Matemática Financeira e Informática de Gestão

1. Faculdade de Economia da Universidade do Porto 2010/2011 Matemática Financeira eInformática de Gestão

2. Primeira Aula 2

3. Objectivos da Disciplina 1ª Parte (12 aulas) Taxa de juro, capitalização e desconto Instrumentos financeiros sem risco: depósitos e créditos bancários; obrigações Transformação de stocks financeiros em fluxos financeiros (rendas / amortizações) Medidas de desempenho de um investimento os preços correntes e preços constantes 3

4. Objectivos da Disciplina 2ª Parte (6 aulas) Risco do negócio. Modelos estatísticos. Instrumentos financeiros com risco: seguros, acções e obrigações com risco de falha Carteiras de activos: diversificação e alavancagem 4

5. Objectivos da Disciplina 3ª Parte (6 aulas) Programação em R Aplicações retiradas das primeira e segunda partes do texto. A linguagem de programação desenvolve a capacidade de análise e é uma poderosa ferramenta na modelização dos problemas da Matemática Financeira. 5

6. Avaliação Avaliação Contínua Um teste sobre a 1ª parte (50% da nota) Um teste sobre as 2ª e 3ª partes (50%) Para fazer avaliação contínua têm que frequentar 75% das aulas Avaliação por Exame (2 épocas) O segundo teste é parte do exame Mesmo fazendo o 1º teste, pode deitar fora e fazer o exame contando a melhor nota 6

7. Material de estudo Existem disponíveis em formato digital Uma página www.fep.up.pt/docentes/pcosme/MFIG.G106.2010 um texto que segue as aulas Um ficheiro excel com os exercícios do texto As apresentações das aulas em Power Point Cadernos de exercícios resolvidos 7

8. Os contratos de débito/crédito=contratos de mútuo 8

9. O contrato de débito/crédito • Existem três razões principais para a haver contratos de crédito. • O ciclo de vida das pessoas • Poder ocorrer um período de “desemprego” ou de despesas acrescidas (e.g., doença) • O capital ser produtivo

10. O ciclo de vida • Uma das mais obvias razões para a existência de empréstimos é o ciclo de vida das pessoas. • As pessoas precisam de consumir sempre • Existem longos períodos em que não têm rendimento (quando crianças e “velhos”)

11. O ciclo de vida

12. O ciclo de vida • As pessoas, quando crianças, não têm rendimento suficiente para sobreviver, pedindo recursos emprestados • Em média, é-se “criança” durante 20 anos • Quando trabalham, pagam as dívidas (de criança) e poupam alguns recursos (para a velhice) • Em média, é-se activo durante 45 anos

13. O ciclo de vida • Quando reformados, não geram rendimento suficiente para sobreviver, mas têm os recursos que emprestaram • Em média, a reforma dura 15 anos • Esses recursos vão-se esgotando

14. O desemprego • O trabalho é a fonte mais importante de rendimento das famílias • E, de repente, qualquer pessoa pode ficar desempregada. • A probabilidade será de 10%/ano

15. O desemprego • E, depois, demora alguns meses a encontrar novo emprego • Em média, 12 meses • E o salário é menor que o anterior • Inicialmente ganha-se menos 15% • Será necessário poupar recursos para essa eventualidade. • Deverão ter uma poupança  12 salários.

16. Cataclismos • Podem ocorrer imponderáveis • O indivíduo pode adoecer, ficando sem poder trabalhar e necessitando de tratamento médico. • Pode ter um acidente de automóvel, necessitando de pagar a reparação. • Pode ter um incêndio em casa. • É necessário ter uns activos de lado ou pedir emprestado na adversidade

17. O capital ser produtivo • O trabalho torna-se mais produtivo se for auxiliado por capital • máquinas e ferramentas, solo agrícola, etc. • Se um indivíduo pedir emprestado dinheiro, pode comprar bens de capital e aumentar o seu rendimento • Mais tarde, pode devolver o capital pedido

18. O capital ser produtivo • Também existem bens que custam “muito dinheiro” e duram muito tempo • Casas, carros, frigoríficos, televisores, etc. • Estes bens “produzem” utilidade • As pessoas, sem dinheiro, estão disponíveis para pedir empréstimos e pagar um pouco todos os meses.

19. O empréstimo em dinheiro • Numa sociedade “atrasada”, • Armazenam-se bens • Emprestam-se bens e serviços • Numa sociedade com moeda, empresta-se dinheiro

20. O empréstimo em dinheiro • O armazenamento de recursos tem custos muito elevados • A roupa passa de moda • A comida estraga-se • Os carros enferrujam • É vantajoso emprestar dinheiro e mais tarde tê-lo de volta para comprar bens e serviços

21. O empréstimo em dinheiro • Poupar dinheiro não é o mesmo que poupar recursos escassos • Se poupamos dinheiro, nós deixamos de consumir recursos (bens e serviços) • Mas, a quem emprestamos, vai consumir esses recursos que poupamos.

22. O empréstimo em dinheiro • Como as pessoas são heterogéneas, haverá sempre algumas que precisam de pedir dinheiro emprestado • As crianças, os desempregados e as vítimas de acidentes • Os empreendedores • Outras que precisam de guardar dinheiro • Os indivíduos activos e empregados.

23. A taxa de juro

24. A taxa de juro • Quando eu empresto uma quantidade de dinheiro, não vou receber a mesma quantidade • A diferença denomina-se por JURO • O Juro pode ser entendido como a remuneração de eu adiar o consumo, o custo de antecipar o consumo

25. A taxa de juro Por exemplo, eu empresto 5000€ a um familiar e recebo daqui a 10 anos 7500€. Recebo o capital que são 5000€ mais os juros que são 2500€. 25

26. A taxa de juro • O juro, em tese, tanto poderá ser positivo como negativo. • Há razões para justificar ser positivos e razões para justificar ser negativo • Historicamente é positivo

27. Taxa de juro • Hoje faço anos e deram-me 1000€ • Hipótese 1: entregam-mos agora. • Hipótese 2: entregam-mos daqui a 10 anos. • Qual das hipóteses será preferível?

28. Taxa de juro positiva • Se for preferível a hipótese 1 então aceitamos uma taxa de juro positiva • Podia depositá-lo a juros • O dinheiro vai desvalorizar • O doador pode morrer (e a oferta falhar)

29. A taxa de juro • É positiva por três razões • Existe uma remuneração real • As pessoas preferem o presente ao futuro • O capital é produtivo: existem empreendedores • Há concorrência pelo capital escasso • Há inflação • Os preços aumentam havendo necessidade de corrigir esta perda de poder de compra • Há risco de incumprimento • É uma lotaria

30. Juro real • Podia receber um juro real • O capital é produtivo. • E.g., um agricultor se cavar com uma enxada consegue produzir mais do que se o fizer com apenas um pau. • O capital é escasso • Quem precisar de capital estará disponível a pagar uma remuneração positiva pelo empréstimo do capital.

31. Juro real • É preferível consumir hoje. • As pessoas preferem o Presente ao Futuro • No Futuro estamos mortos • No Futuro estamos velhos pelo que não retiramos tanta utilidade do consumo • Quem faz o sacrifício de não consumir no presente precisa ser “remunerado”. • Quem tem o benefício de consumir o que não tem (ainda) tem que “pagar”.

32. Juro real • Inicialmente tenho V0 euros • Supondo que os preços se mantêm e que não existe risco, para uma taxa de juro r% • Terei no fim do período V1 = V0(1+ r) Ex., para V0 = 10000€ e r = 10%, terei V1 = 10000(1+ 10%)=11000€

33. Inflação • O dinheiro vai desvalorizando • O valor do dinheiro resulta de podermos comprar bens e serviços. • Como existe inflação (i.e., o preço dos bens e serviços aumenta com o tempo), a quantidade de bens que posso comprar com um Euro diminui com o tempo. • O valor do dinheiro diminui com o tempo

34. Inflação • Inicialmente tenho V0 euros • Os preços, em média, aumentam %. • Para no fim do período poder comprar os mesmos bens e serviços terei que ter V1 = V0(1+ ) Considerando o duplo efeito virá V1 = [V0(1+ r)](1+ )

35. Inflação • Por exemplo, quero uma remuneração real de 7.5% e uma correcção da inflação que é de 5%. Emprestando 5000€ quero receber V1 = [5000(1+ 7.5%)](1+ 5%) =5643.75€

36. Segunda Aula 36

37. Risco de incumprimento • O Futuro é incerto. • Quando eu empresto dinheiro, estou a pensar receber o dinheiro mais os juros • Mas posso não receber nenhum deles • Ou receber apenas parte • A obrigação pode não ser cumprida

38. Risco de incumprimento • Vamos supor que eu emprestei V0 euros e vou receber (penso eu) V1 euros. • Existindo a probabilidade p de eu não receber nada, para, em média, ficar equivalente, terei que contratar uma taxa que corrija este risco V0 = 0 x p + V1 x (1 - p) V1 = V0 / (1 - p) p>0  V1 > V0

39. Risco de incumprimento • O risco acresce à taxa de juro real e à correcção da taxa de inflação V1 = {[V0(1+ r)](1+ )}/(1-p) • Então, a taxa de juro contratada será i = (1+ r)(1+ ) / (1-p) - 1

40. Risco de incumprimento Vamos supor que eu empresto 1000€ pretendo uma taxa de juro real de 6% a inflação prevista será de 8% o risco de incumprimento é de 10%. Qual deverá que ser a soma prometida no fim do prazo? 40

41. Risco de incumprimento V1 = 1000 (1+ 6%)(1+ 8%) / (1- 10%) = 1272€ A taxa de juro será 27.2%

42. A taxa de juro • Haverá razões para que a taxa de juro seja negativa? • O dinheiro que guardo em casa pode ser roubado • Se houver poucas criancinhas e poucos empresários, não há a quem emprestar dinheiro • i.e., se não houver crescimento económico

43. A taxa de juro • Historicamente, os efeitos “negativos” são menores que os efeitos “positivos” • Há uma tendência secular de crescimento económico • Historicamente, a taxa de juro é positiva

44. A taxa de juro Evolução da taxa de crescimento do PIB português 1910/2010 (fonte: Freitas, Miguel Lebre, 2004, “Acumulação de capital e crescimento económico em Portugal: 1910-2000”, UA-WP, 20, Quadro 1) 44

45. A taxa de juro • As unidades de juro são em termos de unidades de capital por unidades de tempo. • e.g., 0.10€ por cada 1.00€ e por cada ano • Seria uma taxa de juro de 10% por ano

46. A taxa de juro • Como o juro incorpora 3 elementos • A remuneração do capital (o juro real) • A inflação • O risco de não cobrança • Em termos de taxas temos, num ano Vfinal = Vinicial x (1+ ) x (1 + r) / (1 - p) 1+ i = (1+ ) x (1 + r) / (1 - p)

47. A taxa de juro • Para valores de r,  e p pequenos, é aceitável somas as 3 parcelas:

48. A taxa de juro • Supondo que eu empresto 1000€, durante 1 ano. • A inflação (prevista) é de 5% ao ano • O juro real (acordado) é de 2% ao ano • O risco de não cobrança é de 3% ao ano • Qual deve ser a taxa de juro? • Quanto dinheiro devo acordar receber?

49. A taxa de juro A taxa de juro deve ser de10.41%: 1+i = (1+ 0.05) x (1 + 0.02) / (1 – 0.03) i =10.412% Devo exigir receber (daqui a um ano) V1 = 1000 x (1+ 0.05) x (1 + 0.02) / (1 – 0.03) V1 = 1104.12€ Os juros serão 104.12€.

50. A taxa de juro A soma das parcelas daria 10% 0.05 + 0.02 + 0.03 A taxa calculada é 10.412% Quanto mais pequenas forem as parcelas, menor é a diferença