkoppelteEbenen: keinePhasefokusierung; ProblememitlongitudinalemPhasenraum: Momentum-Abweichung wirdnichtbehoben, akumuliertsichbeikonstanterAnregungimmer weiter auf; auchohneAnregung: die Verteilungzerflieβt longitudinal (sieheÜbung 6d); wirbrauchen: longitudinaleBeschleunigung, also RF-Felder und Dämpfungdurchinkoheränte Synchrotron Strahlung

8. mitDämpfungkönnte man imPhasenraumakumulieren Bilderaus [K.Wille]

9. lineares, diskretes Beschleuniger Modell (Gap) diskretes (sehrkurzes) Gap mitbeschleunigendem Feld: g gap Strahlrohr p2 E(t) p1 relativistischeNäherung (p1/m0c >>1): Linearisierung des zeitabhängigenFeldes:

10. lineares, diskretes Beschleuniger Modell (Gap) g gap Strahlrohr p2 E(t) p1

11. lineares, diskretes Beschleuniger Modell (Gap) g gap Strahlrohr p2 E(t) p1 gleichesReferenz-Momentum: angepaβtesReferenz-Momentum:

12. normierteEmittanz vordem Gap: dahinter: mit relativistischeNäherung (p1/m0c >>1):

13. Synchrotron Schwingung longitudinaleDynamik: Position l und Momentum-Abweichung Phasenfokusierung: zeitharmonischeslongitudinales Feld zweiTypen von Lösungen separatrix “Rotation” “Schwingung” wirbraucheneinrückstellende Kraft! im linearisierten Modell gibt es nur den Typ “Schwingung”

14. Synchrotron Schwingung magnetisches System, ebeneTrajektorie, entkoppelteEbenen, einUmlauf:  horizontaleBetatronSchwingung  vertikaleBetatronSchwingung woist die Phasenfokusierunggebleiben? wirbraucheneinzeitabhängigeslongitudinales Feld: Resonator imNulldurchgang, dennwirhabennochkeineEnergie-Verluste GapimNulldurchgang  longitudinale Synchrotron Schwingung vereinfachteTheorie: KopplungdurchD, D’, R51, R52vernachlässigt

15. Synchrotron Schwingung Eigenwerte des longitudinalen Systems: mit Frequenz der Synchrotron Schwingung: mit der UmlaufdauerTu imGegensatzzu den transversalen (Betatron) Schwingungenist die Wellenlänge groβgegen die Umlauflänge; (nureinlongitudinaler Kick pro Umlauf!) beiRingenmit starker Fokussierungenthält der transversalePhasenvorschubein Vielfaches von 2; zurErinnerung:

16. Ein-TeilchenSynchrotron-Strahlung courtesy T. Shintake http://www.shintakelab.com/en/enEducationalSoft.htm

17. Ein-TeilchenSynchrotron-Strahlung Kausalitätskreise “retardiertes” Teilchen abgestrahlteLeistung aktuelle Position

18. Ein-TeilchenSynchrotron-Strahlung einigerundeMaschinen (aus K. Wille)

19. kohärente und inkohärente Synchrotron-Strahlung inkohärenteStrahlung von NTeilchen: kohärenteStrahlung: unabhängig von der Energieaberabhängig von der Bunchlänge voll-kohärent; Bunch strahltwieeinTeilchenmit der Ladung(Ne)

20. kohärente und inkohärente Synchrotron-Strahlung abgestrahlteLeistung Bunch Länge

21. SektormagnetmitStrahlung Änderung des longitudinalen Momentums mit , und relative Momentum-Abweichung ReferenzEnergie

22. SektormagnetmitStrahlung konstantes B-Feld: Änderung des longitudinalen Momentums Änderungder relativen Momentum-Abweichung (in 1ter Ordnung)

23. SektormagnetmitStrahlung die Strahlungistimmer in VorwärtsRichtung; deswegenändertsichnur die Gleichungfür mit das VolumenimPhasenraumistnichtmehrkonstant: das isteineguteNachricht, dennwirhabeneinenDämpfungsmechanismus gefunden!

24. DämpfungsRinge SLC ILC

25. SektormagnetmitStrahlung einfaches Modell fürkurzenSektormagnet (L/R <<1): erstSektormagnetohneStrahlung danndiskreteVerluste längereMagnetedurchStückelung in kurzeMagnete

26. Beispiel (sieheauchÜbungsaufgabe) an einemfestenPunkt: z = z0 kompletterUmlauf stationäreLösung stationäreLösungentlangeinesUmlaufs: Gewinnim Gap  Momentumverlust in den Magneten

27. Beispiel (sieheauchÜbungsaufgabe) an einemfestenPunkt: z = z0 DifferenzLösung dafür gilt wieder die homogeneRekursion Startwert 100 Umläufe Synchrotron Schwingung 10000 Umläufe Dämpfung

28. Dämpfung von Orbit Schwingungen, Robinson Theorem naives Modell: kompleterUmlauf in magnetischem System ohneStrahlung diskreteStrahlungsveluste des ganzenUmlaufs Ausgleich der Verluste in Gap Energieverlust pro UmlaufE

29. Dämpfung von Orbit Schwingungen, Robinson Theorem naives Modell: kompleterUmlauf in magnetischem System ohneStrahlung diskreteStrahlungsveluste des ganzenUmlaufs Ausgleich der Verluste in Gap also ist die DämpfungskonstantefürtransversaleSchwingungen: und fürlongitundinaleSchwingungen:

30. Dämpfung von Orbit Schwingungen, Robinson Theorem das naives Modell ergibt die richtigeDämpfungyfür die vertikaleEbene, da diese vollständig von entkoppeltist; die Gesamtdämpfungx+||für die anderenEbenen istauchrichtig, dochteiltsiesichanders auf; (sieheÜbung 9); das Robinson Theorem beschreibt die Aufteilung der Dämpfungskonstanten: mit und Dpder periodischen Dispersion

31. kann die Phasenraumdichtebeliebigkleinwerden? Körnigkeit: AnregungdurchAbstrahlung in Photonen (Quanten) Kohärenz: falls die Dichtegro genugist; dafür gilt wiederLiouville! kann die Phasenraumdichtegröerwerden ? Körnigkeit: … Nicht-Linearitäten: zwarbleibt die (lokale) Dichtekonstant, doch die (globale) VerteilungnimmtdennochmehrRaumein; z.B: Filamentierung

32. Ein-TeilchenSynchrotron-Strahlung Spektrum der abgestrahltenLeistung kritischeFrequenz courtesy T. Shintake http://www.shintakelab.com/en/enEducationalSoft.htm

33. natürliche Strahlemittanz kritischeFrequenz

34. natürliche Strahlemittanz natürlicheStrahlemittanz normiertenatürlicheStrahlemittanz und hängt von der periodischen Dispersion und den periodischenTwiss-Parameternab

35. Selbsteffekte (Raumladung und Wakes) Felder = externe Felder + Selbst-Felder 1-Teilchen Dynamik kollektiveEffekte Selbst-Felder Raumladungs-Effekte Modell = linearegleichförmigeBewegung Kraft ~ 1/ 2 Wake-Felder WechselwirkungmitgeometrischenObjekten (Resonatoren, Strahlrohr, ... ) fürgleichförmigeBewegung (meist v  c) kurzeReichweite: verkoppeltTeilchenimgleichenPaket langeReichweite: multi-Bunch Effekte (auch “beam loading) kohärenteStrahlung Bewegung auf gekrümmtenBahnen (meistohne longitudinaleBeschleunigung)

36. Selbsteffekte (Raumladung und Wakes) “Wakes”

37. Selbsteffekte (Raumladung und Wakes) “Wakes” …

38. Selbsteffekte (Raumladung und Wakes) “Beam-Loading” Strahl-Strom