1 / 38

Matematika Diskrit ; logika oleh : Hanung N. Prasetyo

Matematika Diskrit ; logika oleh : Hanung N. Prasetyo. Textbook: Kenneth H. Rosen, Discrete Mathematics and its Applications, Mc.Graw Hill, 5 th Ed. Rinaldi Munir , Matematika Diskrit , Informatika Bandung Isi : Penalaran Matematika : logika , metoda dan pembuktian .

kare
Télécharger la présentation

Matematika Diskrit ; logika oleh : Hanung N. Prasetyo

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. MatematikaDiskrit;logikaoleh : Hanung N. Prasetyo

  2. Textbook: • Kenneth H. Rosen, Discrete Mathematics and its Applications, Mc.Graw Hill, 5th Ed. • RinaldiMunir, MatematikaDiskrit, Informatika Bandung • Isi : • PenalaranMatematika: logika, metodadanpembuktian. • AnalisisKombinatorial: counting, analisiscmb • StrukturDiskrit: representasidanketerkatianobjekdiskrit • Algoritma: spesifikasi, verifikasi, kompleksitas • Aplikasi M. Diskrit: dalamIlmuKomputer, jaringan, kimia, botany, linguistik, geografi, bisnis, internet. Matematika Diskrit Kuliah-1

  3. Mengapa matematika diskrit ? • Komputer (dijital) beroperasi secara diskrit dengan unit terkecil yg disebut bit. • Dengan demikian, baik • Struktur (rangkaian) dan juga • Operasi (eksekusi algoritma) Dapat dijelaskan dengan matematika diskrit Matematika Diskrit Kuliah-1

  4. Perangkat Matematika Perangkat yang berguna dalam matematika diskrit: • Logika Matematika (Logic) • Teori Himpunan (Set Theory) • Fungsi (Functions) • Deretan (Sequences) Matematika Diskrit Kuliah-1

  5. Logika • Bergunauntukmelakukanpenalaranmatematika • Digunakandalammendesainrangkaianelektronik. • Logikaadalahsuatusistem yang didasarkanpadaproposisi. • Suatuproposisiadalahsebuahpernyataan yang bisabernilaibenar(true/T)atausalah (false/F) tetapitidaksekaliguskeduanya. • Kita katakanbahwanilaikebenaran(truth value)darisebuahproposisiadalahbenaratausalah. • Dalamrangkaiandijital, nilaiinidinyatakansebagai1dan0 Matematika Diskrit Kuliah-1

  6. Proposisi atau Pernyataan “Gajah lebih besar daripada tikus.” Apakah ini sebuah pernyataan? YA Apakah ini sebuah proposisi? YA Apakah nilai kebenaran dari proposisi ini? BENAR Matematika Diskrit Kuliah-1

  7. Proposisi atau Pernyataan “520 < 111” Apakah ini sebuah pernyataan? YA Apakah ini sebuah proposisi? YA Apakah nilai kebenaran dari proposisi ini? SALAH Matematika Diskrit Kuliah-1

  8. Proposisi atau Pernyataan “y > 5” Apakah ini sebuah pernyataan? YA Apakah ini sebuah proposisi? TIDAK Nilai kebenaran dari pernyataan tersebut bergantung pada y, tapi nilainya belum ditentukan. Pernyataan jenis ini kita sebut sebagai fungsi proposisi atau kalimat terbuka. Matematika Diskrit Kuliah-1

  9. Proposisi atau Pernyataan “Sekarang tahun 2004 dan 99 < 5.” Apakah ini sebuah pernyataan? YA Apakah ini sebuah proposisi? YA Apakah nilai kebenaran dari proposisi ini? SALAH Matematika Diskrit Kuliah-1

  10. Proposisi atau Pernyataan “Tolong untuk tidak tidur selama kuliah” Apakah ini sebuah pernyataan? TIDAK Ini adalah sebuah permintaan. Apakah ini sebuah proposisi? TIDAK Hanya pernyataanlah yang bisa menjadi proposisi. Matematika Diskrit Kuliah-1

  11. Proposisi atau Pernyataan “x < y jika dan hanya jika y > x.” Apakah ini pernyataan ? YA Apakah ini proposisi ? YA … karena nilai kebenarannya tidak bergantung harga spesifik x maupun y. Apakah nilai kebenaran dari proposisi ini ? BENAR Matematika Diskrit Kuliah-1

  12. Penggabung Proposisi Beberapa contoh terdahulu menunjukkan bahwa beberapa proposisi dapat digabung menjadi sebuah proposisi gabungan. Hal ini kita formal-kan dengan melambangkan proposisi sebagai huruf-huruf; seperti p, q, r, s; dan memperkenalkan operator-operator logika. Matematika Diskrit Kuliah-1

  13. Operator logika Kita akan membahas operator-operator berikut: • Negasi (NOT) • Konjungsi (AND) • Disjungsi (OR) • Eksklusif OR (XOR) • Implikasi (jika – maka) • Bikondisional (jika dan hanya jika) Tabel logika (tabel kebenaran/ truth table) dapat dipakai untuk menunjukkan bagaimana operator-operator tsb diatas menggabungkan beberapa proposisi menjadi satu proposisi gabungan. Matematika Diskrit Kuliah-1

  14. Negasi (NOT) Operator Uner, Lambang:  Matematika Diskrit Kuliah-1

  15. Konjungsi (AND) Operator Biner, Lambang:  Matematika Diskrit Kuliah-1

  16. Disjungsi (OR) Operator Biner, Lambang:  Matematika Diskrit Kuliah-1

  17. Eksklusif Or (XOR) Operator Biner, Lambang:  Matematika Diskrit Kuliah-1

  18. Implikasi (jika - maka) Operator Biner, Lambang:  Matematika Diskrit Kuliah-1

  19. Bikondisional (jika dan hanya jika) Operator Biner, Lambang:  Matematika Diskrit Kuliah-1

  20. Pernyataan dan Operasi Pernyataan-pernyataan dan operator-operator dapat digabungkan menjadi suatu pernyataan baru. Matematika Diskrit Kuliah-1

  21. Pernyataan dan Operasi Pernyataan-pernyataan dan operator-operator dapat digabungkan menjadi suatu pernyataan baru. Matematika Diskrit Kuliah-1

  22. Pernyataan-pernyataan yang ekivalen Pernyatan (PQ) dan (P)(Q) adalah ekivalen secara logis, karena (PQ)(P)(Q) selalu benar. Matematika Diskrit Kuliah-1

  23. Tautologi dan Kontradiksi Suatu tautologi adalah pernyataan yang selalu bernilai benar Contoh: • R(R) • (PQ)(P)(Q) Jika ST sebuah tautologi, kita tulis S  T. JIka ST sebuah tautologi, kita tulis S  T. Matematika Diskrit Kuliah-1

  24. Kontradiksi Suatu kontradiksi adalah pernyataan yang selalu bernilai salah. Contoh: • R(R) • ((PQ)(P)(Q)) Negasi dari sebarang tautologi adalah sebuah kontradiksi, sebaliknya, negasi dari sebuah kontradiksi adalah sebuah tautologi. Matematika Diskrit Kuliah-1

  25. Latihan Kita tahu tautologi berikut: (PQ)  (P)(Q) Latihan di kelas : Tunjukkan bahwa (PQ)  (P)(Q). Kedua tautologi ini disebut sebagai hukum De Morgan Matematika Diskrit Kuliah-1

  26. Contohlogikadalaminformatika Operasi bit Sebuah bit hanyamengandungduanilaiyaitu 1 atau 0 1 untukmerepresentasikanbenar 0 untukmerepresentasikansalah Contohrangkaian bit 10011011 Matematika Diskrit Kuliah-1

  27. Misalkandioperasikanduabuahrangkaian bit yang tetap (operasiinibiasadisebut bitwise) 10011011 dengan 01010101 Hasilnya: 10011011 01010101 00010001 bitwise and 11011111 bitwise or 11001110 bitwise xor Matematika Diskrit Kuliah-1

  28. Matematika Diskrit Kuliah-1

  29. Aljabar OR boolean Hasilnyaadalahsemuahalaman yang mengandungsalahsatukata, aljabarataubooleanataukedua-duanya Aljabar AND boolean Hasilnyaadalahsemuahalaman yang mengandungduakataaljabardanbooleansekaligus. (cat: beberapamesinpencaritidakmemerlukan AND secaraeksplisit (Aljabar OR boolean) AND Mathematics Hasilnyaadalahsemuahalaman yang mengandungtepatkataaljabardanmatematikaatau yang mengandungkatabooleandanmatematikaatausekaligus yang mengandungkataaljabar, booleandanmatematika. Matematika Diskrit Kuliah-1

  30. Proposisi dan Fungsi Fungsi proposisi (kalimat terbuka) : Pernyataan yang mengandung satu buah variabel atau lebih. Contoh : x - 3 > 5. Misalkan kita sebut fungsi proposisi ini sebagai P(x), dimana P adalah predikat dan x adalah variabel. Apakah nilai kebenaran dari P(2) ? Salah Salah Apakah nilai kebenaran dari P(8) ? Benar Apakah nilai kebenaran dari P(9) ? Matematika Diskrit Kuliah-1

  31. Fungsi Proposisi Tinjau fungsi proposisi Q(x, y, z) yg didefinisikan: x + y = z. Disini, Q adalahpredikatdan x, y, and z adalahvariabel. Apakah nilai kebenaran dari Q(2, 3, 5) ? Benar Apakah nilai kebenaran dari Q(0, 1, 2) ? Salah Apakah nilai kebenaran dari Q(9, -9, 0) ? Benar Matematika Diskrit Kuliah-1

  32. Kuantifikasi Universal Mis. P(x) suatu fungsi proposisi. Kalimat yg dikuantifikasi secara universal : Untuk semua x dalam semesta pembicaraan, P(x) adalah benar. Dengan kuantifier universal : x P(x) “untuk semua x P(x)” atau “untuk setiap x P(x)” (Catatan: x P(x) bisa benar atau salah, jadi merupakan sebuah proposisi, bukan fungsi proposisi.) Matematika Diskrit Kuliah-1

  33. Kuantifikasi Universal Contoh : S(x): x adalah seorang mahasiswa IT. G(x): x adalah seorang yang pandai. Apakah arti dari x (S(x)  G(x)) ? “Jika x adalah mahasiswa IT, maka x adalah seorang yang pandai” atau “Semua mahasiswa IT pandai.” Matematika Diskrit Kuliah-1

  34. Kuantifikasi Eksistensial Kalimat yang di-kuantifikasi secara eksistensial: Ada x di dalam semesta pembicaraan dimana P(x) benar. Dengan peng-kuantifikasi eksistensial : x P(x) “Ada sebuah x sedemikian hingga P(x).” “Ada sedikitnya sebuah x sedemikian hingga P(x).” (Catatan: x P(x) bisa benar atau salah, jadi merupakan sebuah proposisi, tapi bukan fungsi proposisi.) Matematika Diskrit Kuliah-1

  35. Kuantifikasi Eksistensial Contoh : P(x): x adalah seorang dosen IT. G(x): x adalah seorang yang pandai. Apakah arti x (P(x)  G(x)) ? “Ada x sedemikian hingga x adalah seorang dosen IT dan x adalah seorang yang pandai.” atau “Sedikitnya satu orang dosen IT adalah seorang yang pandai.” Matematika Diskrit Kuliah-1

  36. Kuantifikasi Contoh lain : Misalkan semesta pembicaraan adalah bilangan riil. Apakah arti dari xy (x + y = 320) ? “Untuk setiap x ada y sehingga x + y = 320.” Apakah pernyataan ini benar ? Ya Apakah ini benar untuk bilangan cacah? Tidak Matematika Diskrit Kuliah-1

  37. Disproof dengan counterexample Counterexample dari x P(x) adalah sebuah objek c sehingga P(c) salah. Pernyataan seperti x (P(x)  Q(x)) dapat di-disproof secara sederhana dengan memberikan counterexample-nya. Pernyataan: “Semua burung bisa terbang.” Disproved dengan counterexample: Penguin. Matematika Diskrit Kuliah-1

  38. Negasi (x P(x)) ekivalenscrlogisdengan x (P(x)). (x P(x)) ekivalenscrlogisdengan x (P(x)). Matematika Diskrit Kuliah-1

More Related