Metode de analiză a interacţiunii seismice

1. Metode de analiză a interacţiunii seismice

2. Introducere Ecuaţii de mişcare în cazul structurii rezemate pe un semispaţiu: Ecuaţii de mişcare Matricea de rigiditate a terenului de fundare Coeficienţii de rigiditate şi de amortizare ai terenului Ecuaţii de mişcare în cazul modelării ansamblului structură - teren prin elemente finite: Cazul bidimensional fără exprimarea amortizării în mod explicit Cazul tridimensional fără exprimarea amortizării în mod explicit Cazul tridimensional cu amortizare Ecuaţiile de mişcare în cazul utilizării substructurilor: Analiza modală a răspunsului seismic Procedeul răspunsului complex în cazul analizei bidimensionale Transformata Fourier discretă în cazul analizei bidimensionale Procedeul răspunsului complex în cazul analizei tridimensionale

3. Introducere În vederea efectuării unui calcul de interacţiune teren-structură, este necesar să cunoaştem: acţiunea seismică; să modelăm, cât mai aproape de realitate, comportarea structurii şi a terenului de fundare, pe timpul acţiunii seismice; să exprimăm echilibrul, care se stabileşte între forţele ce se produc; să rezolvăm sistemele de ecuaţiile de echilibru şi, în final, să interpretăm rezultatele obţinute. În acest capitol, se analizează două dintre problemele enunţate şi anume: exprimarea echilibru seismic, prin intermediul ecuaţiilor diferenţiale şi modalităţi de rezolvare a acestora. Modelele de calcul sunt: semispaţiul, înlocuit cu resorturi şi amortizoare, iar structura modelată conform conceptele clasice din Dinamica structurilor; structura şi terenul discretizate prin elemente finite, în starea plană şi spaţială de comportare.

4. Ecuaţii de mişcare în cazul structurii rezemate pe un semispaţiu Ecuaţii de mişcare În vederea efectuării unei analize seismice a sistemului teren - structură se consideră un sistem vibrant cu n mase, figura 1. Ansamblul comportă n+2 GLD. Baza structurii este supusă unei mişcări de translaţie în plan orizontal caracterizat de funcţia u(t).În fiecare moment al mişcării fiecare masă a sistemului mk va efectua mişcări de translaţie (de corp rigid): y0(t) - deplasarea bazei structurii cu masam0 , deplasare provenită din rotaţia construcţiei (θ(t))în jurul unei axe orizontale şi o mişcare de translaţie datorată flexibilităţii structurii . Ecuaţiile de echilibru dinamic, explicitate pe direcţia celor n grade de libertate ale structurii, rezultă din condiţia de echilibru a tuturor forţelor care acţionează asupra maselor sistemului vibrant: m1,.......,mn.

5. Ecuaţii de mişcare Fig. 1. Ansamblul teren-structura, sistem dinamic cu n+2GLD

6. Ecuaţii de mişcare Dacă se aplică principiul lui D'Alembert şi se înlocuiesc expresiile forţelor care participă la echilibru, pentru cele n grade de libertate, ecuaţia de echilibru, sub formă matriceală, rezultă: , (1.) unde s-a notat: - matricea de inerţie a structurii; - matricea de rigiditate a structurii; - matricea de amortizare a structurii;

7. Ecuaţii de mişcare notaţii (continuare): - vectorul deplasărilor seismice instantanee, care se determină cu relaţia: ; (2) - deplasarea seismică instantanee a masei structurii pe direcţia gradului de libertate r; - distanţa măsurată între baza structurii şi nivelul r unde s-a concentrat masa corespunzătoare şi sunt cu1prinse în vectorul: (3)

8. Ecuaţii de mişcare Se introduce vectorul din relaţia (2.) în relaţia (3.), care devine: (4.) Ecuaţia de echilibru seismic, a ansamblului teren - structură, exprimată pentru gradul de libertate corespunzător fundaţiei structurii, la nivelul bazei, se obţine prin sumarea forţelor de inerţie ce iau naştere pe direcţia fiecărui grad de libertate şi a reacţiunii orizontale ce se produce între baza structurii (fundaţie) şi terenul de fundare: , (5.) unde: H(t) reprezintă reacţiunea orizontală a terenului de fundare.

9. Ecuaţii de mişcare Scrisă sub formă matriceală, ecuaţia (5.) are alura: . (6.) Ecuaţia matriceală (6.) poate fi scrisă şi sub forma: (7.) Premultiplicând ecuaţia (7.) cu vectorul , aceasta devine: (8.)

10. Ecuaţii de mişcare Substituind (8.) în (6.) se obţine: (9.) Ecuaţia de echilibru seismic, a ansamblului teren - structură, exprimată corespunzător pe direcţia gradului de libertate rotirea ansamblului în jurul unei axe OZ ce trece pe la baza structurii, se obţine prin sumarea momentelor forţelor de inerţie, ce se produc pe direcţia fiecărui grad de libertate acordat structurii, calculate în raport cu baza construcţiei şi reacţiunea moment ce ia naştere în terenul de fundare, notat M(t): (10.) unde: J reprezintă momentul de inerţie masic al ansamblului, se determină în raport cu axa OZ şi se calculează cu relaţia: (11.)

11. Ecuaţii de mişcare Ecuaţia de echilibru dinamic, relaţia (10.), scrisă sub formă matriceală devine: . (12.) Premultiplicând ecuaţia (7.) cu vectorul se obţine: (13.) Substituind (13.) în (12.) se obţine ecuaţia: (14.)

12. Ecuaţii de mişcare Ecuaţiile (4.), (9.) şi (12.) se pot scrie sub următoarea formă matriceală: , (15.) care reprezintă ecuaţia de echilibru seismic al ansamblului teren - structură. În ecuaţia de mai sus s-au făcut următoarele notaţii: - matricea de inerţie a ansamblului teren - structură, care are expresia: (16.) - matricea de amortizare a ansamblului teren - structură, se calculează cu relaţia: (17.)

13. Matricea de rigiditate a ansamblului notaţii (continuare): - matricea de rigiditate a ansamblului teren - structură, se determină cu relaţia: ; (18.) - vectorul termenilor liberi: ; (19.)

14. Ecuaţii de mişcare notaţii (continuare): - vectorul deplasărilor seismice instantanee: ; (20.) - vectorul reacţiunilor terenului de fundare: . (21.)

15. Matricea de rigiditate a terenului de fundare : În ecuaţia (15.), vectorul reacţiunilor terenului de fundare poate fi exprimat, funcţie de vectorul deplasărilor, prin intermediul matricei de rigiditate a terenului de fundare : (22.) sau (23.) şi . (24.)

16. Matricea de rigiditate a terenului de fundare Forţele de interacţiune H(t) şi M(t)se determină analizând fenomenul de deformabilitate a terenului de fundare, studiind vibraţiile unei plăci de fundaţie rezemate pe terenul de fundare excitată armonic (Ω reprezentând pulsaţia proprie a excitaţiei). În cazul în care terenul este modelat prin intermediul resorturilor, atunci relaţia (23.) devine: . (25.)

17. Coeficienţii de rigiditate şi de amortizare ai terenului Fundaţia aşezată pe un mediu deformabil, în timpul vibraţiilor, comportă şase grade de libertate. Dintre acestea, enumerăm: translaţia orizontală, translaţia verticală, mişcarea de torsiune în jurul unei axe verticale (care se ia în considerare în cazul unui calcul spaţial) şi mişcarea de rotaţie în jurul unei axe orizontale. Pentru mişcările orizontale şi de rotaţie, în jurul unei axe orizontale, ecuaţiile de echilibru dinamic pot fi scrise sub forma: . (26.) Coeficienţii de rigiditate ai resorturilor, KH şi KR şi coeficienţii de amortizare, CH şi CR sunt proprii fiecărui mod de vibraţie a fundaţiei.

18. Coeficienţii de rigiditate şi de amortizare ai terenului Coeficienţii de rigiditate utilizaţi în studierea fenomenului de interacţiune seismică între structură şi terenul de fundare sunt determinaţi prin mai multe metode, dintre care menţionăm: • studiul terenului de fundare considerat semispaţiu elastic, omogen şi izotrop, acţionat de sarcini perturbatorii de tip armonic, figura 2.; • determinări experimentale cu ajutorul plăcilor încărcate cu sarcini statice repetate; • analize experimentale pe fundaţii la scară mică acţionate de excitaţii de tip armonic.

19. Coeficienţii de rigiditate şi de amortizare ai terenului Fig.2. Semispaţiul (a.) şi modelul dinamic corespunzător (b.)

20. Coeficienţii de rigiditate şi de amortizare ai terenului a. Coeficienţi determinaţi din considerente teoretico - experimentale în regim dinamic de acţionare. Referitor la studiile teoretice privind răspunsului dinamic al fundaţiilor aşezate pe un semispaţiu, este necesar să-l menţionăm pe Reissner care, în anul 1936, a făcut o ipoteză conform căreia presiunea de contact pe talpa fundaţiei, considerată de formă circulară, este uniform distribuită, în cazul vibraţiilor verticale. A determinat formule pentru constantele elastice ale terenului de fundare. În anul 1944 Reissner şi Sagoci au studiat răspunsul dinamic torsional, iar Bycroft şi Wartburton (în anul 1965) au analizat vibraţiile fundaţiilor în jurul unei axe orizontale. Soluţia sistemului (26.) a fost pusă în evidenţă de către Bycroft pe baza studiilor efectuate de către Reissner, sub forma:

21. Coeficienţii de rigiditate şi de amortizare ai terenului (27.) în care : Rereprezintă partea reală a soluţiei; fiH şi fiR- funcţii pentru translaţia orizontală, respectiv rotaţia fundaţiei (se determină cu relaţii de calcul sau cu ajutorul graficelor); a - factor de frecvenţa dimensional: ; r - raza fundaţiei; Vs- viteza de propagare a undei seismice; G - modulul de deformaţie transversală a terenului; μ- coeficientul lui Poisson; Ω- pulsaţia excitaţiei.

22. Coeficienţii de rigiditate şi de amortizare ai terenului Hsieh pe baza lucrărilor lui Bycroft formulează relaţii de calcul pentru calculul coeficienţilor de rigiditate şi cei de amortizare, când se consideră μ = 0: (28.) b. Coeficienţi determinaţi din considerente statice. Bazele studiului răspunsului static al terenului de fundare, prin includerea deformabilităţii mediului, au fost puse (în anul 1928) de către Schleheir, care a calculat coeficienţi de tasare (coeficienţi de pat, coeficienţi elastici) pentru încărcări verticale şi fundaţii circulare. Utilizând curba presiune - tasare, care pe o anumită porţiune poate fi considerată liniară, Barkan, Raush, Savinov etc. au stabilit relaţii de calcul pentru coeficienţii elastici: CX, CY, CΘşi CΨ, care stau la baza calculului coeficienţilor de rigiditate ai terenului.

23. Coeficienţii de rigiditate şi de amortizare ai terenului În stadiul actual al tehnicii, deformabilitatea terenului de fundare se poate evidenţia prin intermediul unor constante, ceea ce prezintă o serie de avantaje. Se pot defini: • CX- coeficient de compresiune elastică uniformă sub încărcare verticală [dan/cm3]; • CY - coeficient de lunecare elastică uniformă [dan/cm3]; • CΘ - coeficient de lunecare elastică neuniformă în jurul unei axe orizontale [dan/cm3]; • CΨ - coeficient de lunecare elastică neuniformă în jurul unei axe verticale [dan/cm3];

24. Coeficienţii de rigiditate şi de amortizare ai terenului Relaţiile între coeficienţii de tasare şi rigidităţi se scriu prin intermediul caracteristicilor geometrice ale fundaţiei, astfel: • pentru translaţie verticală: KX = CX AF; • pentru translaţie orizontală: KY = CY AF; • pentru rotaţie în jurul unei axe orizontale: KΘ = CΘ IX; • pentru rotaţie în jurul unei axe orizontale: KΨ = CΨ I, în care: AF este aria suprafeţei de rezemare a fundaţie teren; IX- momentul de inerţie al suprafeţei de rezemate a fundaţiei pe teren faţă de axa de rotaţie OX sau OY; I - momentul de inerţie polar al acestei arii faţă de punctul în care axa OX întâlneşte planul tălpii fundaţiei.

25. Coeficienţii de rigiditate şi de amortizare ai terenului Într-o formă comodă coeficientul de tasare, după translaţia verticală CX, se poate exprima în funcţie de rezistenţa de calcul a terenului de fundare, iar ceilalţi coeficienţi (CY, CΘ, CΨ)în funcţie de CX, astfel: CY = 0,7 CX ; CΘ = 2 CX; CΨ = 1,5 CX (29.) c. Coeficienţi determinaţi din considerente teoretico - experimentale. Îmbinând studiile teoretice cu cele experimentare prin acţionarea statică a fundaţiilor s-a reuşit să se obţină relaţii de calcul pentru determinarea coeficienţilor de rigiditate funcţie de modulul de deformabilitate, G şi coeficientul lui Poisson, μ şi densitatea mediului de fundare, ρ care sunt prezentate în tabelele 1. şi 2.

26. Coeficienţii de rigiditate şi de amortizare ai terenului Tabel nr. 9.1. [Newmark şi Rosenbluth, 1971]

27. Coeficienţii de rigiditate şi de amortizare ai terenului Tabelul nr. 9.2. Constantele βdin relaţiile cuprinse în tabelul 2. se determină din graficul prezentat în figura 3.

28. Coeficienţii de rigiditate şi de amortizare ai terenului Fig.3. Graficul funcţiilor Fig.9.3. Graficul funcţiilor

29. Ecuaţii de mişcare în cazul modelării ansamblului structură - teren prin elemente finite Cazul bidimensional fără exprimarea amortizării în mod explicit Ecuaţia mişcării pentru vibraţii neamortizate, pentru un model de elemente finite plane (s-a discretizat atât structura, cât şi terenul de fundare), poate fi scrisă sub forma: , (30.) unde: reprezintă vectorul deplasărilor punctelor nodale faţă de baza fixă; - matricea de rigiditate; - matricea maselor; - acceleraţia de excitaţie dată la baza rigidă, cu componentele sale orizontale şi verticale: (31.) în care: CH şi CVsunt constante. - vectorul încărcărilor pentru = 1.

30. Ecuaţii de mişcare în cazul modelării ansamblului structură - teren prin elemente finite Acest vector este legat de matricea maselor prin relaţia: (32.) Toţi vectorii de mai sus au dimensiunea egală cu NF = 2*numărul nodurilor libere(punctele nodale). Elementele finite sunt astfel aranjate încât indicii 2j-1şi2jcorespund mişcărilor orizontale şi, respectiv, verticale ale punctului nodal j. Matricele şi sunt simetrice, bandă şi au dimensiunile NF* NF.

31. Ecuaţii de mişcare în cazul modelării ansamblului structură - teren prin elemente finite Cazul tridimensional fără exprimarea amortizării în mod explicit Procedeul analitic expus, în continuare, se bazează pe cel bidimensional. Într-o primă etapă se efectuează o analiza a sistemului teren - structură, în vederea determinării mişcărilor la baza structurii, iar în etapa a doua se realizează o analiză tridimensională, pentru structură acţionată de mişcările calculate în stadiul unu, prin intermediul căreia se determine răspunsul seismic. Modelul de calcul folosit, în acest procedeu, este prevăzut cu margini transmiţătoare, care au capacitatea de a absorbi efectele undelor emanate de la structură, simulând astfel efectele depozitelor de teren excluse prin micşorarea dimensiunilor reţelei de elemente finite.

32. Ecuaţii de mişcare în cazul modelării ansamblului structură - teren prin elemente finite Ecuaţiile de mişcare se pot scrie sub forma: , (33.) unde: reprezintă vectorul forţelor de pe marginea vâscoasă a laturii plane a fâşiei, care de calculează cu relaţia: , (34.) în care: L este grosimea fâşiei, este o matrice diagonală care depinde de proprietăţile terenului din câmp liber şi reprezintă vectorul vitezelor nodale cunoscute din câmp liber;

33. Ecuaţii de mişcare în cazul modelării ansamblului structură - teren prin elemente finite - forţele care acţionează pe capetele fâşiei în plan vertical în câmp liber şi nu cuprind transmisia orizontală a energiei undelor, acest vector se determină cu relaţia: , (35.) unde: este o matrice de rigiditate independentă de frecvenţă formată din moduli complecşi corespunzători câmpului liber; - forţele legate de energia transmisă: , (36.) în care: şi sunt două matrice de rigiditate ale marginilor fâşiei, dependente de frecvenţă, introduse de Lysmer şi Drake (în 1972); aceste matrice reprezintă efectul dinamic exact al terenurilor vâsco-elastice semiinfinite.

34. Ecuaţii de mişcare în cazul modelării ansamblului structură - teren prin elemente finite Cazul tridimensional cu amortizare Ecuaţia de mişcare a unui sistem elastic continuu, discretizat într-un număr de elemente finite este: , (37.) unde: conţine deplasările dinamice instantanee ale tuturor punctelor nodale. Matricele reprezintă matricea de inerţie, de amortizare şi, respectiv, de rigiditate. Vectorul cuprinde încărcările aplicate în punctele nodale cu grade de libertate. În cazul în care excitaţia este de tip armonic cu pulsaţia ω , (38.) răspunsul va fi: . (39.)

35. Ecuaţii de mişcare în cazul modelării ansamblului structură - teren prin elemente finite În relaţiile anterioare, vectorii şi cuprind amplitudinile complexe ale acţiunii şi ale deplasărilor punctelor nodale. Ecuaţia mişcării poate fi scrisă sub forma următoare: , (40.) unde matricea de rigiditate dinamică este: . (41.)

36. Ecuaţiile de mişcare în cazul utilizării substructurilor În fig. 4 se prezintă sistemul teren - structură, în starea plană de comportare, modelat printr-o reţea de elemente finite. Terenul se extinde, în jos, până la roca de bază. Ecuaţia generală de mişcare, în regim seismic (acţiunea aplicată la nivelul rocii de bază), este: (42.) unde: este vectorul deplasărilor totale ale punctelor nodale din reţeaua de elemente finite, măsurate în raport cu un sistem de referinţă fix (o origine fixă):

37. Ecuaţiile de mişcare în cazul utilizării substructurilor Fig. 4. Model de elemente finite pentru analiza interacţiunii teren – structură: a. model structură-teren; b. model cu substructuri

38. Ecuaţiile de mişcare în cazul utilizării substructurilor Ecuaţia (42.) poate fi exprimată funcţie de deplasările relative: (43.) în care: reprezintă vectorul cuprinde deplasările relative, ale punctelor nodale, în raport cu limita inferioară (roca de bază) a modelului; - componentele mişcării seismice aplicate la limita inferioară a modelului; şi au forma:

39. Ecuaţiile de mişcare în cazul utilizării substructurilor . Exprimând ecuaţia (43.) în domeniul frecvenţelor, printr-o transformată Fourier , obţinem: (44.) sau , (45.) conform cu relaţia (41.). În metoda substructurilor, structura şi terenul de fundare (depozitul care se extinde de la nivelul structurii până la limita inferioară, la roca de bază) sunt două substructuri care se analizează independent. Atunci când cele două subsisteme sunt despărţite, efectul conlucrării dintre ele se înlocuieşte cu două sisteme de forţe, egale şi de sens contrar: şi .

40. Ecuaţiile de mişcare în cazul utilizării substructurilor Echilibrul celor subsisteme, în domeniul frecvenţelor, se exprimă prin actualizarea relaţiei (45.): (46.) şi . (47.) Datorită compatibilităţilor deplasărilor şi echilibrului forţelor de interacţiunii, se pot evidenţia relaţiile: , (48.) . (49.) Se poate demonstra, foarte simplu, ca prin combinarea ecuaţiilor (46.) şi (47.) se obţine sistemul de ecuaţii (45.).

41. Ecuaţiile de mişcare în cazul utilizării substructurilor Pentru a analiza interacţiunea seismică teren - structură prin metoda substructurilor, se consideră subsistemul terenul de fundare fără existenţa construcţiei. În acest caz, deplasările punctelor nodale, de pe interfaţa structură - teren, se vor nota cu şi le introducem în vectorul , care este legat de ceilalţi vectori ai deplasărilor prin relaţiile: . (50.) Cu aceste noi coordonate, ecuaţia (5.60), scrisă pentru subsistemul teren de fundare, este: . (51.)

42. Ecuaţiile de mişcare în cazul utilizării substructurilor Scăzând ecuaţia (47.) din ecuaţia (50.) se obţine: (52.) sau (53.) şi . (54.)

43. Ecuaţiile de mişcare în cazul utilizării substructurilor Din ecuaţia (54.) se deduce vectorul care se introduce în (53.): (55.) (56.) sau ; (57.) unde: , (58.) reprezintă o matrice de rigiditate dinamică. Această matrice poate fi determinată prin eliminarea tuturor gradelor de libertate ale reţelei prin care a fost discretizat terenul până la infinit şi nu se găsesc pe interfaţa teren - structură.

44. Ecuaţiile de mişcare în cazul utilizării substructurilor Ţinând cont de (49.) şi (50.), rezultă: . (59.) Introducând relaţia (59.) în ecuaţia (46.) se obţine ecuaţia de mişcare generală a structurii incluzând şi efectele interacţiunii structură - teren, care cuprinde şi mişcările în câmp liber de pe interfaţa teren - structură: . (60.)

45. Procedee de rezolvare a ecuaţiilor de mişcare . Analiza modală a răspunsului seismic Pentru sistemul teren - structură cu o comportare liniar-elastică, se consideră sistemul de ecuaţii (15.), cazul metodei inerţiale (terenul se modelează prin intermediul resorturilor şi amortizoarelor), răspunsul seismic se poate determina cu ajutorul analizei modale. Considerăm matricea de rigiditate a terenului , relaţia (25.), cu elemente numai pe diagonala principală şi independente de frecvenţa , notată .

46. Procedee de rezolvare a ecuaţiilor de mişcare Modurile proprii de vibraţie, matricea modală şi matricea spectrală , se determină rezolvând ecuaţia matriceală: . (61.) Se efectuează şi o transformare de variabile, prin utilizarea coordonatelor generalizate: . (62.) Substituind (9.62) în (9.61) şi premultiplicând cu matricea modală transpusă, se obţine ecuaţia mişcării, în formă matriceală, cuprinzând drept necunoscute coordonatele generalizate ale ansamblului structură - teren: . (63.)

47. Procedee de rezolvare a ecuaţiilor de mişcare Sistemul de ecuaţii (15) s-a decuplat. S-au obţinut n+2 ecuaţii independente. Ecuaţia mişcării în modul r de vibraţie are forma: , (64.) unde s-a notat: - masa generalizată în modul r de vibraţie: (65.) - amortizarea generalizată corespunzătoare modului r de vibraţie: (66.) - rigiditatea generalizată în modul r de vibraţie: . (67.)

48. Procedee de rezolvare a ecuaţiilor de mişcare Ecuaţia (64.) poate fi scrisă sub forma următoare: (68.) sau . (69.)

49. Procedee de rezolvare a ecuaţiilor de mişcare Deplasarea relativă măsurată pe direcţia gradului de libertate k, corespunzătoare modului r de vibraţie, de calculează cu relaţia: (70.) sau (71.) unde: reprezintă un factor de distribuţie şi se calculează cu relaţia: (72.)

50. Procedee de rezolvare a ecuaţiilor de mişcare în care : - elementul vectorului propriu de vibraţie corespunzător modului r de vibraţie , măsurat pe direcţia gradului de libertate k; - factor de participare corespunzător modului r de vibraţi, se calculează cu relaţia: . (73.) Deplasarea relativă modală maximă este dată de expresia: (74.) în care: reprezintă valoarea spectrală (valoarea maximă) exprimată prin deplasarea relativă a răspunsului seismic al unui sistem cu 1GLD ale cărui caracteristici dinamice proprii coincid cu cele corespunzătoare modului de vibraţie r de vibraţie.