Deret fourier sinus atau cosinus setengah jangkauan

1. Deret fourier sinus atau cosinus setengah jangkauan Deret fourier sinus atau cosinus setengah jangkauan  Hanya mengandung suku-suku sinus atau cosinus saja  Fungsi didefinisikan pada interval (0,L) {setengah jangkauan dari (-L,L)} kemudian untuk interval (-L,0) ditentukan sehingga fungsi dapat berupa fungsi ganjil atau genap. Contoh soal : Uraikan (x) = x, 0 < x < dalam deret fourier a) sinus b) cosinus Jawab : a) Dalam deret fourier sinus Definisi fungsi diperluas sehingga menjadi fungsi ganjil dengan periode 2 (perluasan ini dinamakan perluasan ganjil untuk (x))  (x)  x -  0 - an = 0 a0 = 0 Page 1 of 10 http://www.mercubuana.ac.id Kalkulus_lanjut_modul-10

2.  (x)  x -  L= bn = 0, L  (x) cos 0 nx L 2 L dx an = L 0 2 L  = x . cos nx dx = … lihat hal. 11 an = 0 untuk n genap  4 n2 untuk n ganjil  (halaman 11) 2 a0 2 =  n1  4 2  cos (2n 1) x (2n 1)2    (x) = Contoh – contoh : 1.Tunjukkanlah bahwa sebuah fungsigenap dalam Fouriernya tidak suku=suku sinus. Metode 1. Tidak terdapatnya suku –suku sinus terjadi jika bn = 1,2,3,... untuk menunjukkanini , tulislah : mempunyai Page 3 of 10 http://www.mercubuana.ac.id Kalkulus_lanjut_modul-10

3. Jika f (x) genap , maka f(-x) = f (x) karena itu  nx  nx L nx L  n1  nx a  an cos  0 an cos a0 2  L  bn sin  bn sin L 2 n1 dan juga nx L nx L  n1  n1   an cos a0 2  0, yaitu f(x) = bn sin yang tidak mempunyai suku – suku sinus. Dengan cara yang sama kita dapat menunjukkan bahwa uraian Fourier suatu fungsi ganjil tidak mempunyai suku – suku cosinus ( atau konstan ). nx L 2 L L 0  (x) cos 2.Jika (x) genap, tunjukkanlah bahwa (a) an = dx, (b) bn = 0 nx L nx L nx L 1 L 1 0 1 L L  L  L   (x) cos  (x) cos  (x) dx = + dx (a) an = L L 0 Misalkan x = -u, maka nx L  nu L 1 1 1 0 L L 0 L 0 L  L  L   (x) cos  (-u) cos (  (u) cos dx = ) du = nx L du karena menurut definisi fungsi genap, (-u) = (u). Jadi nx L nx L 1 L 1 L 2 L L 0 L 0 L 0   (u) cos   (x) cos   (x) cos du + dx = an = nx L dx (b) Langsung diperoleh dengan Metode 1 soal 10.9 3.Uraikanlah (x) = sin x, 0 < x < dalam suatu deret Fourier cosinus. Page 5 of 10 http://www.mercubuana.ac.id Kalkulus_lanjut_modul-10