PROGETTO DIGI SCUOLA

1. PROGETTODIGI SCUOLA PUNTI NOTEVOLI DI UN TRIANGOLO Progetto a cura del gruppo di matematica dell’ITIS “G. Ferraris” di Acireale Rosanna Costarelli, Rita Maria Musmeci, Maria Ausilia Sapuppo

2. “Punti notevoli di un triangolo”

3. INTRODUZIONE Il progetto è rivolto a una seconda classe di un istituto tecnico industriale. Gli alunni mostrano atteggiamenti differenti nei confronti della matematica in generale e della geometria in particolare e comunque tutti la ritengono una materia difficile. Abbiamo pensato di scegliere questo argomento di geometria perché riteniamo che la dinamicità del software CABRI II possa aiutare gli alunni con maggiori difficoltà a “pensare” alla geometria in modo differente.

4. OBIETTIVI GENERALI • Conoscere i concetti di assi, altezze, mediane e bisettrici di un triangolo. • Conoscere i concetti di circocentro, ortocentro, baricentro e incentro. • Utilizzare i concetti di asse e bisettrice come esempi di luogo geometrico • Osservare le reciproche posizioni dei punti notevoli relativamente alla natura del triangolo • Essere capace di lavorare in gruppo • Essere capace di usare consapevolmente un software

5. Lavorare in gruppo Dal Lavoro di gruppo al Gruppo di lavoro Un gruppo di lavoro è costituito da un insieme di individui che interagiscono tra loro con una certa regolarità, nella consapevolezza di dipendere l’uno dall’altro e di condividere gli stessi obiettivi e gli stessi compiti. Perché un gruppo di lavoro possa evolversi e maturare nel tempo ed avere una maggiore collaborazione tra i suoi membri è necessario che si passi dalla semplice interazione ad una vera e propria integrazione. La realizzazione concreta della collaborazione all'interno del gruppo, è poi facilitata dal meccanismo di negoziazione, che permette il confronto e il passaggio dal punto di vista dei singoli individui ad un punto di vista comune e condiviso per realizzare al meglio gli obiettivi previsti.

6. I ragazzi lavorano in gruppo

7. PREREQUISITI Segmenti e proprietà. Angoli e proprietà. Il triangolo e le sue proprietà PerpendicolaritàLuoghi geometrici Circonferenza Poligoni inscritti e circoscritti

8. Classificazione dei triangoli

9. Luoghi geometrici Si definisce luogo geometrico un insieme di punti che godono tutti della stessa proprietà • Esempi di luoghi geometrici sono: • I punti della linea centrale dello spartitraffico • I cerchi delle botti Lo spartitraffico della ss. 114 zona S. Caterina Le botti di rovere della Torrepalino

10. STRUMENTI Utilizzo del software CABRI II

12. 1° FASE • Costruzione di un triangolo a partire da tre segmenti

13. 2° FASE: Tracciare i segmenti notevoli • Altezze. Punto d’incontro. Analisi dei casi particolari • Mediane. Punto d’incontro. Proprietà • Bisettrici. Punto d’incontro. Bisettrice vista come luogo geometrico. Centro della circonferenza inscritta. • Assi. Punto d’incontro. Centro della circonferenza circoscritta. Asse come luogo di punti.

14. 3° FASE • Studio delle reciproche posizioni dei punti notevoli in relazione alla natura del triangolo.

15. COSTRUZIONE DI UN TRIANGOLO DATI TRE LATI(macro n. 1) Disegna due punti M, N, quindi il segmento MN, esso sarà il primo dei tre segmenti assegnati. Disegna due punti P, Q, quindi il segmento PQ, esso sarà il secondo dei tre segmenti assegnati. Disegna due punti R, S, quindi il segmento RS, esso sarà il terzo dei tre segmenti assegnati. Dovremo costruire il triangolo ABC, i cui lati siano congruenti ai segmenti assegnati. Disegna un punto A , esso sarà un vertice del triangolo. Usando il compasso traccia la circonferenza di centro A e raggio MN, prendi su di essa un punto e chiamalo B. Usando il compasso traccia la circonferenza di centro A e raggio PQ, poi traccia la circonferenza di centro B e raggio RS, chiama con C uno dei due punti di intersezione di tali circonferenze. Indica le circonferenze con il tratteggio. Colora in azzurro i punti A, B, C. Traccia il triangolo ABC e coloralo in rosso. Se vuoi verificare puoi calcolare le misure dei segmenti, dei lati del triangolo. REGISTRAZIONE DELLA MACRO OGGETTI INIZIALI I punti M e N, P e Q, R e S, A . OGGETTI FINALI Il triangolo ABC MESSAGGIO DI AIUTO Costruisce il triangolo dati tre segmenti. I tre segmenti devono soddisfare le proprietà triangolari. Seleziona gli estremi dei tre segmenti dati . Seleziona un punto che sarà un vertice del nuovo triangolo.

16. COSTRUZIONE DELL’ORTOCENTRO (MACRO N.3) • Disegna un triangolo ABC utilizzando la macro n.1. • Traccia le altezze relative a due lati del triangolo, e indica con “O ortocentro” il loro punto di intersezione. • Usando il comando ATTRIBUTI segna O con la crocetta e coloralo in fucsia. NASCONDI le due altezze. REGISTRAZIONE DELLA MACRO • OGGETTI INIZIALI I vertici A,B,C • OGGETTI FINALI Il punto O • MESSAGGIO DI AIUTO Seleziona i vertici di un triangolo, apparirà il punto notevole: Ortocentro.

17. ANALISI CASI PARTICOLARI • Costruisci in verde le due rette che contengono le due altezze, indica con O il loro punto d’incontro Costruisci adesso la terza altezza. Cosa noti? …………………………………………………………………………… • Prova a muovere un vertice del triangolo. Cosa accade? Quando si verifica tale circostanza ? (E’ conveniente misurare gli angoli per vedere di che tipo di triangolo si tratta e fissare tali misure.) …………………………………………………………………………… ..………………………………………………………………………….. • E se il triangolo fosse rettangolo?

18. COSTRUZIONE DEL BARICENTRO(macro n. 2) • Disegna un triangolo ABC utilizzando la macro n.1. • Segna i punti medi di due dei suoi lati, traccia le due mediane, e indica con “G baricentro” il loro punto di intersezione. • Usando il comando ATTRIBUTI segna G con il punto più grande e coloralo in verde. • NASCONDI le due mediane e i punti medi. REGISTRAZIONE DELLA MACRO OGGETTI INIZIALI • I vertici A,B,C OGGETTI FINALI • Il punto G • MESSAGGIO DI AIUTO Seleziona i vertici di un triangolo, apparirà il punto notevole : Baricentro.

19. PROPRIETA’ IL BARICENTRO DIVIDE CIASCUNA MEDIANA IN DUE PARTI DELLE QUALI QUELLA CHE HA UN ESTREMO NEL VERTICE È DOPPIA DELL’ALTRA. • Costruisci un triangolo ABC • Costruisci in rosso due mediane e indica con G il loro punto d’incontro. Costruisci adesso la terza mediana. Cosa noti? ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… • Prova a muovere un vertice del triangolo. Cosa accade? ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… • Calcola le misure dei sei segmenti in cui tali mediane sono divise dal punto G e successivamente fai variare il triangolo. In che rapporto si trovano le due parti di una stessa mediana? …………………………………………………………………………………………................................................................................................................................................ IL TRIANGOLO MEDIANO • Considera adesso il triangolo mediano che ha per vertici i punti medi del triangolo dato e determina come prima il baricentro di questo nuovo triangolo . Cosa noti?

20. COSTRUZIONE DELL’INCENTRO ( macro n.4) • Disegna un triangolo ABC utilizzando la macro n.1. • Traccia le bisettrici di due angoli del triangolo. Attenzione: se vuoi usare questa costruzione per progettare una MACRO, è necessario nel costruire le bisettrici indicare gli angoli non con tre punti qualsiasi ma con i punti A,B,C. • Indica con “I incentro” il punto di intersezione delle due bisettrici. • Usando il comando ATTRIBUTI segna I con il cerchietto e coloralo in blu. NASCONDI le due bisettrici. REGISTRAZIONE DELLA MACRO • OGGETTI INIZIALI I vertici A,B,C • OGGETTI FINALI Il punto I. MESSAGGIO DI AIUTO Seleziona i vertici di un triangolo, apparirà il punto notevole : Incentro.

21. PROPRIETA’ • Disegna un triangolo scaleno ABC, traccia con lo strumento BISETTRICE le rette e colora in blu le due semirette bisettrici degli angoli, indica con I il loro punto d’incontro. • Costruisci adesso la terza bisettrice. Cosa noti? ……………………………………………………………….…….…… • Prova a muovere un vertice del triangolo. Cosa accade? ..………………………………………………………….…........……… • Traccia le distanze dall’incentro ai lati del triangolo. Misura tali distanze. Cosa osservi? …………………………………………………..……………..………. • Queste tre distanze rappresentano ……………………………… e l’incentro rappresenta il ……….. della circonferenza inscritta.

22. LA BISETTRICE DI UN ANGOLO INTERNO DI UN TRIANGOLO DIVIDE IL LATO OPPOSTO IN PARTI PROPORZIONALI AGLI ALTRI DUE LATI • Traccia il triangolo di vertici A,B,C. Traccia la bisettrice di vertice B e chiama con D il punto di intersezione con il lato AC. • Ipotesi • Tesi • Dal punto C traccia la parallela a BD, la quale incontra il prolungamento del lato AB nel punto E • Consideriamo gli angoli , essi sono congruenti perché angoli ………………………………………… rispetto alle parallele BD e …………….., tagliate dalla trasversale ……………… • Consideriamo gli angoli ………………………………… , essi sono congruenti perchè • ………………………………………………………. rispetto alle parallele BD e EC tagliate dalla ………………………. AE • Quindi il triangolo BEC è isoscele di base ……………………… perché ………………… • Consideriamo le rette BD, EC e la loro parallela per A. Per il teorema di Talete si ha

23. Raggio della circonferenza inscritta in un triangolo • La misura del raggio della circonferenza inscritta in un triangolo si ottiene dal rapporto tra l’area del triangolo e la misura del semiperimetro • Scheda di lavoro: • Disegna con Cabri il triangolo di vertici A,B,C • Determina l’incentro. Traccia la distanza IF dell’incentro da un lato del triangolo, questa distanza rappresenta ……………………… della circonferenza inscritta. Traccia quindi la circonferenza di centro I e raggio IF

24. Unisci il punto I con i tre vertici del triangolo. Il triangolo ABC viene suddiviso nei …………… IAC, IAB, IBC. L’area di ABC : SABC=………+………….+ …….. Tracciamo ora le altezze IF, IE,ID dei tre triangoli: esse rappresentano i ………………. della circonferenza inscritta L’area SABC=AC*IF/2+…………. +………..= R*(AB+AC+BC)/2 = r*p (p è il semiperimetro) Da cui r=SABC/p

25. COSTRUZIONE DEL CIRCOCENTRO (MACRO N. 5) • Disegna un triangolo ABC utilizzando la macro n.1. • Traccia gli assi relativi a due lati del triangolo, e indica con “O’ circocentro” il loro punto di intersezione. • Usando il comando ATTRIBUTI segna O’ con il cerchietto e coloralo in azzurro. NASCONDI i due assi. REGISTRAZIONE DELLA MACRO • OGGETTI INIZIALI I vertici A,B,C • OGGETTI FINALI Il punto O’ • MESSAGGIO DI AIUTO Seleziona i vertici di un triangolo, apparirà il punto notevole: Circocentro.

26. PROPRIETA’ • Costruisci in lilla due assi dei lati del triangolo indica con O’ il loro punto d’incontro. Costruisci adesso il terzo asse. Cosa noti? ………………………………………………………………………….……… • Traccia la distanza dal circocentro ai vertici del triangolo. Misura tali distanze. Cosa osservi? …………………………………………………………………………………… • Queste tre distanze rappresentano …………………………………e il circocentro rappresenta il ……….. della circonferenza circoscritta. • Prova a muovere un vertice del triangolo. Cosa accade? Quando si verifica tale circostanza ? ……………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………

27. Studio delle reciproche posizioni dei punti notevoli in relazione alla natura del triangolo. • Considera un triangolo di natura qualsiasi e attraverso le macro n. 2 , 3, 4 e 5 costruisci i quattro punti notevoli. • Calcola le lunghezze dei lati del triangolo, fissa ai lati tali misure e modificalo in modo da renderlo equilatero. Cosa accade per O, I, G e O’ ? ……………………………………………… • E se il triangolo fosse isoscele? • E se il triangolo fosse rettangolo? • E se il triangolo fosse ottusangolo? • RIFLETTI Dei quattro punti notevoli ce ne sono tre sempre allineati? (Puoi vederlo tracciando la retta che unisce due di essi).Questa retta associata intrinsecamente a ogni triangolo, si chiama retta di Eulero, dal nome del famoso matematico del ‘700 Leonhard Euler.

28. Adesso osserva ……… • Prova a condurre dai vertici A, B e C le parallele ai rispettivi lati opposti. Si determinerà un triangolo. Traccia gli assi dei lati del nuovo triangolo. Cosa noti?

29. Teoremadi Ceva • Dato un triangolo qualsiasi di vertici A, B e C e i punti D, E e F rispettivamente sui tre lati BC, AB e AC, la condizione affinchè le tre rette AD, BF e CE si incontrino in un punto è che valga la relazione • questo teorema contiene come casi particolari i teoremi sull’esistenza del baricentro, dell’ortocentro, dell’incentro e del circocentro. Esso fu scoperto dall’italiano Giovanni Ceva nel 1678

30. Circonferenza di Feuerbach • Dato un triangolo qualsiasi ABC, la circonferenza che passa per i piedi D,E e F delle tre altezze passa anche per i punti medi L, M e N dei tre lati e per i punti medi X,Y e Z dei segmenti che congiungono i vertici con l’ortocentro H. Essa è detta circonferenza di Feuerbach o dei nove punti, dal nome di Karl W. Feuerbach che la scoprì nel 1822.

32. CURIOSITA’ Circocentro, incentro e qualche altro punto erano noti sin dai tempi classici. In seguito i matematici ne hanno individuati numerosi altri, con curiosità, passione, testardaggine….. Al punto che è sorta una specie di “caccia al punto notevole”. Oggi, ci si può rendere conto dello stato dell’arte in questo settore consultando http:/faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ dove si trova addirittura una Enciclopedia dei punti notevoli, curata dal matematico Clark Kimberling.

33. Punti notevoli di un triangolo: Ortocentro Baricentro Circocentro Incentro

34. Ortocentro • L’ortocentro è il punto di intersezione delle tre altezze di un triangolo B

35. Altezza relativa al lato di un triangolo L’altezza relativa al lato di un triangolo è il segmento di perpendicolare condotto da un vertice al lato opposto

36. Baricentro Il baricentro è il punto di intersezione delle tre mediane del triangolo

37. Mediana • La mediana è il segmento che congiunge un vertice di un triangolo col punto medio del lato opposto

38. Definizione di Circocentro • Il circocentro è l’intersezione degli assi dei tre lati del triangolo. • E’ così detto perché coincide col centro della circonferenza circoscritta al triangolo

39. Circocentro

40. Asse di un segmento • L’asse di un segmento è la retta perpendicolare condotta al segmento stesso nel suo punto medio. Ha la caratteristica che tutti i suoi punti sono equidistanti dagli estremi del segmento • CD è l’asse di AB AC=CB AD=DB

41. Centro della circonferenza circoscritta al triangolo AO=OB=OC perché raggi

42. Circonferenza circoscritta ad un triangolo • Dicesi circonferenza circoscritta ad un triangolo una circonferenza che contiene i vertici del triangolo

43. Definizione di incentro • L’incentro è il punto di intersezione delle tre bisettrici dei tre angoli del triangolo • E’ così detto perché è il centro della circonferenza inscritta nel triangolo

44. Incentro I è l’incentro

45. Bisettrice di un angolo • La bisettrice di un angolo è la semiretta che condotta dal vertice divide l’angolo in due angoli congruenti • Ha la caratteristica che tutti i suoi punti sono equidistanti dai lati

46. Bisettrice di un angolo bis AM=AH BN=BK

47. Centro della circonferenza inscritta in un triangolo

48. Circonferenza inscritta in un triangolo • Dicesi circonferenza inscritta in un triangolo una circonferenza tangente ai tre lati del triangolo HI=KI=LI