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Lógica Formal

Lógica Formal. Roberto Moriyón. Introducción. El objetivo de la Lógica Formal o Lógica Matemática es proporcionar un sistema formal único en el que la producción de palabras a partir de axiomas dé lugar a deducciones válidas en contextos arbitrarios.

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Presentation Transcript

  1. Lógica Formal Roberto Moriyón

  2. Introducción • El objetivo de la Lógica Formal o Lógica Matemática es proporcionar un sistema formal único en el que la producción de palabras a partir de axiomas dé lugar a deducciones válidas en contextos arbitrarios. • Hay varios sistemas lógicos formales que son capaces de formalizar cualquier razonamiento válido. • Un sistema lógico formal se puede ver como un sistema formal deductivo universal, en el mismo sentido que las máquinas de Turing universales.

  3. Esbozo histórico • En el siglo IV aC, Aristóteles clasificó los distintos tipos de razonamiento. • En el siglo XVII, Arnold y Locke destacaron la importancia de estudiar las ideas asociadas a cada afirmación lógica (su interpretación). • También en el siglo XVII, Descartes y Leibnitz destacaron los aspectos algebraicos de la manipulación formal de las fórmulas lógicas.

  4. Esbozo histórico, II • En el siglo XIX, Frege introdujo la utilización de variables y cuantificadores para representar fórmulas lógicas; Peano dio la primera axiomatización de la aritmética, y Peirce introdujo la lógica de segundo orden. • A comienzos del siglo XX, Hilbert propuso un programa para demostrar la consistencia de las Matemáticas en base a una axiomatización de ellas. Posteriormente, Gödel demostró que esto era imposible.

  5. Esbozo histórico, III • A lo largo del siglo XX se han desarrollado particularmente lógicas especiales (modal, temporal, etc) y lógicas relacionadas con la teoría de la computación (Cálculo  con tipos, lenguajes de programación lógicos, etc)

  6. Lógica proposicional • Sistema formal deductivo que genera fórmulas proposicionales basadas en afirmaciones atómicas que pueden ser verdaderas o falsas. • Alfabeto: • Atomos: P, Q, R, P’, Q’, R’, P’’, … • Operaciones lógicas: ^, v, , ~ • Separadores: (, ) [A veces es útil utilizar separadores especiales y obligatorios, < y >, para desambiguar la gramática] • Ejemplos de fórmulas proposicionales: P v ~P, ~Q  (Q  P)

  7. Operadores lógicos

  8. Operadores lógicos:Significado de XY • En principio, el significado de XY es “si X es cierto, entonces Y también es cierto”. • Por lo tanto su tabla de verdad será como sigue:

  9. Operadores lógicos:Significado de XY, II • Ejemplos con cuantificador universal: • Para todos los números x, si x es impar, entonces x+1 es par x,(impar(x)  par(x+1)) • Para todos los números x, si x es impar, entonces x+x es par x,(impar(x)  par(x+x)) • Para todos los números x, si x es impar, entonces x+1 es impar x,(impar(x)  impar(x+x))

  10. Operadores lógicos:Significado de XY, III

  11. Operadores lógicos:Significado de XY, IV • Para que los ejemplos anteriores tengan contestaciones razonables hay que interpretar que la implicación XY es cierta si “Si X es cierto, entonces Y también. Si X no es cierto, da lo mismo que se verifique Y o no”. • (X ^ Y) v ~X • Esta definición es consistente en general con la definición de implicaciones en la Lógica de Predicados.

  12. Lógica proposicional: Interpretaciones • Una interpretaciónI de una fórmula F es una asignación de un valor lógico PI (True o False) a cada átomo P de F. La interpretación asigna un valor lógico a la fórmula utilizando las tablas de los distintos operadores. • Una fórmula es cierta en una interpretación si le corresponde el valor True mediante ella. • La tabla asociada a una fórmula tiene una interpretación en cada fila.

  13. Interpretacionesen el mundo real • Normalmente las fórmulas lógicas se interpretan a un primer nivel haciendo corresponder a cada símbolo proposicio-nal una afirmación (por ejemplo, llueve o los eliomartos rusitan). La interpretación se completa mediante una imagen del universo en la que cada una de las afirmaciones asociadas a los símbolos proposicionales es cierta o falsa.

  14. Lógica proposicional:Interpretaciones, II ~Q(QP)

  15. Lógica proposicional:Interpretaciones, III • Dada una asignación de valores booleanos a átomos, la función que a cada fórmula le hace corresponder su interpretación se puede definir de forma recursiva utilizando las reglas • IntI[F^G] IntI[F]^IntI[G] • IntI[FvG] IntI[F]vIntI[G] • IntI[FG] IntI[F]IntI[G] • IntI[~F] ~IntI[F] (morfismo entre fórmulas y valores booleanos)

  16. Lógica proposicional:Interpretaciones, IV • Ejemplo: Si PI True y QIFalse, IntI[P^~QQ]  IntI[P^~Q]QI   (PI^~QI)QI  True

  17. Fórmulas satisfactibles y tautologías • Una fórmula es satisfactible si es cierta en alguna interpretación. • Ejemplos: QP,Q  (Q  P) • Una fórmula es una tautología si es cierta en todas las interpretaciones. • Ejemplos: Qv~Q, ~Q  (Q  P) • Nota: En lo sucesivo, al igual que se suele hacer con las expresiones aritméticas, pondremos paréntesis cuando ello aclare o desambigüe la lectura de las fórmulas.

  18. Fórmulas satisfactibles y tautologías en el mundo real • Cualquier fórmula lógica satisfactible, en cualquier universo de interpretación asociado, tiene una interpretación en la que es cierta. Pero puede que no sea la interpretación natural en ese universo. • Cualquier tautología lógica, en cualquier universo de interpretación asociado, es cierta en todas sus interpretaciones.

  19. Interpretaciones:Representación intuitiva • Es la función característica de un semianillo que contiene a todas las tautologías y contiene uno de los radios que lo limitan. • No contiene a ninguna fórmula insatisfactible. M

  20. Tautologías e insatisfactibilidad • Una fórmula es insatisfactible si no es satisfac-tible, es decir si no es cierta en ninguna interpre-tación. • Ejemplos: Q^~Q (contradicción), ~(~Q  (Q  P)) • En general, la negación de una tautología es una fórmula insatisfactible y viceversa. Tautologías Insatisfactibes Satisfactibles

  21. Consecuencias defamilias de fórmulas • Diremos que una fórmula F es consecuencia de un conjunto de fórmulas A (axiomas), y lo escribiremos AF, si toda interpretación que hace ciertas todas las fórmulas de A también hace cierta F. • Ejemplo 1: si F es una tautología, entonces es consecuencia de cualquier conjunto de axiomas • Ejemplo 2: La proposición ~FG es consecuencia del axioma F.

  22. Consecuencias de familias de fórmulas, II • Los problemas típicos de razonamiento consisten en hallar las consecuencias de unos axiomas dados, o en demostrar que una fórmula concreta lo es.

  23. Consecuencias:Representación intuitiva • Es la intersección de todos los semianillos que contienen a A asociados a interpretaciones.  A

  24. Consecuencias:Representación intuitiva, II • Otro ejemplo: 

  25. Consecuencias:Representación intuitiva, III • Un ejemplo más: Las consecuencias incluyen alguna fórmula insatisfactible 

  26. Consecuencias:Representación intuitiva, IV • Si hay alguna fórmula insatisfactible entre las consecuencias de un conjunto de axiomas, entonces todas las fórmulas son consecuencia de ellos. • Demostración: Todas las fórmulas son consecuencia de cualquier fórmula insatisfactible, pues no hay ninguna interpretación en la cual ésta sea cierta.

  27. Consecuencias: Caso particular • Las fórmulas que son ciertas en una interpretación concreta forman un conjunto de axiomas cuyas consecuencias son ellas mismas. • Estos conjuntos de fórmulas son conjuntos satisfactibles maximales.

  28. Criterio para reconocer consecuencias • Para ver si una fórmula F es consecuencia de un conjunto finito A de axiomas se pueden emplear tres procedimientos: • Formar una tabla con los valores lógicos de los axiomas y de F y examinar sus filas. • Demostrar que A1^A2^…^ANF es una tautología. • Demostrar que toda interpretación que hace ciertos los axiomas también hace cierta F. Los emplearemos para ver que ((~PvQ)R) es consecuencia de {P, QR}.

  29. Consecuencias defamilias de fórmulas, III

  30. Consecuencias defamilias de fórmulas, IV • {F1, F2}  F  (F1 ^ F2)  F tautología (P^(QR)) ((~PvQ)R)  ~P v (Q^~R) v ((P ^ ~Q) v R)  ~P v (Q^~R) v ((P v R) ^ (~Q v R))  (~P v (Q^~R) v P v R) ^ (~P v (Q^~R) v (~Q v R)) es tautología, luego {P, QR}  ((~PvQ)R)

  31. Consecuencias defamilias de fórmulas, V • Suponemos que en la interpretación I,PI y QIRI son ciertas • Es cierto que entonces (~PIvQI)RI? • Primer caso: PI=True, QI=False. Entonces, ((~PIvQI)RI)=True, pues ~PIvQI=False. • Segundo caso: PI=True, QI=True, RI=True. Entonces, ((~PIvQI)RI)=True, ya que RI=True.

  32. Consecuencias defamilias de fórmulas, VI El conjunto de axiomas aceptados puede ser infinito. Entonces los dos primeros procedimien-tos no sirven. Ejemplos: • A=(P)*Q es un conjunto infinito recursivo de fórmulas. AQ^(PQ). • El patrón PPdefine otro conjunto infinito recursivo A’ de fórmulas. Todas ellas son tautologías. A’F si F es cualquier tautología.

  33. Consecuencias defamilias de fórmulas, VII • Una fórmula F es una tautología si y sólo si F. • Una fórmula F es insatisfactible si y sólo si ~F.

  34. Consecuencias de familias de fórmulas: Ejercicio obligatorio [CONSPROC] Demostrar por cada uno de los procedimientos dados lo siguiente: • F  (Yv~X)  Y es consecuencia de A={~Y, X} • G  (~Y^X)  Y no es consecuencia de A={~Y, X}

  35. Ejercicios opcionales • [PROGVER] Escribir un programa que comprueba la veracidad de fórmulas con respecto a una interpretación. • [PROGSAT] Escribir un programa que determina si una fórmulaes satisfactible y si es una tautología. • [PROGCONS] Escribir un programa que determina si una fórmula proposicional es consecuencia de otras.

  36. Ejercicio obligatorio • [CAJ] Entre tres cajas numeradas del 1 al 3 dos están vacías y la otra no. Además, una de las afirmaciones “La primera caja está vacía”, “La segunda caja está vacía” y “La segunda caja está llena” es cierta y las otras dos no. Demostrar cuál de las tres cajas está llena y demostrar que las otras dos cajas no lo están.

  37. Ejercicios opcionales • [AB] Demostrar que no se pueden colorear tres objetos A, B y C en blanco y negro de manera que A y B no tengan el mismo color, B y C tampoco y A y C tampoco • [TT] Demostrar que el siguiente razonamien-to es correcto: Si la temperatura y la presión no cambian, no llueve. La temperatura no cambia. Como consecuencia de lo anterior, si llueve entonces la presión cambia.

  38. Ejercicio opcional • [FOTO] Deducir que la foto es de Juan como consecuencia de los siguientes axiomas: • La foto es redonda o cuadrada • La foto es en color o en blanco y negro • Si la foto es cuadrada, entonces es en blanco y negro • Si la foto es redonda, entonces es digital y en color • Si la foto es digital o en blanco y negro, entonces es un retrato • Si la foto es un retrato entonces es de Juan

  39. Ejercicios opcionales • [UNIC] Suponemos los siguientes axiomas acerca del unicornio : • Si es mítico, entonces es inmortal • Si no es mítico, es un mamífero mortal • Si es inmortal o mamífero, entonces tiene cuernos • Si tiene cuernos es mágico • Como consecuencia de todo ellos es mítico? Es mágico? Tiene cuernos?

  40. Ejercicios opcionales • [GR1] Decir quiénes dicen la verdad y quiénes dicen la mentira sabiendo que: • Alceo dice “los únicos que decimos la verdad aquí somos Cátulo y yo” • Safo dice “Cátulo miente” • Cátulo dice “Safo dice la verdad, o Alceo miente”

  41. Ejercicios opcionales • [GR2] Decir quiénes dicen la verdad y quiénes dicen la mentira sabiendo que: • Anaximandro dice “Heráclito miente” • Parménides dice “Anaximandro y Heráclito no mienten” • Heráclito dice “Parménides no miente”

  42. Razonamiento • El razonamiento se utiliza para obtener nuevos hechos ciertos a partir de otros que lo son o al menos se supone que lo son. Por lo tanto razonar consiste en encontrar las consecuencias de un conjunto de fórmulas.

  43. Razonamiento, II • Se puede razonar considerando todas las fórmulas y todas las interpretaciones y calculando los valores booleanos corres-pondientes para ver qué fórmulas son consecuencia de los axiomas, pero este algoritmo es inadecuado, especialmente si se incrementa la capacidad expresiva del lenguaje lógico y se permiten razonamientos sobre objetos (Lógica de Predicados) o si se utiliza un conjunto infinito de axiomas.

  44. Razonamiento, III • Es preferible dar un algoritmo que propor-cione directamente las fórmulas que son consecuencia de unos axiomas dados. • Se hará mediante un sistema formal (un cálculo lógico) formado por reglas de inferencia o de deducción. • En este sistema, una fórmula P se deduce de un conjunto A de axiomas si y sólo si es consecuencia de ellos (es decir, AP sii AP).

  45. Deducción • Una deducción es una sucesión de fórmulas, cada una de las cuales se obtiene a partir de las anteriores mediante una regla formal de deducción. • En una regla de deducción XY, X e Y son fórmulas lógicas que verifican que X  Y. Eso hace que al generar cualquier fórmula X1X2…XN automáticamente se tenga que X1  XN.

  46. Deducción, II • Si las fórmulas iniciales (hipótesis o axiomas) de una deducción son ciertas en una interpretación I, entonces también lo son todas las fórmulas deducidas (consecuencias). • El sistema formal de deducción que utilizaremos será completo en el sentido de que producirá todas las fórmulasque son consecuencia de un conjunto dado de axiomas.

  47. Ejemplo de deducción • Axiomas: - Si llueve está nublado. - Si está nublado hace frío. - Llueve. • Demostrar que hace frío.

  48. Ejemplo de deducción, II • Los axiomas anteriores se pueden representar mediante fórmulas como sigue: • L representa “llueve” • N representa “está nublado” • F representa “hace frío” • Axiomas: A = { LN, NF, L }

  49. Ejemplo de deducción, III • Deducción: • De L y LN se deduce N • De N y NF se deduce F • Observaciones: • La deducción anterior aplica una única regla formal (modus ponens): ,   . • La deducción anterior es correcta indepen-dientemente de la interpretación de L, N y F.

  50. Ejemplo de deducción, IV • Observaciones: • El modus ponens, ,   permite que las implicaciones se utilicen como reglas que se pueden aprender al razonar. • Las variables con letras griegas son fórmulas

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