Teoría cinética de los gases

1. Teoría cinética de los gases

2. Contenido • Modelo molecular del gas ideal • Interpretación molecular de la temperatura • Calor específico de un gas ideal • Procesos adiabáticos para un gas ideal • Equipartición de la energía • Ley de distribución de Boltzmann

3. Modelo molecular del gas ideal Al desarrollar este modelo, haremos las siguientes suposiciones: • El número de moléculas es grande, así como la separación promedio entre ellas comparada con sus dimensiones. • Las moléculas obedecen las leyes del movimiento de Newton, pero como un todo se mueven aleatoriamente. • Las moléculas están sujetas a colisiones elásticas entre ellas y con las paredes del recipiente que en promedio son elásticas. • Las fuerzas entre moléculas son despreciables excepto durante una colisión. • El gas bajo consideración es una sustancia pura.

4. Una molécula choca elásticamente con la pared del recipiente. Una caja cúbica con lados de longitud d que contiene un gas ideal. Dpx = - mux- (mux) = - 2 mux F1Dt= Dp = 2 mux

5. El cambio de momento debido a una molécula es: Dpx = - mux- (mux) = - 2 mux La fuerza que se ejerce en la pared es: F1Dt= Dp = 2 mux Se puede escribir como: Para todas las moléculas del gas: El valor promedio de la velocidad en la dirección x es para N moléculas es:

6. Así pues, la fuerza total sobre la pared puede escribirse El teorema de Pitágoras relaciona el cuadrado de la velocidad con el cuadrado de sus componentes: En consecuencia, el valor promedio de v2 es: En virtud de que el movimiento es completamente aleatorio, los valores promedio de las componentes de velocidad son iguales entre sí. Entonces, encontramos que:

7. Así, la fuerza sobre la pared es: Esta expresión nos permite encontrar la presión total sobre la pared: Este resultado muestra que la presión es proporcional al número de moléculas por unidad de volumen y a la energía cinética traslacional promedio de la molécula,

8. Interpretación molecular de la temperatura Es posible comprender más profundamente el significado de la temperatura si escribimos la ecuación anterior la escribimos como: Comparándola con la ecuación de estado de un gas ideal: PV = NkBT De aquí encontramos que

9. Podemos despejar la energía cinética molecular como: Puesto que , se concluye que El siguiente teorema, llamado el teorema de la equipartición de la energía, establece que: La energía de un sistema en equilibrio térmico se divide por igual entre todos los grados de libertad.

10. La energía cinética traslacional de N moléculas es simplemente N veces la energía promedio por molécula, entonces: La raíz cuadrada de se conoce como velocidad cuadrática media de las moléculas (rms, por sus siglas en inglés). Para la velocidad rms tenemos:

11. Gas Masa molecular (g/mol) vrms a 20ºC (m/s) H2 2.02 1,902 He 4.0 1,352 H2O 18 637 Ne 20.1 603 N2 o CO 28 511 NO 30 494 CO2 44 408 SO2 64 338 Algunas velocidades rms

12. Ejemplo Un tanque usado para inflar globos de helio tiene un volumen de 0.3 m3 y contiene 2 moles de helio a 20ºC. Suponga que el helio se comporta como un gas ideal a) ¿Cuál es la energía cinética traslacional total de las moléculas del gas? b) ¿Cuál es la energía promedio por molécula?

13. Tarea Un recipiente cúbico sellado de 20.0 cm de lado contiene tres veces el número de Avogadro de moléculas de He (masa molecular = 4 g/mol, vrms = 1352 m/s) a una temperatura de 20.0°C. Encuentre la fuerza ejercida por el gas sobre una de las paredes del recipiente.

14. Discusión ¿viajan con más rapidez, en promedio, las moléculas de oxígeno o las de nitrógeno, en un recinto? Cuando se caliente un gas, ¿permanece igual la proporción de moléculas rápidas, decrece o aumente? ¿podemos asignar temperatura a una sola molécula? Explique su respuesta.

15. Procesos adiabáticos para un gas ideal Un proceso adiabático reversible es aquel que es suficientemente lento para permitir que el sistema siempre esté cerca del equilibrio, pero rápido comparado con el tiempo que tarda el sistema en intercambiar energía térmica con sus alrededores. Consideremos un cambio infinitesimal en el volumen igual a dV y el cambio infinitesimal en la temperatura como dT. El trabajo efectuado por el gas es PdV. Puesto que la energía interna de un gas ideal depende sólo de la temperatura, el cambio en la energía interna es dU = nCVdT

16. Por lo tanto la ecuación de la primera ley, se vuelve dU = nCVdT = - PdV Tomando la diferencial total de la ecuación de estado del gas ideal, PV = nRT, vemos que PdV + VdP = nRdT Eliminando dT de las dos ecuaciones PdV + VdP = -RPdV/CV De aquí es fácil llegar a

17. P Isotermas i Pi Procesos adiabáticos f Ti Pf Tf Vi Vf V Diagrama PV para una expansión adiabática reversible. Tf < Ti integrando se obtiene ln P + g ln V = constante o PVg = constante Mediante el empleo de la ecuación del gas ideal se puede llegar fácilmente a TVg-1 = constante

18. Ejemplo El aire en un cilindro de un motor Diesel a 20°C se comprime desde una presión inicial de 1 atm y un volumen de 800 cm3 hasta un volumen de 60 cm3. Suponga que el aire se comporta como un gas ideal con g = 1.40 y que la compresión es adiabática. Encuentre la presión final y la temperatura. P1V1g = P2V2g P1V1/T1 = P2V2/T2

19. Tarea Dos moles de un gas ideal (g= 1.40) se expanden lenta y adiabáticamente desde una presión de 5.00 atm y un volumen de 12.0 L hasta un volumen final de 30.0 L. a) ¿Cuál es la presión final del gas? b) ¿Cuáles son las temperaturas inicial y final? c) Encuentre Q, W y DU. P1V1g = P2V2g P1V1/T1 = P2V2/T2 dU = nCVdT = - PdV

20. Proceso isobárico Un proceso a presión constante se denomina isobárico, el trabajo realizado es: Para mantener la presión constante deberá haber flujo de calor, y por lo tanto, incremento en la energía interna (temperatura) El flujo de calor en este caso es: δQ = Cp dT El subíndice indica que es capacidad calorífica a presión constante. P P Vi Vf

21. Proceso isocórico Un proceso a volumen constante se llama isovolumétrico (o isocórico), en tal proceso el trabajo es cero y entonces: DU = Q W = 0 Para incrementar la presión deberá haber flujo de calor, y por lo tanto, incremento en la energía interna (temperatura) El flujo de calor en este caso es: δQ = CV dT El subíndice indica que es capacidad calorífica a volumen constante. P Pf Pi V V

22. Proceso isotérmico Un proceso a temperatura constante se llama isotérmico. Si consideramos un gas ideal es trabajo es: P Isoterma i Pi PV = cte. Pf f Vi Vf

23. Proceso adiabático En un proceso adiabático no hay flujo de calor entre el sistema y sus alrededores. El trabajo efectuado es igual al negativo del cambio en la energía interna. Se puede demostrar que la curva que describe esta transformación es adiabáticas isotermas Donde g = (Cp/CV) = 1.67, para gas ideal