LA MATEMATICA EGIZIA

1. LA MATEMATICA EGIZIA

2. LE FONTI

3. Uno dei più antichi reperti con numeri scritti in geroglifici è una testa di mazza in calcare decorata, nota come mazza del faraone Narmer, risalente al 3000 a. C. circa. Sulla testa di mazza sono incise più immagini, che hanno avuto varie interpretazioni. I numeri sono stati recentemente decifrati come il risultato della conquista delle regioni del delta del Nilo, un bottino di guerra di 400.000 bovini, 1422000 capre e 120.000 prigionieri.

4. I geroglifici sulla mazza Particolare: 400.000 bovini, 1422000 capre e 120.000 prigionieri.

5. Il papiro di Kahun(dodicesima dinastia)

6. Il papiro di Mosca

7. Il papiro di Rhind Fu acquistato, nel 1858, dallo scozzese Hanry Rhind, da cui il nome, a Luxor, in Egitto, ed oggi si trova al British Museum. Il papiro risale al 1650 a. C., è scritto in ieratico e non in geroglifici, ma, scrive lo stesso Ahmes, è copiato da un papiro risalente alla fine del Medio Regno. All'inizio del papiro si legge: “Regole per scrutare la natura e per conoscere tutto ciò che esiste, ogni mistero, ogni segreto”. Il papiro contiene tavole di calcolo e 87 problemi ripartiti in vari gruppi di natura pratica e connessi con le attività di ingegneria edile, di agricoltura, di amministrazione, di approvvigionamento etc., esposti con intento didattico.

8. IL SISTEMA GEROGLIFICO E IERATICO

9. Il sistema geroglifico

10. Esistevano sette simboli per indicare le potenze del 10:

12. Come tutte le popolazioni antiche, gli egizi non conoscevano lo zero e usavano una notazione non posizionale ma additiva, per scrivere 1301 usavano un fior di loto, tre corde arrotolate e un bastoncino 1301

13. Quando uno stesso simbolo doveva essere ripetuto più volte, fino ad un numero di quattro venivano scritti allineati, altrimenti su due o tre righe

14. La numerazione ieratica La numerazione ieratica era una numerazione semplificata, usata in particolare dai sacerdoti, mercanti e cittadini semplici. Essa non era presente in nessun documento ufficiale perché non era scrittura sacra. In essa si utilizzava un solo simbolo per i numeri da 1 a 9, da 10 a 90, da 100 a 900 e da 1000 a 9000. Ecco qua sotto riportata la scrittura ieratica:

15. LE OPERAZIONI

16. L’addizione Per addizionare due numeri si raggruppano i simboli dello stesso tipo, se la somma contiene dieci simboli uguali, questi vengono sostituiti dal simbolo con il valore successivo + 535 26 Agli undici bastoncini si sostituisce Abbiamo eseguito 535 + 26 ottenendo 561 561

17. La sottrazione La sottrazione veniva eseguita con la cancellazione, usando il cambio, quando necessario . Facciamo due esempi. ESEMPI O Simboli rimasti 12 33-21 Abbiamo eseguito 33 – 21, ottenendo 12

18. ESEMPIO 213 - 122 Rimane da cancellare un bastoncino curvo che non è disponibile; sostituiamo la corda arrotolata con dieci bastoncini curvi e ne cancelliamo uno. Simboli rimasti Abbiamo eseguito 213 – 122, ottenendo 91 91

19. La moltiplicazione La tecnica egizia per eseguire le moltiplicazioni non richiede la memorizzazione delle tabelline; è basata invece su raddoppi successivi. Vediamo alcuni esempi.

20. ESEMPIO ESEMPIO Si voglia eseguire 12 x 13=……… Si voglia eseguire 12 x 13=……… L’operazione procede su due colonne dove si eseguono raddoppi; a sinistra, a partire dall’unità e a destra quelli del secondo fattore L’operazione procede su due colonne dove si eseguono raddoppi; a sinistra, a partire dall’unità e a destra quelli del secondo fattore 1 2 4 8 1 2 4 8 13 26 52 104 13 26 52 104 4 volte 13 (52) e 8 volte 13 (104) danno 12 volte 13 cioè 156 4 volte 13 (52) e 8 volte 13 (104) danno 12 volte 13 cioè 156 1 2 4 8 1 2 4 8 13 26 52 104 13 26 52 104 4 volte 13 (52) e 8 volte 13 (104) danno 12 volte 13 cioè 156 4 volte 13 (52) e 8 volte 13 (104) danno 12 volte 13 cioè 156 E non abbiamo usato tabelline!!!! E non abbiamo usato tabelline!!!! E non abbiamo usato tabelline!!!! E E 12 12 156 156 E E 12 12 156 156

21. Il problema 32 del papiro di Rhind mostra come calcolare 12 x12 12 24 48 96 1 2 4 8 12 144 Gli unici calcoli effettuati sono il raddoppio e la somma

22. ESEMPIO Si voglia eseguire 67 x 30=……… A volte gli egizi usavano la moltiplicazione per 10 30 60 120 300 600 1200 1 2 4 10 20 40 67 2010

23. Il problema 6 del papiro di Kahun mostra come eseguire la moltiplicazione per 5: moltiplicare per 10 e dividere per 2 Eseguiamo 16 x 16 16 160 80 1 10 5 16 256

24. OSSERVAZIONE Il metodo di raddoppiare e sommare funziona sempre? La questione è: si può sempre scrivere un fattore come somma di potenza del 2? SI Per esempio 83 = 64 + 19 = 64 +16 +3= 64 +16 +2 +1= 26 + 24 + 21 + 20 Si potrebbe prendere spunto da questa osservazione per una lezione sul sistema binario, e sulla forma polinomiale in cui il numero può essere scritto

25. Volendo eseguire 79 x 1 Volendo eseguire 79 x 13 con il metodo egizio 13 26 52 104 208 416 832 20 21 22 23 24 25 26 1 2 4 8 16 32 64 Le potenze del 2 segnate in rosso e sommate danno la forma polinomiale del numero 79 che in base 2 diventa:1001111 79 1027 1001111=26+ 0 + 0 + 23 + 22 + 21 + 20

26. 89 x13 e qualcosa in più!! 89 in base 2 1157 la somma Dietro questo procedimento si nasconde la moltiplicazione con il metodo del contadino Russo Il perché 89 x 13 = 1157 è così spiegato: 89 x 13= 44 x 26 +13= 22 x 52 +13=11 x 104 +13= 5 x 208 +104 +13=2 x 416+208+104+13= 832+208+104+13=1157 E ANCORA NIENTE TABELLINE!!!!!!

28. SUGGERIMENTO Nella prospettiva di aiutare a comprendere meglio alcuni aspetti del contare, a mettere a fuoco e superare certe difficoltà, nascono i laboratori de “il Giardino di Archimede”, dedicati ai sistemi di numerazione. “Quando l’uomo imparò a contare” Laboratori sui sistemi di numerazione Il materiale di un laboratorio comprende un CD-rom, che fornisce le presentazioni tramite alcune diapositive, scatole contenenti timbri per riprodurre le sette forme dei geroglifici, e diverse schede da stampare.

29. Come si sviluppa un laboratorio LIVELLO 2: 8 – 10 anni • Funzionamento del sistema di scrittura con i geroglifici e introduzione dei sette simboli. Esercizi di lettura e di scrittura • Spiegazione dell’addizione senza e con cambio. • Spiegazione della sottrazione senza e con cambio. • Spiegazione della moltiplicazione con il metodo del raddoppio. • Spiegazione della divisione. • Alla fine di ogni fase sono proposi esercizi.

30. Il problema 79 del papiro di Rhind I sette gatti di AhmesIn una proprietà ci sono 7 case.In ogni casa ci sono 7 gatti.Ogni gatto acchiappa 7 topi.Ogni topo mangia 7 spighe.Ogni spiga dà 7 heqat di grano.Quante cose ci sono in tutto in questa storia?

31. Il problema domanda la somma, di nessuna importanza pratica, tra case, gatti, topi, spighe e misure di grano Nella seconda colonna c'è la sequenza delle prime 5 potenze di 7. Si tratta di una progressione geometrica di ragione 7. In fondo è scritto il totale.

32. Qual è la formula che usiamo oggi per calcolare la somma dei primi n termini di una progressione geometrica di ragione r?S = r + r2 + ... + rn = r(rn-1)/(r-1) Nel nostro caso r=7, n=5 quindi: S = 7(75-1)/(7-1) = 19607 Possiamo scrivere la somma anche così: 7 + 72 + 73 + 74 + 75 7(1 + 7 + 72 + 73+74) = 7(1 + 7 + 49 + 343 + 2401) = 7 x 2801 Ma che cosa significano i numeri scritti nella terza e nella quarta colonna?Ora, se osserviamo attentamente la seconda parte del testo di Ahmes ci rendiamo conto che è proprio la moltiplicazione di 2801 per 7, eseguita col metodo egizio.2801x7 = 19607 1 2 4 2801 5602 11204

33. Le frazioni egizie Gli egizi sono stati fra i primi popoli ad aver utilizzato la nozione di frazione, da essi sempre usata con numeratore uguale ad uno (frazioni unitarie).     Nel Papiro di Rhind sono magistralmente esposte le regole per il calcolo delle frazioni unitarie, comunemente chiamate "frazioni egiziane", con cui essi avevano risolto il problema dell'espressione di  parti decimali di un numero non intero.

34. Le iscrizioni geroglifiche egiziane presentano una notazione speciale per le frazioni aventi come numeratore l'unità. Il reciproco di un qualsiasi intero veniva indicato collocando al di sopra del segno indicante il numero, un ovale allungato. Nella notazione ieratica, l'ovale allungato veniva sostituito da un puntino. Un esempio di frazioni in geroglifico è:         (l'equivalente del nostro 1/2).     La frazione 2/3 era l'unica frazione composta rappresentata da un apposito geroglifico. Tutte le altre frazioni conosciute e usate nella matematica egizia erano unitarie.

35. L'occhio di Horus Gli antichi egizi usavano le parti del simbolo dell'Occhio di Horus per descrivere le frazioni.

36. L’importanza delle frazioni 2 argomentazioni • Una società in cui gli scambi venivano effettuati in natura, aveva bisogno di fare calcoli precisi. • Il procedimento di divisione per 2 comportava l'uso di frazioni.

37. Il problema 25 del papiro di Rhind Dividere 16 per 3 Il procedimento è simile a quello della moltiplicazione 3 6 12 2 1 1 2 4 2/3 1/3 1 + 4 + 1/3 16 Risultato 5 + 1/3

38. La distribuzione dei pani L’uso di frazioni unitarie nella matematica egizia ha anche un fondamento pratico. I primi sei problemi del Papiro di Ahemes riguardano la divisione di n pani tra 10 uomini con n=1,2,6,7,8,9. Il problema 6 riguarda la divisione di 9 pani tra 10 uomini L’approccio moderno darebbe a nove uomini un pane privato di una decima parte, e le nove decime parti andrebbero ad un altro uomo. Nove uomini avrebbero un pezzo unico, un uomo avrebbe nove pezzetti di pane.

39. La soluzione egizia 9/10 = 2/3 +1/5 +1/30 2/3 1/5 1/30 uomo 1 2/3 1/5 1/30 uomo 2 2/3 1/5 1/30 uomo 3 2/3 1/5 1/30 uomo 4 2/3 1/5 1/30 uomo 5 2/3 1/5 1/30 uomo 6 2/3 1/5 1/30 uomo 7 1/3 1/3 1/5 1/30 uomo 8 1/3 1/3 1/5 1/30 uomo 9 1/3 1/3 1/5 1/30 uomo 10

40. Perché le frazioni egizie sono utili anche oggi • La prima ragione è pratica: supponiamo di voler dividere 5 sacchi di grano tra 8 persone; teoricamente ciascuna persona deve ricevere 5/8 di sacco di grano, ma praticamente prendere in modo esatto 5/8 di sacco di grano non è facile. Il problema si semplifica notevolmente usando le frazioni egiziane. • La seconda è poter confrontare in modo molto preciso le frazioni usando proprio quelle egiziane.

41. Si potrebbe proporre, in una scuola elementare, il seguente problema: dividere 5 tavolette di cioccolato tra 8 bambini. L’approccio moderno ci farebbe dividere ogni tavoletta in otto partie distribuirnecinque ad ogni bambino 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8

42. Cosa facevano gli egizi 5 : 8 1 1/2 1/8 8 4 1 Usando le frazioni unitarie 5/8 diventa la somma tra 1/2 e 1/8 5 1/2 + 1/8 Vantaggio: quattro tavolette le divido a metà e una soltanto in otto parti

43. Ecco la divisione 1 3 5 7 1 2 3 4 5 2 4 6 8 6 7 8

44. Confrontare le frazioni 3/4 4/5 Metodo dei decimali: 3/4 = 0,75 4/5 = 0,8 Metodo frazioni equivalenti: 3/4 = 15/20 4/5 = 16/20 E gli Egizi? Usando le frazioni unitarie: 3/4 = 1/2 +1/4 4/5 = 1/2 +1/4 +1/20 4/5 è 1/20 più di 3/4

45. OSSERVAZIONE Trovo un po’ azzardato usare il metodo egizio per confrontare le frazioni ma ritengo che potrebbe essere un ottimo esercizio di calcolo per imparare le tabelline, le operazioni con le frazioni e avvicinarsi a culture diverse dalla nostra.