Un algoritmo basado en Programación Lineal para el problema del cartero rural privatizado

1. Un algoritmo basado en Programación Lineal para el problema del cartero rural privatizado Julián Aráoz Elena Fernández Departament d’Estadística i Investigació Operativa, UPC. España Oscar Meza Departamento de Computación y Tecnología de la Información, Universidad Simón Bolívar. Venezuela

2. El problema del Cartero Rural Privatizado (PRPP) • Un modelo para (PRPP) • 2.1 Restricciones. • 2.2 Algunas propiedades. • Separación de las restricciones. • Heurística para PRPP • Algoritmo. • Experiencia Computacional. • Comentarios. Trabajo futuro.

3. 7 9 6 9 4 A A d E D C d B C D E B 2 0 9 0 9 3 9 9 7 0 9 6 0 9 - 7 - 2 - 4 9 - 3 - 7 9 - 4 9 - 7 Problema del cartero Rural Privatizado (PRPP) Aristas con demanda ce : costo de recorrer e be: beneficio por servir e

4. Problema del cartero Rural Privatizado (PRPP) Dado un grafo G = ( V, E) con un vértice distinguido d (el depósito) y dos funciones: Beneficio: b: Eℝ Costo: c: Eℝ Encontrar un recorrido cerrado C* que maximice el valor de donde C es un recorrido cerrado que pasa por d, puede atravesar varias veces una misma arista, y tees el número de veces que la arista e se atraviesa en C. - PRPP fue propuesto en: Aráoz, J., E. Fernández, C. Zoltan. Privatized Rural Postman problems. Computers and Operations Research. En prensa. - PRPP es NP-Hard

5. ye’’ 1 • ye’’ xe’ Relaciones de Dominancia Un modelo para PRPP........ e = be - ce G’=(V, E’E’’) • Todos los nodos tienen grado par: • Conectividad de las aristas recorridas con el depósito.

6. v d’(v)\F’ d’’(v)\F’’   F’  F’’ Los nodos tienen grado par x (d ’ (v)) + y (d ’’ (v))º 0 mod 2  v Î V x(d ’ (v) \ F’ ) + y(d’’ (v) \ F’’ )  x( F’ ) + y( F’’ ) - | F’  F’’ | + 1 vV, F ’  d ‘(v), F ’’  d ’’(v), | F ’  F ’’| impar. • Implicadas por las desigualdades de cocircuito F. Barahona and M. Groeschel. On the cycle polytope of a binary matroid. J. Comb. Theory, 40:40–62, 1986. • Usadas en el contexto del “Rural Postman Problem”: • G. Ghiani and G. Laporte. A branch-and-cut algorithm for the undirected rural postman problem. Mathematical Programming, 87:467–481, 2000.

7. Algunas propiedades GR (V (R) {d }, R) R = { e  E : ye 0 } e  E ye= be-2ce  (Vi) en G gR (Vi) en GR { Ci}i=0,…,p, dC0 componentes de GR. Vi= V(Ci) Sea C* una solución óptima... Dado e  C*, si V (e) Vk  para alguna componente Ckde GR gR(Vk)  C*. ( ó bien todas las aristas degR (Vk )están en C* ó ninguna de ellas) Sea Ckuna componente conexa de GR . Si e g (Vk) \ R  enC*, e se recorre como mucho unavez.(ye=0)

8. Conectividad con el depósito de las aristas recorridas. x(d ’(S )) + y(d’’ (S ))  2 xe S  V \ {d } ; e  g(S) Belenguer, J., E. Benavent, The Capacitated Arc Routing Problem: valid inequalities and facets. Computational Optimization and Applications (10), 165-187, 1998. x(d’ (S)) + y(d’’ (S))  2 xekR S  V \{d} ; k0, Vk  S ) x(d’ (S)) + y(d’’ (S))  2xe S  V \{d}); e  g’(S)  d’(S) t.q. V(e) V(R)=

9. Un modelo para PRPP Grado par Conexión con el depósito Relaciones de dominancia

10. Problema de Separación para restricciones de grado x(d ’ (v) \ F’ ) + y(d’’ (v) \ F’’ )  x( F’ ) + y( F’’ ) - | F’  F’’ | +1 Sea (x*, y*) solución del LP actual..... Sean F ’ = {ed ’(v) : x*e’  0.5}; F’’ = {ed ’’(v) : y*e’’  0.5} Si F’  F’’ es de cardinalidad par entonces Sean z*e_min = min{y*e : eF’’}, z*e_max = max{x*e : e d(v)\F’} Si z*e_min - 0.5  0.5 - z*e_max entonces eliminar e_min de F’ en otro caso añadir e_max a F’ Si la correspondiente desigualdad de grado está violada por F’  F’’ , tenemos un corte. El algoritmo anterior resuelve el problema de separación para las restricciones de grado de forma exacta y su orden es O(|E|).

11. Separación de las restricciones de conexión x(d’(S)) + y(d‘’(S))  2xe Sea (x*, y*) solución del LP actual.... Adaptamos el algoritmo exacto de Belenguer y Benavent (1998) Para cada arista e = {u,v}, con u, v diferentes del depósito y x*e >0, Obtener el corte mínimo d ‘(S)  d ‘’(S) tal que eg ‘ ( S)  g ’’( S) a partir de árbol de cortes mínimos. Si el valor del corte es menor que 2x*e la desigualdad x(d’(S)) + y(d‘’(S))  2xe está violada. Belenguer, J., E. Benavent, The Capacitated Arc Routing Problem: valid inequalities and facets. Computational Optimization and Applications (10), 165-187, 1998. D. Gusfield. Very Simple Methods for All Pairs Network Flow Analysis. SIAM Journal of Computing 19, 143-155, 1990.

12. Heurística para PRPP 1. Transformar PRPP en un RPP. Aristas requeridas de RPP, ER, las que tienen x*e > e y {d, d’} (arista ficticia que garantiza que la solución pasa por el depósito) 2. Aplicar heurística 3T de Fernández, Meza, Garfinkel, Ortega (2002) para obtener una solución factible para RPP. 3. Eliminar aristas paralelas {d, d ’} . Heurística 3T a. Construir un árbol T de coste mínimo. b. Añadir aristas a ET ER para que todos los nodos tengan grado par. (matching perfecto de costo mínimo en el subgrafo inducido por nodos de grado impar: M) c. Aplicar “atajos” para mejorar la solución ET ER EM . T1: Aristas candidatas: Todas las del grafo original Costos: los del grafo original. (Frederikson, 1979) T2: Aristas candidatas: { e’E’: x*e’ > 0} { e’’E’’: y*e’’ > 0}. Costos: 1- x*e , 1- y*e’’ . T3: Aristas candidatas: { e’E’: x*e’ > 0} { e’’E’’: y*e’’ > 0}.. Costos: los del grafo original. E. Fernández, O. Meza, R. Garfinkel, and M. Ortega. On the undirected rural postman problem: Tight bounds based on a new formulation. Operations Research, 51:281–291, 2003.

13. Algoritmo LP para PRPP • 0. Sea LPR0 la relajación lineal de PRPP. k  0 • 1. optimo = falso, mejorxy= (0,0), fin = falso, • 2. Mientrasfin = falsohacer • Encontrar una solucion (x*, y*) de LPRk • Si entonces • Si( x*, y*) es factible para PRPPentonces • mejorxy= (x*, y*),fin = cierto, • en otro caso • i) Identificar desigualdades de grado y de conectividad violadas por (x*, y*). • ii) Añadir las desigualdades identificadas a LPRk. • iii) Si no se ha identificado ninguna desigualdad violada entonces • fin = cierto • en otro caso • Aplicar procedimiento de fijación de variables. • k:= k + 1 • 4. Aplicar la heurística y obtener la correspondiente solución (xh, yh) y cota inferior zh = z (xh, yh). • Sientonces y mejorxy= ( xh, yh )

14. Experiencia computacional Instancias de RPP transformadas a PRPP: - ALBAIDA’s:obtained from the Albaida, Spain Graph (see Corberan and Sanchis [10]). - P’s contains the 24 instances of Christodes et al. [9]. - The last three groups contain instances from Hertz et al [15] - D´s: 36 instances with vertices of degree 4 and disconnected required edge sets - G’s: 36 grid instances (labeled GRID), and - R’s: 20 randomly generated instances RPP’s  be=1000*ce

15. Comentarios Finales • Algoritmo para un nuevo problema: Privatized Rural Postman Problem. • Incorporamos relaciones de dominancia al modelo. • Resolvemos el problema de separación de forma exacta. • Aplicamos una heurística a partir de la solución óptima del LP. • Resultados satisfactorios en experiencia computacional preliminar. • Trabajo Futuro: Estudio de otro tipo de problemas con beneficio. • Mejora del proceso de fijación de variables. • Problemas con capacidades. • …