Dualita úloh lineárního programování a analýza citlivosti

1. Dualita úloh lineárního programování a analýza citlivosti RNDr. Jiří Dvořák, CSc. dvorak@uai.fme.vutbr.cz Teorie systémů a operační analýza

2. Symetricky duálně sdružené úlohy Úloha (a): Úloha (b): • Jedna z dvojice duálně sdružených úloh se označuje jako primárnía druhá jako duální. Dualita je ovšem vzájemný vztah. Úloha (b) je duální k úloze (a) a úloha (a) je duální k úloze (b). TSOA: Dualita úloh LP a analýza citlivosti

3. Maticové vyjádření symetricky duálně sdružených úloh • Úloha (a):Úloha (b): • f(x) = cTx max g(u) = bTu min • Ax  b ATu  c • x  0 u  0 • Výše uvedená dvojice úloh je pouze speciálním případem primárně-duálních vztahů mezi úlohami LP. Duální úlohu je totiž možno zkonstruovat ke každé úloze LP. TSOA: Dualita úloh LP a analýza citlivosti

4. Maximalizační úloha primární duální omezení typu  omezení typu  omezení typu rovnice nezáporná proměnná nekladná proměnná proměnná neomezená Minimalizační úloha duální primární nezáporná proměnná nekladná proměnná proměnná neomezená omezení typu  omezení typu  omezení typu rovnice Pravidla pro konstrukci duálních úloh TSOA: Dualita úloh LP a analýza citlivosti

5. Slabá a silná věta o dualitě • Slabá věta: Nechť primární úloha je maximalizační s účelovou funkcí f(x), duální úloha je minimalizační s účelovou funkcí g(u), a nechť x0 je libovolné přípustné řešení primární úlohy a u0 je libovolné přípustné řešení duální úlohy. Pak platí • f(x0)  g(u0) • Silná věta: Má-li jedna z duálně sdružených úloh optimální řešení, má optimální řešení i úloha druhá, přičemž optimální hodnoty účelových funkcí jsou si rovny. TSOA: Dualita úloh LP a analýza citlivosti

6. Důsledky vět o dualitě • Platí-li pro přípustné řešení x0 primární úlohy a pro přípustné řešení u0 duální úlohy rovnost f(x0) = g(u0), pak x0 a u0 jsou optimální řešení. • Je-li množina přípustných řešení maximalizační úlohy neprázdná a je-li účelová funkce této úlohy shora neomezená, pak duálně sdružená úloha nemá žádné přípustné řešení. • Je-li množina přípustných řešení minimalizační úlohy neprázdná a je-li účelová funkce této úlohy zdola neomezená, pak duálně sdružená úloha nemá žádné přípustné řešení. • Nemá-li jedna z dvojic duálně sdružených úloh přípustné řešení, pak druhá úloha nemá optimální řešení. TSOA: Dualita úloh LP a analýza citlivosti

7. Věta o komplementaritě • Přípustná řešení symetricky duálně sdružených úloh jsou optimální právě tehdy, když platí • Pozn.: Tyto vztahy znamenají, že nabývá-li nějaká proměnná kladnou hodnotu, pak odpovídající duálně sdružené omezení musí být splněno jako rovnice, a je-li nějaké omezení splněno jako ostrá nerovnost, pak odpovídající duálně sdružená proměnná musí být nulová. TSOA: Dualita úloh LP a analýza citlivosti

8. Řešení duální úlohy • Mějme úlohu • Nechť Bo je báze optimálního řešení xo a cBo je vektor cen bázických proměnných. Pak optimální řešení duálně sdružené úlohy • je určeno vztahem • resp. TSOA: Dualita úloh LP a analýza citlivosti

9. Řešení duální úlohy pro úlohu s nerovnicemi typu  • Mějme úlohu • Standardní tvar: • Maticový tvar simplexové tabulky pro optimální bázi B: • Vidíme, že optimální hodnoty duálních proměnných se nacházejí v posledním řádku tabulky ve sloupcích doplňkových proměnných. TSOA: Dualita úloh LP a analýza citlivosti

10. Význam duality • Duální problém a jeho řešení mají důležitou ekonomickou interpretaci. • Optimální řešení duální úlohy lze využít v analýze citlivosti. • Někdy můžeme snížit paměťovou a časovou náročnost řešení tím, že místo primární úlohy řešíme úlohu duální. • Na výsledcích teorie duality jsou založeny některé metody pro řešení úloh LP, které jsou za určitých okolností výhodnější než simplexová metoda. TSOA: Dualita úloh LP a analýza citlivosti

11. Význam duálních proměnných • Nechť uo= (uo1, … , uom)T je optimální řešení duální úlohy. Ze silné věty o dualitě plyne, že optimální hodnota primární účelové funkce • Zvýšíme-li bi o jednotku, pak fopt se zvýší o uoi (za předpokladu, že se nezmění optimální báze). • Je-li např. bi kapacita výrobního zdroje, pak uoi můžeme chápat jako ocenění jednotky této kapacity, neboli tzv. stínovou cenu. TSOA: Dualita úloh LP a analýza citlivosti

12. Analýza citlivosti • Analýza citlivosti (postoptimalizační analýza) zkoumá vliv změn zadání úlohy na optimální řešení. • Existují dva typy úloh: • Jak se změní optimální řešení při určité změně zadání úlohy? • V jakém rozsahu se může změnit určitá neřiditelná veličina (cj nebo bi nebo aij ), aby báze přitom zůstala optimální? TSOA: Dualita úloh LP a analýza citlivosti

13. Duální proměnné v analýze citlivosti • Nechť uo= (uo1, … , uom)T je optimální řešení duální úlohy. Pak pro optimální hodnotu primární účelové funkce platí • Optimální hodnoty duálních proměnných tedy vyjadřují citlivost optimální hodnoty primární účelové funkce na změny pravých stran omezujících podmínek. TSOA: Dualita úloh LP a analýza citlivosti

14. Důsledky změn vektoru b • Změna vektoru b má vliv na hodnoty bázických proměnných a na hodnotu účelové funkce. • Je-li B–1(b + b)  0, pak bázické řešení zůstává přípustné a tudíž báze B zůstává optimální. • V opačném případě v poslední simplexové tabulce změníme poslední sloupec a pokračujeme dále ve výpočtu pomocí duálně simplexového algoritmu. TSOA: Dualita úloh LP a analýza citlivosti

15. Duálně simplexový algoritmus • Vychází se z bázického řešení, které splňuje primární kritérium optimality, ale nemusí splňovat podmínky nezápornosti. • Označme symboly ij prvky matice B–1A a i prvky vektoruB–1b. • 1. Test kritéria optimality:Jsou-li všechna i nezáporná, je řešení optimální a výpočet končí. • 2. Určení klíčového prvku: Nejdříve se určí index r klíčového řádku a pak index s klíčového sloupce podle vztahů • Není-li možné určit klíčový prvek, pak konec (úloha nemá přípustné řešení). • 3. Simplexová transformacese provede obvyklým způsobem. TSOA: Dualita úloh LP a analýza citlivosti

16. Důsledky změn vektoru c • Změna vektoru c má vliv na kritérium optimality a na hodnotu účelové funkce. • Označme . Jestliže • splňuje podmínku optimality, pak báze Bzůstává optimální. • V opačném případě v poslední simplexové tabulce změníme poslední řádek a pokračujeme dále ve výpočtu pomocí simplexového algoritmu. TSOA: Dualita úloh LP a analýza citlivosti

17. Rozsah změn k-té složky vektorub • Nechť B je optimální báze. Aby tato báze zůstala optimální, musí přírůstek (úbytek) bk k-té složky vektorubsplňovat podmínky • kde i = 1, … , m; i, j(k) jsou prvky k-tého sloupce matice B–1 (tento sloupec se vyskytuje v matici B–1A na té pozici, na níž se v matici A vyskytuje jednotkový sloupec s jedničkou v k-tém řádku) a i jsou prvky vektoru B–1b. TSOA: Dualita úloh LP a analýza citlivosti

18. Rozsah změn k-té složky vektorucv maximalizační úloze • Nechť B je optimální báze. Aby tato báze zůstala optimální, musí být ck k , je-li proměnná xknebázická; je-li proměnná xkbázická, musí ck splňovat podmínky: • kde j = 1, … , n; i(k), j jsou prvky toho řádku matice B–1A, ve kterém se vyskytuje proměnná xk. TSOA: Dualita úloh LP a analýza citlivosti