Teorie pravd ěpodobnosti

1. Teorie pravděpodobnosti

2. Základní pojmy • Náhodný pokus – konečný děj, jehož výsledek není předem určen • Náhodný jev – tvrzení o výsledku náhodného pokusu, značíme A, B, X, Y, … • Základní prostor Ω– množina všech možných výsledků náhodného pokusu • Elementární jev ω – množina všech možných výsledků, které jsou navzájem disjunktní • Jev A – libovolná podmnožina základního prostoru

3. Typy jevů • Jev jistý • Jev náhodný • Jev nemožný

4. Relace mezi jevy

5. Průnik jevů A, B - A∩B

6. Sjednocení jevů A, B - AUB

7. Jev A je podjevem jevu B

8. Jevy A, B jsou disjunktní A∩B = {0}

9. Rozdíl jevů A, B - A-B

10. Doplněk jevu A, non A

11. De Morganovy zákony

12. Úplná množina vzájemně disjunktních jevů

13. Podmíněná pravděpodobnost, P(A|B) • Pravděpodobnost, že nastal jev A za podmínky (předpokladu), že nastal jev B Úkol: V demonstračním appletu si ověřte porozumění pojmu podmíněná pravděpodobnost. David Lane: Online Statistics: An Interactive Multimedia Course of Study Simulations and Demonstrations: Conditional probability Demo

14. Podmíněná pravděpodobnost, P(A|B) • Pravděpodobnost, že nastal jev A za podmínky (předpokladu), že nastal jev B Motivační příklad: Neprůhledný pytlík obsahuje 10 černých a 5 bílých kuliček. Budeme provádět náhodný pokus – vytažení jedné kuličky, přičemž kuličku do pytlíku nevracíme. Určete pravděpodobnost, že v druhém tahu vytáhneme bílou kuličku.

15. Řešení Litschmannová, Statistika I – cvičení, Teorie pravděpodobnosti, př. 3.5

16. Podmíněná pravděpodobnost,pravděpodobnost průniku jevů Pravděpodobnost průniku jevů:

17. Nezávislé jevy Pokud jev A nezávisí na jevu B, pak: a proto:

18. Pravděpodobnost sjednocení jevů A, B

19. Disjunktní (neslučitelné) jevy

20. Příklady Litschmannová, Statistika I – cvičení, Teorie pravděpodobnosti -3.1, 3.2, 3.5, 3.6, 3.7

21. Narozeninový problém(Richard von Mises, 1939) Kolik lidí se musí nacházet v místnosti, aby, ignorujíc 29. únor, dva z nich měli narozeniny ve stejný den roku s pravděpodobností alespoň 50%?

22. Geometrická pravděpodobnost V rovině (případně na přímce nebo v prostoru) je dána určitá oblast Ω a v ní další uzavřená oblast A. Pravděpodobnost jevu A, který spočívá v tom, že náhodně zvolený bod v oblasti Ω leží i v oblasti A je: , kde |A|, |Ω| jsou míry oblastí A a Ω

23. Jaká je pravděpodobnost toho, že součet dvou náhodně zvolených kladných čísel, z nichž žádné není větší než jedna, bude nejvýše roven jedné a jejich součin nebude větší než 2/9 ?

24. Příklady Litschmannová, Statistika I – cvičení, Teorie pravděpodobnosti -3.3, 3.4

25. Opakované závislé jevy, tj. Hypergeometrická náhodná veličina Nechť je dán soubor N prvků, z nichž M má určitou vlastnost a (N - M) nikoliv. Vybereme postupně n prvků, z nichž žádný nevracíme. Pravděpodobnost, že mezi n vybranými bude k takových, že mají sledovanou vlastnost, vypočteme podle vzorce:

26. Příklady Litschmannová, Statistika I – cvičení, Teorie pravděpodobnosti - 3.8

27. Věta o úplné pravděpodobnosti 

28. Věta o úplné pravděpodobnosti 

29. Bayesův teorém 

30. Příklady Litschmannová, Statistika I – cvičení, Teorie pravděpodobnosti 3.9, 3.10, 3.11, 3.12, 3.13