Matematika és a művészetek kapcsolata (Aranymetszés)

1. Matematika és a művészetek kapcsolata(Aranymetszés) Verebély László Szakközépiskola és Szakiskola csapata Tagok:Gáll Patrik (12.B) Grenyó Dávid (12.B) Nagy Herda Dániel (12.B) Felkészítő tanár: Nagyné Bodó Beatrix Budapest, 2011. február 2.

2. Az aranymetszés • A matematika, a művészetek és egyes természeti jelenségek között teremt igen szoros kapcsolatot az aranymetszés néven ismert egyszerű aránypár • Egy szakasz vagy mennyiség aranymetszés szerinti felosztásakor a keletkező kisebb darab úgy aránylik a nagyobbhoz, mint a nagyobb az egészhez • Képlettel felírva:  a/b=b/(a+b) • Igazolható, hogy ez csak egyetlen felosztás esetén állhat elő

3. a·(a+b)=b·b • A kifejezést másodfokú egyenletté alakítva kapjuk a következőt: a2+a·b-b2=0 • Ezt általában Φ-vel (fi) szokták jelölni

4. Az aranyszög • Aranyszögnek nevezik azt a szöget, melynek cosinusza éppen az aranymetszéshányadosával egyenlő:cosα=0,618034. . . • A szög értéke: 51°49’43” • Az aranyszög körzővel és vonalzóval való megszerkesztését visszavezethetjük az aranymetszésre

5. Az aranyszög szimbolikája • Az aranyszöggel sok más, jelképet hordozó relikvián, emléken találkozunk • Aranyszögetzárnak be az ismert Krisztus-monogram X jelének szárai a P betű szárával, és szintén aranyszöget fedezhetünk fel Szent István királyunk REX ST(Rex Stephanus)betűjeleit tartalmazó ligatúrás kézjegyén is

6. Ugyanez fedezhető fel a korai keresztény időből származó Krisztus-monogrammal egyesített (az életet jelképező)ankh-kereszten • A kereszt rajza az V.századból származó kopt gnosztikus papirusz-kódexben szerepel,mely felfedezőjéről, James Bruce-ról (XVIII. sz.) Codex Brucianus néven vált ismertté

7. Aranymetszés a matematikában • Az aranymetszéssel szoros kapcsolatba hozható a püthagoreusok által misztikus tisztelettel övezett, az univerzum jelképének tekintett szabályos ötszög • Bizonyítható, hogy e síkidom bármely két metsző átlója az aranymetszés szabályának megfelelően osztja egymást két-két részre,sőt: az összes átlót megrajzolva a keletkező újabb osztópontok is az eredeti szakaszok Φ-szeresénéltalálhatók • Az átlók a Pithagorasz csillagot határolják körül

8. A pentagram • Az ábrán láthatóABCDE csúcspontú csillagötszöget (pentagram) úgy kapjuk meg, hogy a szabályos HIKFG ötszög oldalait a metszéspontjukig meghosszabbítjuk • A püthagoreusok ezt a jelet használták egymás üdvözlésére és felismerésére, lerajzolva azt a homokba • A pentagram szögeinek összege: 5·36°=180°, ugyanannyi, mint egy háromszög belső szögeinek összege

9. Az aranymetszés szerkesztése • Legyen adott az EP=a szakasz, az E pontban állítsunk merőlegest EP-re, és mérjük rá az EP szakasz felét, kapjuk az Opontot, az O pont körül OE=PE/2=a/2 sugárral kört rajzolunk • A szakasz másik (P) pontjából húzzunk egy szelőt a kör középpontján át,ez metszi a kört az A (közelebbi) és B (távolabbi) pontokban, és aPA szakaszt P körül PE-re leforgatva kapjuk az M pontot • PE2=PA·PB(érintőszakasz tételéből) • Bevezetjük az ábra szerinti jelöléseket: EM=p, MP=q, EP=aAP=MP=q,AB=a, és PB=a+q

10. A szelő tételt ezekkel a jelölésekkel átírva: a2=q·(a+q) • A jobb oldalon felbontva a zárójelet: a2=aq+q2 • Az aq tagot a bal oldalra átvíve: a2-aq=q2 • Itt a-t kiemelve: a(a-q)=q2 • Mivel:a-q=p, ezért:ap=q2 • Az a=p+q jelölést is felhasználva: (p+q)p=q2 • Ezt aránypárba átírva: p:q=q:(p+q) • Tehát az M pont valóban az aranymetszésnek megfelelő arányban osztotta fel a PE=a szakaszt • Aranymetszéssel lehet szabályos öt és tízszöget szerkeszteni • Az r sugarú körbe írt szabályos 10 szög oldala a kör sugarának aranymetszéssel kapott hosszabbik szelete • Szabályos 10 szögből természetesen könnyű szabályos ötszöget szerkeszteni

11. Aranymetszés a művészetekben, építészetben és a természetben • Már az ókorban is ismerték az aranymetszést, és előszeretettel használták • Rájöttek ugyanis, hogy az aranymetszéssel osztott távolságok általában kellemes benyomást keltenek a mű szemlélőjében • Az ókori Egyiptomban még valószínűleg nem tudatosan alkalmazták a módszert, bár a gizai piramisokon felfedezhetők az aranymetszésre jellemző arányok • Kairótól nem messze, Giza városában található a világ talán leghíresebb, legtöbbet tanulmányozott építménye: a Kheopsz-piramis

12. A Kheopsz piramis(i.e. 2500) • Az ókorban nem volt toronydaru, sőt, Egyiptomban a vasat sem ismerték • E hatalmas monstrumok elkészítése pedig (egyes vélemények szerint) még a mai technológiával is lehetetlen lenne • A Kheopsz-piramis eredetileg 146 méteres magasságával, 230×230 méteres alapterületével és 31 millió tonnás súlyával mindenesetre kemény kihívást jelentene bármely mai építésznek is

13. A Rhind-papírusz tekercsek betekintést engednek a kor matematikai eszköztárába • Az egyiptomiak ismerték a felszín- és térfogatszámítás alapvető módszereit, igen jó közelítéssel ki tudták számolni adott sugarú kör területét, használták a törtszámokat, és meg tudtak oldani egyszerűbb egyenleteket • Bizonyosan tisztában voltak a Pitagorasz-tétellel, ám a trigonometrikus függvények közül valószínűleg csak a cotangenst ismerték (bár egyes vélemények szerint azt sem) • Mindazonáltal a piramisok elhelyezkedése és méretei meghökkentően pontos számításokat sejtetnek a háttérben • A Kheopsz például pontosan a Baktérítőre épült, sarkai pedig minimális (3 ívperces) eltéréssel a négy égtáj felé mutatnak. A különbség az építés idején akár nulla is lehetett, mivel a földrajzi északi pólus – ahol a Föld forgástengelye metszi a felszínt – néhány évezred alatt akár több fokot is fordulhatott • További érdekesség, hogy a piramis négy sarkának tengerszint feletti magassága maximum 1 cm-es eltérést mutat

14. Írásos emléket a piramisokról elsőként (a történetírás atyjaként tisztelt görög utazó)Hérodotosz hagyott ránk • Lejegyezte az építmények elbűvölő geometriai tulajdonságait, többek között, hogy a piramis magasságának négyzete megegyezik az egyes oldallapok területével • Elképzelése szerint nem rabszolgabrigád, hanem megközelítőleg100 000, a földeken éppen munkát nem találó paraszt végezte azépítkezés javát • Egy részük az Arábiai-hegységből követ fejtett és juttatott el a Nílusig, a többiek pedig a folyótól a Líbiai-hegységig vonszolták a többtonnás tömböket • Tíz évig tartott, amíg az építő-anyag szállítására szolgáló út elkészült, majd az építkezés további húsz évet vett igénybe • A simára faragott kőtömböket lépcsőzetesen, mérleghintához hasonló emelők alkalmazásával juttatták a rendeltetési helyükre • Hérodotosz történetének némiképp ellentmond, hogy a tudomány mai állása szerint az egyiptomiak sem a csigákat, sem az emelőket nem ismerték

15. Modernebb elméletek szerint Kheopsz kezdetben mindössze egy szerény, csonkagúla-alapú, földszintes síremléket (masztabát) tervezett magának, és csak később építtetett erre további szinteket • Észrevehető, hogy egy oldallap magassága (s) és az alapjának fele (b) között fennáll az s/b=(s+b)/sösszefüggés, ami éppen az aranymetszés • Bár szinte biztos, hogy Egyiptomban ezt nem ismerték

16. A piramis magasságának négyzete az oldalak területével azonos • Az ábra jelöléseivel: h2=s·b • A Pitagorasz-tételből következően:h2=s2-b2 • A két egyenletből:s·b=s2-b2 • Némi átrendezés után:s2=b·(s+b), amiből pedig mindkét oldal s·b-vel való osztása után megkapjuk az s/b=(s+b)/sösszefüggést • Rejtély persze még így is maradt bőven… • Többen a Föld alapvető fizikai adatait vélik felfedezni a piramis paraméterei között, mások bibliai utalásokat találtak bennük, sőt: némelyek földönkívüli lények munkáját sejtik a sokat látott építmények falain

17. Az athéni Akropolisz • Főépítésze (Pheidias) a Tympanon tervezésekor rengeteg helyen élt az aranymetszés lehetőségével • Már az oszlopcsarnok homlokzatának alakja is egy ún. aranytéglalapra épül • Ennek az a speciális tulajdonsága, hogy az oldalait a-val és b-vel jelölve teljesül rájuk az aranymetszés

19. Egyéb építészeti remekművek az aranymetszés jegyében • A római Szent Péter Bazilika, mely több évszázadon keresztülépült, alaprajzától a kupola tervezéséig számos méretviszonyában hordozza az aranymetszésnekmegfelelő arányokat • A Firenzében ma is látható Santa Maria Novella homlokzata • A firenzei Strozzi palota • Gustav Eiffel Párizsivilágkiállításra készült híres tornya • A világhíres francia építész, Le Corbusier épületei • Lechner Ödön tervezte budapesti épületek homlokzatai

20. Leonardo da Vinci: Mona Lisa • Leonardo da Vinci leghíresebb műve, a Mona Lisa több „láthatatlan”, aranytéglalapot tartalmaz • A festő (a reneszánsz mesterek hagyományait követve) több évig dolgozott a képen, így nem kizárt, hogy a kompozíció kialakításakor szántszándékkal alkalmazott matematikai eszközöket

21. Leonardo da Vinci: Angyali üdvözlet • A képen a könyvtámasz alatti asztalka középvonalán áthaladó függőleges vonal a kép terét pontosan aranymetszés szerint osztja • Mária,illetve az angyal alakjának a középvonala az osztással kapott részeken belül szintén azaranymetszésnek megfelelően helyezkedik el úgy, hogy mindkettő az adott térrész ugyanazonoldalára esik • Ezzel olyan aszimmetria jön létre, mely a kép egyensúlyát biztosítja

22. Jan Wildens: Mocsárvidék • A Rubens nyomdokain haladó flamand festő, Jan Wildens1629-ben alkotott Mocsárvidékcímet viselő hangulatos képén az előtérben játszó gyermek pontosan a kép szélességénekrövidebb aranymetszetében van • A kép másik oldalán álló facsoportalacsonyabb, egyenes törzsű fája jelöli ki a hosszabbik aranymetszetet • A horizontvonal,mely egyúttal az épület előtt álló kőkapu tetejét is érinti és átmegy az épület egyik alacsonyabbanfekvő tetősíkján, a kép magassági méretének aranymetszete

24. August Renoir: Nő a Békástanyán • August Renoir: Nő a Békástanyán című képe valódi impresszionista festmény, ám üdeszínfoltjai és elmosódott kontúrok keltette könnyedsége mellett is jól átgondolt kompozícióstörvények szerint készülhetett • Az ábrázolt nő arcának középvonalánáthaladó egyenes pontosan a kép szélességi méretének az aranymetszetébe kerül • Az erkélykorlátjának felső széle, melyen a hölgy karja, illetve keze is nyugszik, a kép széléhezannak aranymetszetében illeszkedik,az e ponton áthaladó, a kép hosszával párhuzamosegyenes egyúttal a másik karnak az asztalra támaszkodó pontján is áthalad

26. De divina proportione(Az isteni arány) • Az elvont tudományok kutatása mellett természetesen nem feledkezett meg „tanult szakmájáról” sem • A festészetben sok társához hasonlóan a reneszánsz művészetek elsődleges témáját, az ember ábrázolását tekintette fő feladatának • Ehhez az időszámításunk előtti első században élt római tudós, Vitruvius megfigyeléseire támaszkodott • „Az emberi test középpontja természetesen a köldök. Ha egy kinyújtott karral és lábbal háton fekvő ember köré egy körzővel a köldökét középpontnak véve kört húzunk, akkor a kéz- és lábujjai érinteni fogják az így megadott kört. Ha pedig megmérjük a távolságot a talptól a fejtetőig, majd ezt összevetjük a kinyújtott karok hosszával, úgy találjuk, hogy a szélesség megegyezik a magassággal.” – írta Vitruvius • A tétel igazolását Leonardo egyik legismertebb vázlatán láthatjuk • A Vitruviánus ember egy idealizált férfialakot ábrázol, az emberek nagy részére természetesen nem teljesülnek a fenti arányok

28. A fejtető és köldök távolsága úgy aránylik egymáshoz, mint a köldök és a talp távolsága a testmagassághoz, 3:5:8 • A fejtető és a köldök, valamint a köldök és térd között azonos a távolság • Ugyancsak egyenlő messze van egymástól a köldök és a szeméremdomb; az állcsúcs és mellbimbók vonala; a köldök és a mellbimbók vonala • Hasonlóképpen egyenlő a távolság szeméremdomb és a térd; a fejtető és a mellbimbók vonala, a térd és atalp között

29. Ezt az arányt annyira szépnek tartották, hogy nagyon sok műemléken is felfedezhető • Így például a Belvederei Apollón szobron, amely Kr. e. 350 körül készült • Az "I" vel jelölt vonal az egész testet az aranymetszés arányának megfelelően osztja fel, azaz: • AI:IB=IB:AB

30. Aranymetszés a természetben • Tipikus példa a napraforgó tányérján elhelyezkedő magok • De az állat- és növényvilág számtalan lehetőséget nyújt az aranymetszés megfigyelésére • Az ábrán látható csigaház soron következő eleme például mindig Φ-szerese az előzőnek • A juharlevél formája is több helyen rejtegeti a nevezetes arányt • A fenyőtoboz pikkelyei

31. A nautilius • A nautilius egy - a Csendes-óceán nyugati részén élő, a puhatestűek törzsébe, a fejlábúak osztályába tartozó - csigaházas polip, amelynek csodálatosan szabályos héja van • Bárhogyan is húzunk vonalat a középponton áthaladva, mindegyik metszés-(AC:DB=FG:EG)arány aranymetszés

32. Aranymetszés egyéb műalkotásokban • Dante Isteni színjátéka, amelynek 100 énekéből a 62.-ben (amelyet lehet 100 aranymetszetének felfogni) válik el Dante Vergiliustól, és itt csatlakozik hozzá Beatrice, hogy a Paradicsomon végigkísérje • Kodály Zoltán Psalmus Hungaricusa 395 ütemből áll, a 245.(vagyis a 395∙0,618-adik) taktus kezdetével esik egybe a mű eszmei mondanivalójának kimondása: "Istenbe vessed bizalmadat." • A Szonáta két zongorára és ütőhangszerekre című teljes Bartók-mű aranymetszete az első és második tétel határvonala, a 78 taktusból álló bevezetés és főtéma kisebbik aranymetszete a 32. taktusnál van, a visszatérő főtag a 61. taktus, mely a főtémát 3 : 5 arányban osztja

33. Az ötfokozatúság az ember ősi zenei hagyományaihoz kapcsolódik, és kialakulásábanaz élő szervezetre vonatkozó legáltalánosabb törvényszerűségek is szerepet játszottak • Számos ősi kultúrához tartozó hangszeren öt húr található, vagy a hangszer maga ötfokozatúhangolású • A magyar népzene legősibb rétegei is ötfokozatú skálára épülnek, ésfőként a lá-pentatónia nyomait őrzik • A pentatónia más népek zenéjében is megtalálható,de elemeiből műzenei alkotásokban is gyakran építkeznek • A pentatónia az aranymetszés zenei hordozója • A lá-pentatónia tiszta megjelenését illusztrálja Kodály gyűjtéséből aSej Dunáról fúj a szél kezdetű jól ismert népdal

34. A Fibonacci sorozat • A pizzai Leonardo a XII. és XIII. század fordulóján élt matematikus egyike volt azoknak, akik a hinduktól származó, de az akkori világban arab közvetítéssel elterjedő tízes alapú, helyi értékes rendszerre épülő számírási módot Európában meghonosították • Leonardo Pisano, ismertebb nevén Fibonacci kora matematikai ismereteit Liber Abaci címen ismert munkájában foglalta össze, melyben megtalálható a következő probléma, amit Fibonacci nyulaiként is gyakran emlegetnek: • Hány pár nyúlra szaporodik egy év alatt a kezdeti pár, ha tudjuk, a nyulak két hónap alatt válnak ivaréretté, és ezután minden pár minden hónapban egy új párnak ad életet és mindegyikük életben marad?

35. Az első hónapban egy nyúl-párunk van, és ugyanannyi lesz a másodikban is; a párok száma csak a harmadik hónapban változik egyről kettőre • A következő hónapban a szülők újabb párnak adnak életet, így a párok száma háromra nő, az ötödik hónapban azonban már az új pár is szaporulatképes, így az új párok száma kettővel nő, és az összes párok száma ötre gyarapodik • A következő hónapban már mindkét ifjabb generáció hoz létre utódokat, és a párok száma hárommal növekedve nyolcra változik • Az egyes hónapokhoz tartozó nyúl-párok számát leíró: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …számsor Fibonacci-sorozat néven vonult be a matematika történetébe • A sorozat előállításának alapja az a tulajdonság, mely szerint a harmadik elemtől kezdve bármely elem az előző kettő összege • A sorozat első két elemét azonban meg kell adni; ezek értéke a Fibonacci-sorozat esetén 1 • A sorozat definíciója ennek megfelelően: a1=1, a2=1 és an=an-1+an-2, ha n>2

36. A Fibonacci-sorozat elemei azonban nem alkotnak mértani sorozatot, az egymást követő elemek hányadosanem állandó Az elemek számának növelésével azonban ez a hányados egy állandó számhoz, a Φ-hez közelít

37. Írjuk fel a Fibonacci sorozat első néhány elemét és vizsgáljuk meg a szomszédos elemek hányadosát A hányados értéke a 10. elemtől közelít a 0,618-hoz, azaz az aranymetszési állandóhoz, a Φ-hez

38. Fibonacci négyzetek • Azokat a négyzeteket,melyek oldalainakmérőszámai a Fibonacci-sorozat elemei, Fibonaccinégyzetekneknevezik • Az elsőn négyzet egymáshoz illesztésével olyan téglalapokatkapunk, melyek oldalhosszai megegyeznek az n-edik és (n+1)-edik négyzet oldalánakhosszával • Vegyünk két egységnyi oldalhosszúságú négyzetet, (F1 és F2), és ezek fölött helyezzükel a 2 egységnyi odalhosszúságú F3 négyzetet • Az így kapott alakzathoz illesszünk(jobbról) olyan négyzetet,melynek odalhosszamegegyezik az előző két négyzet oldalánakösszegével (F4) • Az így kapott téglalap fölé illesszük az F5, majd ezekhez ismét jobbról azF6 négyzetet, és így tovább…