Pertes et gains de charge

1. Cours de Mécanique des fluides Pertes et gains de charge Olivier LOUISNARD

2. Objectif • Comprendre l’origine et quantifier les pertes d’énergie dans un écoulement en tuyauterie • Quantifier les échanges entre le fluide et des machines tournantes réceptrices (turbines, éoliennes) génératrices (pompes) On va utiliser un outil simple : Formule de Bernoulli généralisée

3. Plan du cours Parenthèse : rappel de la conservation de l’énergie pour un fluide Premier principe en système ouvert Théorème de l’énergie cinétique pour un fluide. Application à une tuyauterie en présence d’une machine Cas du fluide incompressible : formule de Bernoulli généralisée Pertes de charge Linéique (le long d’un tube) Singulière (dans un accident géométrique) Gain de charge Pompe

4. S v dS n V n v Variation d’énergie totaledu fluide dans le volume V Energie totale transportée par le fluide rentrante - sortante + Puissance du poids Puissance des forces de pression Puissance des frottements visqueux Rappel: conservation de l’énergie

5. Rappel : (admis, cf. cours 7) (démontré dans le poly) Application: tuyauterie + machine Se Ss Su v V n n v

6. Se Ss Su v V n n v Soit en utilisant la définition de l’enthalpie : Premier principe en système ouvert On obtient : C’est le premier principe de la thermo en système ouvert ! • Il fait intervenir la puissance des forces extérieures (Se + Ss + Su) • Attention : enthalpie car on a séparé les puissances de forces de pression sur Se et Ss de celles sur Su • Il ne dit rien sur les pertes par frottement au coeur du fluide (= puissances de forces intérieures)

7. Le premier principe dit que : Le théorème de l’En. Cin. dit que : Variation d’énergie cinétiquedu fluide dans le volume V Energie cinétique transportée par le fluide rentrante - sortante Puissance du poids Puissance des forces de pression externes Puissance des frottements visqueux externes Fonction de dissipationFv toujours > 0 Lié à la compressibilité> 0 si détente < 0 si compression nul en incompressible Puissance des forces de pression internes Puissance des frottements visqueux internes Théorème de l’énergie cinétique

8. Puissance fournie (>0)ou cédée (<0)par la machine Variation énergiecinétique + potentielle depesanteur Débit d’énergie mécanique entrant Débit d’énergie mécanique sortant Puissance perdue par frottementvisqueux > 0 Opposé de l’énergie potentiellede compression Application: tuyauterie + machine Se Ss Su v V n n v

9. on moyenne sur un cycle de la machine Perte de charge= Puissance perdue par frottementvisqueux Gain prélévé (<0) ou cédé (>0) par la machine Charge à la sortie Charge à l’entrée Formule de Bernoulli généralisée On suppose de plus : • fluide incompressible : => régime périodique = « pseudo-permanent » Remarque : c’est une généralisation de la formule de Bernoulli

10. Hauteur de charge à la sortie Hs Hauteur de charge à l’entrée He > 0 > 0< 0 Formule de Bernoulli généralisée Au lieu de 0pour Bernoullifluide parfait sans machine ! Charge à la sortie Ps Charge à l’entrée Pe En divisant par rg, on peut reformuler avec la hauteur de charge On exprime tout en termes de hauteurs. C’est un artifice. L’écoulement peut très bien être purement horizontal

11. v pe ps D L En fluide parfait, Bernoulli : Pertes de charge linéiques Dites aussi « régulières » ou « en ligne » Décrivent la perte d’énergie le long d’un tuyau En fluide réel, Bernoulli généralisé : La pression diminue le long de l’écoulement Attention : ce n’est pas la vitesse qui diminue ! vS = Cte

12. Comment estimer ? Analyse dimensionnelle : en laminaire (Re < 2300)(on le montrera) précis, en turbulente = rugosité (en m) approximatif, en turbulent Pertes de charge linéiques (suite) v pe ps D L Ce n’est pas une formule utilitaire Elle ramène le calcul de hv (hauteur) à celui de f (sans dimension) f coefficient de perte de charge = f (Re, e/D), e rugosité

13. Turbulent Laminaire f presque indépendant de Repour Re élevé Transitionlaminaire/turbulentpour Re = 2300 Diagramme de moody Donne f ( Re , e/D) f Re

14. Analyse dimensionnelle : Pertes de charge singulières Lié à un « accident » sur a tuyauterie (rétrécissement, coude, robinet ...) Ce n’est pas une formule utilitaire Elle ramène le calcul de hv (hauteur) à celui de ev (sans dimension) ev dépend : de Re (peu en turbulent) de la géométrie de la singularité

15. Référencevitesse amont Référencevitesse aval Pertes de charge singulières

16. Pertes de charge : la bible

17. Gains de charge : pompes Une pompe augmente l’énergie mécanique du fluide D D • Dans cet exemple augmente la pression du fluide • Exactement l’inverse d’une perte de charge

18. Attention : la puissance délivrée par une pompe dépend du débit Dépendance environ parabolique Caractéristique d’une pompe (débit nul => puissance nulle) MAIS

19. Equation implicitesur le débit Application aux réseaux de fluide

20. Application aux réseaux de fluide Mêmes concepts qu’en électricité : Lois des mailles (Dcharge <=> DV) Lois des noeuds (débit = courant) MAIS Equations non linéaires Mêmes problèmes complexes : Changements de topologie Théorie des graphes