Graphen

1. Graphen Ein Graph ist eine Kollektion von Knoten und Kanten. Knoten sind einfache Objekte. Sie haben Namen und können Träger von Werten, Eigenschaften etc. sein. Kanten sind Verbindungen zwischen Knoten

2. Definition und Beispiele • Mathematisch ist ein Graph G eine zweistellige Relation auf einer beliebigen Menge V. Jede beliebige Teilmenge G ⊆ V x V ist ein Graph. Ein Graph ist Menge von Paaren der Form (v,w) mit v є V und w є V.

3. V= Menge aller Flughäfen in Deutschland G= {(x,y) є V x V | Es gibt einen Direktflug zwischen x und y}. Sei G ⊆ V x V. Die Elemente von V sind die Knoten des Graphen. Sie können als Kreise dargestellt werden. Die Elemente (x,y) є G sind die Kanten. Sie können als Pfeil von x nach y dargestellt werden: Beispiele A

4. Ein Graph

5. Symetrischer Graph Ist G⊆ V x V ist symmetrisch, dann ist der Graph ungerichtet. Bei einem solchen Graphen gehört zu jedem Pfeil von x nach y auch ein Pfeil von y nach x: A A ↹ ↹

6. Gewichteter Graph • Bewerteter Graph • Jeder Kante ist ein Wert zu geordnet • Dieser Wert kann ganzzahlig oder reel sein

7. Wege und Zusammenhang • Ein Weg(Pfad) in einem Graphen ist eine Folge x=Ka,Kb,….Kn=y von Knoten, in der es jeweils Kanten von Ka nach Kb usw. Bis Kn gibt. Man spricht von einem Weg von x nach y. Auf einem einfachen Weg kommt kein Knoten doppelt vor.

8. Zyklus • Ein einfacher Weg von x nach x heißt Zyklus. Bsp:B,C,A,D,A Weg von B nach A Zyklus A,D,A C,A,B,E einfacher Weg) F,F,F,G (kein einfacher)Weg A,B,C,A Zyklus A,B,E,A kein Weg, kein Zyklus

9. Graph oder Baum? • G heißt zusammenhängend, wenn es zwischen zwei Knoten einen Weg gibt. • Ist G nicht zusammenhängend, so zerfällt er in eine Vereinigung zusammenhängender Komponenten. • Ein zusammenhängender, zyklusfreier Graph ist ein Baum.

10. Teilgraph Ist G auf V ein zusammenhängender, zyklusfreier Graph und R ein zyklenfreier zusammenhängender Teilgraph von G auf V, dann ist R ein Spannbaum(erzeugender baum). Jeder zusammenhängende Graph besitzt einen erzeugenden Baum.

11. Graph und Spannbaum Solange es einen Zylus gibt, entferne eine Kante aus diesem Zyklus.

12. Repräsentationen von GraphenAdjazenzmatrix(speicheraufwendig) boolesche Matrix boolean [] [] Graph;

13. Repräsentationen von Graphen2 • Ein Beispiel aus dem Bereich der Verkehrsnetze

14. Speicherung als Array • Einträge sind keine boolesche Werte sondern, Bewertungen der Kanten

15. Graphendarstellung (weniger Speicheraufwendige Methode) • Zu jeden Knoten ist eine Liste zu definieren, in der die unmittelbaren Nachbarn samt ihrer Entfernungen enthalten sind.

16. Eine Alternative: -spart Platz -im gegensatz zu Adjazenzmatrix kein direkter Zugriff auf den Wért einer Kante möglich

17. Tranversierungen • Viele Algorithmen auf Graphen beruhen darauf, dass man alle Knoten(bzw. alle Kanten) des Graphen durchwandert (traversiert). • Entspricht der Baumwanderung • Es besteht die Gefahr, in die Endlosschleife zu geraten, wenn der Graph Zyklen hat.

18. Strategien zur Traversierung • Tiefensuche(Preorder-Baumtraversierung) Dieser Allgorithmus besucht alle Knoten, die von einem Ausgangsknoten k aus erreichbar sind, und markiert jeweils die besuchten Knoten. Zu Beginn müssen alle Markierungen gelöscht werden.Dept-Fist-Visit • Breitensuche(Levelorder-Baumtraversierung) Es wird eine Warteschlange als Hilfsspeicher benötigt.

19. Transitive Hülle • Eine tweistellige Relation R auf einer Menge V ist transitiv, falls gilt: ∏x,y,z єV: (x,y) єR und (y,z) є R→(y,z) є R Die transitive Hülle t(R) einer zweistelligen Relation R auf V ist die kleinste transitive Relation. Es gibt einen Weg von x nach y genau dann, wenn es eine Kante von x nach y gibt.

20. Transitive Hülle • Beispiel:

21. Kürzeste Wege • In einem bewerteten Graphen ist kürzester Weg zwischen zwei Knoten u und v minimal, wenn die Summe der zwischenliegenden Kanten minimal ist. • Statt A[x][z] = true setzt man; A[x][z]= min(A[x][y] + A[y][z] Es wird eine Menge S aller Knoten k definiert; für welche die kürzeste Entfernung zu u bereits bekannt ist. dist(u,k) Zu Beginn der Algorithmus gilt: S ={u} In jedem Schritt erweitert der Algorithmus die Menge S um ein neues Element. es muss gelten: vєS