Misura:

1. Misura: • “Espressione quantitativa del rapporto fra una grandezza ed un’altra ad essa omogenea scelta come unità” • A priori non si conosce il valore di ciò che si misura, al più si avrà una idea sull’ordine di grandezza. • E’ quindi necessario fornire un errore, cioè una stima della possibile differenza tra il valore della misura e quello reale (che non conosciamo). • La misura quindi: • E’ una espressione quantitativa • Necessita di una grandezza di riferimento (metro, grammo, secondo, Newton ...) • Necessita di una stima dell’errore • Il risultato di una misura NON consiste SOLO nel valore fornito • dallo strumento, ma anche di un errore e di una unità di misura • (la mancanza di uno di questi termini rende gli altri inutili). • Una misura DEVE dare una informazione COMPLETA. • Esempio: • Massa = 0.23 ± 0.01 10-5 Kg

2. Errore: • “Differenza tra un valore misurato e quello reale” • L’errore determina quanto affidabile è la misura, la sua accuratezza e la sua precisione. • Accuratezza: • Stima di quanto il risultato di una misura è vicino al valore reale della quantità misurata (una stima della precisione è data dalla varianza, deviazione standard ...). • Precisione: • Stima della ripetibilità della misura (misure diverse della stessa quantità devono convergere allo stesso risultato) Bassa Accuratezza Bassa Precisione Alta Accuratezza Alta Precisione Bassa Accuratezza Alta Precisione (errore piccolo, valor medio lontano dal valore vero, errore sistematico) Alta Accuratezza Bassa Precisione (errore grande)

3. ATTENZIONE Da un punto di vista sperimentale, scrivere: 12 12.0 12.00 12.000 Oppure 120000 1.2E5 120E3 è molto diverso ! Non scrivere una cifra o un decimale nel riportare una data misura o numero indica l’impossibilità di conoscere il valore di quella cifra Se scrivo 12.0 indica che 12.0 Valori non noti ma non per questo nulli

4. ATTENZIONE Non ha senso scrivere X = 12.345689 ± 0.1 X = 12.3 ± 0.137845 X = 12.345689 ± 0.190865 Attenzione ai decimali ogni cifra scritta in una misura ha un preciso significato

5. Analisi dei Dati • Supponiamo di dover misurare una osservabile • (un peso, una lunghezza, etc. etc.) • Facciamo quindi N misure della osservabile in questione • Come procede l’analisi dei dati ? • Distribuzione in frequenza • Parametri della distribuzione: Stime dell’osservabile • Mediana • Moda • Valor medio • Parametri della distribuzione: Stime dell’errore e dispersione • Deviazione • Deviazione Media • Varianza • Deviazione Standard • Deviazione dalla Media • Grandezze Derivate e studio di fattibilità • Propagazione degli errori • Retta dei minimi quadrati • Media pesata

6. Il totale deve essere uguale al numero di misure Distribuzione in Frequenza Se si vuole misurare una osservabile, quindi, è necessario effettuare una o più misure. Ciascuna di queste misure ha, il più delle volte, un risultato differente. E quindi possibile costruire il grafico della distribuzione: Misuriamo ad esempio la massa di un oggetto Eseguo 21 misure della stessa quantità. Ottengo 21 numeri differenti. Costruisco un grafico che ha come ascissa il valore della misura, sulla ordinata il numero di volte in cui ho ottenuto tale misura. (Distribuzione in frequenza, f(x)) • Stabilisco un passo: in questo caso 0.1 g • Se troppo piccolo  1 conteggio per canale/classe • Se troppo grande  tutte le misure in un canale/classe

7. Passo troppo largo Passo troppo stretto • I punti sono distribuiti attorno ad un certo valore m • La dispersione attorno a m è un indice dell’errore della misura • Maggiore è il numero delle misure maggiore sarà la precisione con cui determinerò m

8. 100 Misure 250 Misure 1000 Misure 4000 Misure Nota: Aumentando il numero di misure non cambia ne la forma della distribuzione ne la sua dispersione, riesco solo a determinare con piu precisione la forma della distribuzione ed eventualmente i suoi parametri

9. Normalizzando rispetto al numero totale di misure si ottiene la probabilità con cui è possibile ottenere una misura

10. Parametri della distribuzione: Stime dell’osservabile Infinite Misure (N >> 1) Media  mData una serie di N misure, ciascuna con risultato xi allora la media m è definita come: Mediana  m1/2 Data una serie di N misure, ciascune con risultato xi allora la mediana m 1/2è definita come quel valore di x tale che il 50% delle misure diano un risultato superiore ed il 50% inferiore mmax= Moda Data una serie di N misure, ciascuna con risultato xi allora mmaxè definito come il valore per cui la probabilità della “Popolazione” sia massima • Nota: • f(x) indica la distribuzione (non normalizzata) delle misure • Se la distribuzione di probabilità è simmetrica m =m 1/2 =m max • In generale m 1/2 è poco usato in quanto difficile da calcolare • Il valor medio m è uno dei parametri che descrivono la distribuzione di probabilità delle misure. Ha le stesse unità di misura del valore ‘vero’ dell’osservabile e ne è la miglior stima

11. Parametri della distribuzione: Stime della dispersione dei dati Infinite Misure (N >> 1) Deviazione d Nota: E’ poco utile Deviazione media ( a ) Nota: Se venisse tolto il modulo la sommatoria sarebbe nulla Nota: La Deviazione media è una misura della dispersione delle misure attorno alla media Varianza ( s2 ) Nota: La varianza NON ha le stesse unità di misura della media Deviazione standard ( s ) Nota: La deviazione standard HA le stesse unità di misura della media La Deviazione standard descrive la dispersione delle misure attorno alla media e quindi quantifica l’effetto delle fluttuazioni statistiche nelle condizioni sperimentali di misura

12. Distribuzione di Popolazione Valore Reale N Misure ATTENZIONE In qualsiasi esperimento reale è possibile fare solo un numero finito di osservazioni Le N misure di un esperimento reale non costituiscono un sottoinsieme finito della ‘distribuzione ideale’, cioè un campione (campione di popolazione). Qui entra in gioco l’errore sperimentale. Per mezzo delle N misure è possibile stimare i parametri della distribuzione di popolazione che a loro volta danno una stima del valore ‘reale’ dell’osservabile misurata

13. Parametri della distribuzione: Stime dell’osservabile e stime della dispersione dei dati N Misure • Avendo a disposizione N misure: • La più probabile stima della media m della distribuzione di popolazione, che a sua volta è la più probabile stima del valore reale, è il valor medio delle misure • La migliore stima della Varianza del valor medio misurato da quello della distribuzione di popolazione è data da: • Esempio Dadi !! • Il fatto che al denominatore vi sia (N-1), invece che N come nel caso della distribuzione di popolazione, dipende dal fatto che in un insieme di N osservazioni ho solo N-1 gradi di libertà. Perdo un grado di libertà rispetto alla distribuzione di popolazione perché con le N osservazioni devo trovare anche il valor medio. • Grado di libertà: numero di osservazioni in eccesso rispetto a quelle necessarie per determinare i parametri delle equazioni. • Nota: quando N  allora • Infatti la varianza della distribuzione di popolazione non dipende dal numero di misure ma è intrinseca nella misura stessa

14. Nota: Se ho una sola osservazione x1 Infatti con una sola osservazione ho un solo grado di libertà che uso per determinare il valor medio, non ho gradi di libertà addizionali per calcolare la varianza Se avessi usato la varianza della distribuzione di Popolazione Cioè avrei una misura con varianza nulla cioè con precisione infinita

15. Nota MOLTO Importante: • Tanto maggiore è il numero di misure tanto minore sarà la differenza tra m ed <x>. • La deviazione standard sNON cambia se aumento il numero di misure • Che cosa misura la deviazione standard (s o s) ? • Perché aumentando il numero di misure aumento • la precisione nella stima di m ? • La stima dell’errore nella stima di m deve dipendere dal numero di misure N. • Si può dimostrare che l’errore sm che si compie nella stima del valor medio della distribuzione di popolazione mediante la media del campione (standard error) vale • Sm = Deviazione dalla Media o ‘Errore Standard’ 100 Misure 250 Misure 1000 Misure 4000 Misure Nota che se N ->  allora sm= 0, cioè non ho errore nella determinazione del valor medio della distribuzione di popolazione

16. Nota importante La deviazione dalla media è uno strumento molto utile per valutare il numero di misure necessarie per ottenere un certo errore. P.es. Devo misurare una osservabile, una stima a priori mi dice che dovrei ottenere come valor medio <x> ed una deviazione standard s Se volessi raggiungere una precisione pari all’1% quanti cicli di misura dovrei fare ?

17. Analisi degli errori • Sono state misurare un certo numero di osservabili. Ciascuna osservabile è quindi nota con un valor medio e con un errore • In che modo è possibile combinare questi risultati per trovare l’errore con cui conosco una quantità derivata ? • Esempio: • Voglio misurare l’accelerazione di gravità mediante il pendolo • Misuro la lunghezza del pendolo l = 0.95 m s = 0.1 m • Misuro il periodo di oscillazione T = 2.0 sec s = 0.5 sec • Posso estrarre g • Con che precisione conosco g ?

18. Tecnica della propagazione errori: Data una quantità x = f(u,v,...) dove u,v,.. sono delle osservabili La misura di u ha dato un valor medio <u> ed una varianza su2 La misura di v ha dato un valor medio <v> ed una varianza sv2 Allora il valore più probabile per la quantità x sarà Quanto vale l’errore (deviazione standard) sul valore di x ? Si può dimostrare che, se le fluttuazioni delle osservabili u e v sono tra loro scorrelate, allora: Per dimostrarlo si sviluppa in serie sx (attorno al valor medio) e ci si ferma al primo ordine

19. Esempio Calcoliamo l’errore sul seno di un angolo Sia q = 1.484 radianti 85 gradi Sia sq = 0.017 radianti 0.97 gradi Voglio conoscere come l’errore si propaga l’errore su Applico la relazione di propagazione degli errori

20. Nota Importante • La propagazione degli errori può essere usata in diversi contesti: • Prima di effettuare una misura: • Si può fare uno studio di fattibilità della misura sperimentale. Infatti ipotizzando a priori una determinata configurazione sperimentale e l’errore sperimentale sulle singole quantità misurate posso avere una stima di quale può essere l’errore finale sulla mia misura sperimentale • Una volta fissata la condizione sperimentale, è possibile valutare quale sia il peso che le misure delle differenti osservabili hanno sull’errore totale • Dopo aver effettuato la misura • Una volta misurate tutte le osservabili e ricavato il loro valor medio e deviazione standard ricavare l’errore sulla quantità derivata

21. Esempio: • Voglio misurare l’accelerazione di gravità mediante il pendolo • Misuro/stimo la lunghezza del pendolo l = 0.95 m s = 0.001 • Misuro/stimo il periodo di oscillazione T = 1.94 sec s = 0.01 • Quindi g = 9.92 m/s2 • Calcolo l’errore su g • Gli errori pesano in maniera identica • L’incertezza sul tempo è quello piu importante vista la strumentazione usata (sT >> sl)

22. ERRORE PERCENTUALE E’ il rapporto tra l’errore ed il valore della osservabile Esempio 1: Il peso di un uomo e’ di 85.4 Kg con s=0.1 kg Errore Percentuale = 0.1/85.4 = 0.001171 = 0.1 % Esempio 2 La misura di un tavolo e’ 1.23 m cons = 0.02 m Errore Percentuale = 0.02/1.23 = 0.016 = 1.6 %

23. Media Pesata Può capitare che una grandezza sia stata misurata più volte da persone o con tecniche differenti Ciascuna di queste misure a sua volta è il risultato di molte misure e quindi è nella forma Il calcolo del semplice valor medio potrebbe non essere conveniente se le incertezze non sono uguali o molto simili. E’ in generale più corretto usare la media pesata definita come Attenzione: controllare che le misure siano consistenti, cioè che la discrepanza tra le diverse misure non sia sensibilmente maggiore delle rispettive deviazioni standard

24. Metodo dei minimi Quadrati • Date delle coppie di misure xi ed yi • Sia l’errore nella determinazione di xi molto minore di quello relativo a yi • Sia lineare il legame tra le due osservabili x ed y • Il problema consiste nel trovare una tecnica per trovare i coefficienti a e b che minimizzano la discrepanza tra la retta ed i punti sperimentali

25. Nell’ipotesi di trascurare gli errori sull’osservabile Y