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Magnitudes escalares. Repaso de conceptos. Magnitudes escalares La observación de un fenómeno es, en general, incompleta a menos que dé lugar a una información cuantitativa. Para obtener dicha información, se requiere la medición de una propiedad física.
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Repaso de conceptos Magnitudes escalares La observación de un fenómeno es, en general, incompleta a menos que dé lugar a una información cuantitativa. Para obtener dicha información, se requiere la medición de una propiedad física. La medición es la técnica por medio de la cual asignamos un número a una propiedad física, como resultado de una comparación de dicha propiedad con otra tomada como patrón, la cual se ha adoptado como unidad.
Repaso de conceptos Magnitudes escalares Supongamos una habitación cuyo suelo está cubierto de baldosas, tal como se ve en la figura. Tomando una baldosa como unidad y contando el número de baldosas medimos la superficie de la habitación: 30 baldosas.
Repaso de conceptos Magnitudes escalares Si se cambia el tipo de baldosa de la habitación por otra de mayor tamaño, la medida de la misma superficie proporciona una cantidad diferente de baldosas: 15 baldosas. La medida de una misma magnitud física (una superficie) da lugar a dos cantidades distintas debido a que se han empleado distintas unidades de medida.
Magnitudes escalares El Sistema Métrico Decimal Este sistema de medidas se estableció en Francia (1889) con el fin de solventar los dos grandes inconvenientes que presentaban las antiguas medidas: • Unidades con el mismo nombre variaban de una provincia a otra. Las subdivisiones de las diferentes medidas no eran decimales, lo cual representaba grandes complicaciones para el cálculo. Milla, carro… 2. Se trataba de crear un sistema simple y único de medidas que pudiese reproducirse con exactitud en cualquier momento y en cualquier lugar, con medios disponibles para cualquiera.
Magnitudes escalares Unidades básicas Unidad de longitud: El metro (m)es la longitud de trayecto recorrido en el vacío por la luz durante un tiempo de 1/299.792.458 segundo. Se toma esta referencia porque se conoce que la velocidad de la luz es una constante universal. Unidad de masa: El kilogramo (kg) es igual a la masa del prototipo internacional del kilogramo. Unidad de tiempo: El segundo (s) es la duración de 9.192.631.770 periodos de la radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de cesio 133. En este caso, se sabe que el periodo de radiación de este elemento es muy estable.
Magnitudes escalares Unidad de cantidad de sustancia: El mol (mol) es la cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantas entidades elementales como átomos hay en 0,012 kilogramos de carbono 12. Es decir: 6,023·1023 Cuando se emplee el mol, deben especificarse las unidades elementales, que pueden ser átomos, moléculas, iones, electrones u otras partículas o grupos especificados de tales partículas. 1 mol de átomos = 6,023·1023 átomos 1 mol de moléculas = 6,023·1023 moléculas … NA = 6,023·1023 es el número de Avogadro
Magnitudes escalares Unidades básicas (Sistema Internacional):
Magnitudes escalares Unidades derivadas (Sistema Internacional):
Magnitudes escalares Unidades derivadas especiales (Sistema Internacional):
Magnitudes escalares En ocasiones conviene utilizar prefijos para que las magnitudes no sean excesivamente grandes o pequeñas. Múltiplos y submúltiplos decimales: Ejemplo: 1.000 m = 1·103 m = 1 km 1.000.000 Pa = 1·106 Pa = 1 MPa
Magnitudes Vectoriales A las magnitudes vectoriales no se las puede determinar completamente mediante un número real y una unidad de medida. Por ejemplo, para dar la velocidad de un móvil en un punto del espacio, además de su intensidad se debe indicar la dirección del movimiento (dada por la recta tangente a la trayectoria en cada punto) y el sentido de movimiento en esa dirección (dado por las dos posibles orientaciones de la recta). Al igual que con la velocidad ocurre con las fuerzas: sus efectos dependen no sólo de la intensidad sino también de las direcciones y sentidos en que actúan.
Magnitudes Vectoriales Para representarlas hay que tomar segmentos orientados, o sea, segmentos de recta cada uno de ellos determinado entre dos puntos extremos dados en un cierto orden. Se llama vector a todo segmento orientado. El primero de los puntos que lo determinan se llama origen y el segundo extremo del vector. La recta que contiene al vector determina la dirección del mismo y la orientación sobre la recta, definida por el origen y el extremo del vector, determina su sentido. Se denomina módulo de un vector a la longitud del segmento orientado que lo define. El módulo de un vector es siempre un número positivo. Será representado mediante la letra sin negrita o como vector entre barras: mód v = v = |v|.
Magnitudes Vectoriales Dos vectores son iguales (llamados equipolentes por algunos autores) cuando tienen el mismo módulo, la misma dirección y sentido. Dos vectores opuestos (de igual módulo y dirección pero de sentidos opuestos) tienen sus componentes iguales en valor absoluto pero de signos contrarios. Dos vectores perpendiculares si el ángulo que forman entre ellos es de 90º.
Magnitudes Vectoriales Representación de un vector Una dimensión: Para ubicar un objeto cualquiera ya sea que esté en reposo o en movimiento rectilíneo, por lo general utilizamos como referencia un punto fijo sobre la recta. Dos dimensiones: Para ubicar un cuerpo en reposo en un plano o describiendo una trayectoria plana, nos basta con dar su distancia a dos rectas fijas del plano (perpendiculares entre sí para mayor facilidad en los cálculos) que tomamos como referencia. Tres dimensiones: De la misma forma, todo punto del espacio queda determinado unívocamente mediante su distancia a tres rectas fijas respectivamente perpendiculares entre sí. A este sistema de referencia lo denominamos sistema de coordenadas cartesianas ortogonales de origen O y ejes x, y, z.
Sistema de coordenadas cartesianas ortogonales P1 (x1, y1, z1) y P2 (x2, y2, z2) son respectivamente el origen y el extremo del vector a. Se denominan componentes del vector a (entre P1 y P2)respecto del sistema (O; x, y, z) a las proyecciones de a sobre los ejes, o sea: En general, pondremos a (a1, a2, a3) para indicar que a1, a2 y a3 son las componentes del vector a.
Sistema de coordenadas cartesianas ortogonales Los vectores y los resultados de las operaciones entre ellos tienen un significado intrínseco, independiente de cualquier sistema de coordenadas que por conveniencia se haya introducido en el espacio. Esta es la propiedad esencial del cálculo vectorial y lo que lo transforma en una herramienta tan potente. Dado que el vector es la diagonal del paralelepípedo de la figura, cuyas aristas son a1, a2 y a3, el módulo del vector a es:
Suma y resta de vectores Para sumar dos vectores a y b se procede de la siguiente manera: a partir del extremo de a se lleva el vector b; el vector cuyo origen es el origen de a y cuyo extremo es el extremo de b, es el vector suma a + b: Al mismo resultado se llega tomando a y b con el mismo origen y definiendo la suma como la diagonal del paralelogramo construido sobre a y b, que pasa por el origen, tal como se muestra en la figura:
Suma y resta de vectores Dado que la suma de dos vectores a y b es otro vector c, las componentes del vector resultante se obtienen mediante la suma de las componentes correspondientes: Suma De esta definición se deduce que la suma de vectores es conmutativa: a + b = b + a.
Suma y resta de vectores El vector opuesto al vector v(v1, v2, v3) se representa por –v; tiene el mismo módulo y dirección que v pero sentido contrario. Sus componentes son -v1, -v2, -v3. Es inmediato entonces que la diferencia u – v de dos vectores es igual a la suma del vector u y del vector –v, opuesto a v. Por lo tanto las componentes del vector diferencia u – v son las diferencias de las componentes, o sea:
Suma y resta de vectores Analíticamente, el vector suma es el que tiene por componentes las sumas de las componentes respectivas: La adición de vectores cumple las propiedades conmutativa y asociativa en forma similar a la adición ordinaria entre números reales. Producto por un escalar Los vectores pueden ser multiplicados por una magnitud escalar. Se denomina producto λa del vector a por el escalar λ, al vector que tiene i) el módulo igual al producto del módulo de a por el valor absoluto de λ; ii) la misma dirección que a; iii) el mismo sentido que a si λ es positivo y sentido opuesto si λ es negativo. Las componentes del vector λa son, por lo tanto:
Producto por un escalar Vectores directores (vectores unidad) Dado que a es el módulo del vector a (a= |a|), en el caso en que λ = 1/a, el vector a/a será un vector de módulo unidad y de la misma dirección y sentido que a. A los vectores de módulo unidad se los denomina vectores unidad.
Producto escalar de vectores Hay dos formas de multiplicar vectores entre sí: escalar o vectorialmente. Se denomina producto escalar de dos vectores a y b al escalar obtenido como producto de los módulos de los vectores por el coseno del ángulo que forman. Indicaremos el producto escalar con un punto, de forma tal que será siendo θ el ángulo formado por los dos vectores. Como consecuencia de la definición se obtiene que: i) el producto escalar es conmutativo: a·b = b·a ii) la condición necesaria y suficiente para que dos vectores sean perpendiculares (formen entre sí un ángulo de 90°) es que su producto escalar sea nulo (pues cos90° = 0). iii) mediante las componentes de los vectores a, b, el producto escalar entre ellos se expresa como:
Producto vectorial de vectores • Supongamos al espacio orientado o sea, que se ha fijado un triedro fundamental de referencia formado por tres ejes coordenados (O; x, y, z). • Se llama producto vectorial o externo de dos vectores a y b al vector c que • tiene: • el módulo es igual al producto de los módulos de a y b por el seno del ángulo que forman; • ii) la dirección perpendicular al plano determinado por las direcciones de los vectores a, b; • c) el sentido tal que el triedro formado por los vectores a, b, c tenga la misma orientación que el espacio. Indicaremos al producto vectorial mediante una cruz (×) o con un ángulo (^), o sea: a ^ b = c ó a × b = c
Producto vectorial de vectores Si en vez de a ^ b = c se tiene b ^ a, el módulo y dirección del vector producto no cambian; pero el sentido deberá ahora ser tal que el triedro b, a, c tenga la orientación del fundamental x, y, z; por lo tanto el nuevo vector producto c deberá tener sentido contrario al anterior: a ^ b = - b ^ a O sea, el producto vectorial es anticonmutativo. Siendo λ un escalar, se verifica que: λ (a ^ b) = λa ^ b = a ^ λb El producto vectorial tiene la propiedad distributiva, o sea: (a + b) ^ c = a ^ c + b ^ c
Vectores directores (vectores unidad) Sea (O; x, y, z) un sistema de coordenadas ortogonales (figura ). Sobre cada uno de los ejes, y con su sentido coincidente con el sentido positivo de aquellos, se han superpuestos los vectores unidad i, j, k. Sus componentes son: Esta descomposición de un vector como suma de tres vectores en la dirección de los ejes coordenados es muy importante y útil. Se denomina descomposición canónica de un vector.
Componentes del producto vectorial Sean dos vectores expresados en forma canónica, mediante los versores i, j, k del triedro fundamental: a = a1i + a2j + a3k y b = b1i + b2j + b3k Aplicando la propiedad distributiva del producto vectorial entre ellos, tendremos: a ^ b = (a1i + a2j + a3k) ^ (b1i + b2j + b3k) = = (a2b3 – a3b2) i + (a3b1 – a1b3) j + (a1b2 – a2b1) k
Definiciones ESPACIO ABSOLUTO Es necesario aceptar como hipótesis básica de la mecánica newtoniana que el espacio es absoluto, homogéneo e isótropo, constituyendo así el marco fijo donde tienen lugar todos los fenómenos. En este espacio absoluto newtoniano las medidas también tienen carácter absoluto. Independientemente de su estado de movimiento, dos observadores distintos miden la misma distancia entre dos puntos A y B del espacio. TIEMPO ABSOLUTO El tiempo es absoluto en cuanto que también tiene una existencia propia independiente del observador. Transcurre de la misma forma en todo el espacio, independientemente de la medida que de él hagamos.
Definiciones SISTEMAS DE REFERENCIA Queremos describir el movimiento real de una onda en función de sus cambios de posición en intervalos de tiempo conocidos. Es decir, debemos saber dónde está y en qué instante. Para ello hay que referir la posición del objeto a algo que esté en reposo. Ese "algo" es lo que llamaremos sistema de referencia y, consideraremos que está fijo o que tiene un movimiento conocido. REPOSO Y MOVIMIENTO Diremos que un algo está en reposo con respecto a un determinado sistema de referencia cuando sus coordenadas en ese sistema de referencia no son funciones del tiempo. En caso contrario diremos que está en movimiento.
Definiciones COORDENADAS Coordenadas de un sistema físico son el conjunto de parámetros necesario para determinar, en cada instante, la posición en el espacio de todas las partes que componen el sistema. Por ejemplo, si el sistema es una parícula y su movimiento lo estamos refiriendo a un sistema de referencia cartesiano, necesitaremos tres parámetros (x(t),y(t),z(t)) para tener determinada su posición en cada instante. Estos parámetros son longitudes en este caso, pero no necesariamente siempre. Si utilizásemos un sistema de referencia en coordenadas esféricas, los tres parámetros serían una longitud y dos ángulos.
Descripción del movimiento ECUACIONES PARAMÉTRICAS DEL MOVIMIENTO La posición de una partícula material en el espacio, en función del tiempo, se puede conocer si se conocen sus coordenadas, x(t), y(t), z(t), en un determinado sistema de referencia. Estas tres funciones son las ecuaciones paramétricas del movimiento x = x(t), y = y(t), z = z(t)
Descripción del movimiento VECTOR DE POSICIÓN Vector con origen en el origen de coordenadas y componentes las ecuaciones paramétricas:
Descripción del movimiento VECTOR DESPLAZAMIENTO Se llama vector desplazamiento entre dos posiciones de la partícula, consecutivas en el tiempo, a un vector con origen en la primera posición y extremo en la segunda:
Descripción del movimiento VECTOR VELOCIDAD Derivando con respecto al tiempo la ecuación y teniendo en cuenta que los versores del sistema de referencia no varían con el tiempo para un observador situado en el mismo sistema, el vector velocidad es VECTOR ACELERACIÓN La aceleración instantánea de la partícula material se define como la derivada del vector velocidad con respecto al tiempo y su expresión es
Descripción del movimiento ONDAS DE SONIDO En la práctica las ondas de sonido son ondas longitudinales que se desplazan en una única dirección. Por lo tanto, solo necesitaremos una coordenada paramétrica para describir su movimiento: x(t). Por ejemplo: Presión en función del tiempo: P(t)
Potencias Las potencias de exponente natural son productos de factores iguales: • Las potencias así definidas tienen las siguientes propiedades: • Producto de potencias de la misma base: • Cociente de potencias de la misma base: • Potencia de un producto: • Potencia de un cociente: • Potencia de una potencia:
Potencias Las potencias de exponente cero y de exponente entero negativo se definen de forma que se cumplan estas propiedades: Lo mismo pasa con las potencias de exponente fraccionario. Por ejemplo, para que se cumpla la última propiedad debe verificarse: y por consiguiente a1/2 debe ser un número que elevado al cuadrado sea igual a a. En general:
Raíces La raíz enésima de un número a es un número cuya potencia enésima es a: Puesto que las raíces pueden considerarse potencias de exponente fraccionario, sus propiedades son similares a las de las potencias: • Raíz de un producto: • Raíz de un cociente: • Raíz de una potencia: • Raíz de una Raíz :
Si en una ecuación ax = N se desea despejar la base de la potencia, a, puede hacerse mediante la raíz enésima a = N1/x. Pero la raíz no permite despejar el exponente de la potencia, x. Para ello es necesaria otra función: el logaritmo. Se llama logaritmo en la base a del número N al exponente que hay que poner a a para obtener N. Este número se simboliza mediante loga N. Así: Logaritmos De la definición de logaritmo se deducen las siguientes propiedades de simplificación:
Logaritmos • Los logaritmos tienen las siguientes propiedades: • No existe el logaritmo de los números negativos • El logaritmo de 1 es igual a cero en cualquier base • El logaritmo del producto de dos números es igual a la suma de sus logaritmos: • loga(xy) = loga x + loga y • El logaritmo del cociente de dos números es igual a la diferencia de sus logaritmos: • loga(x/y) = loga x - loga y
Logaritmos El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base: El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido por el índice de la raíz : Conocidos los logaritmos en una base a, pueden calcularse en cualquier otra base b mediante la siguiente fórmula: Los logaritmos en la base e le llaman logaritmos neperianos y se representan mediante el signo ln. En función de estos logaritmos, la fórmula del cambio de base se escribe: Con ayuda de los logaritmos, cualquier potencia puede escribirse en la base que queramos. En particular, puede escribirse como potencia de base e:
Medida de ángulos Un ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas con origen común. A las semirrectas se las llama lados y al origen común vértice. El ángulo es positivo si se desplaza en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj y negativo en caso contrario. REGLA DE LA MANO DERECHA – SACACORCHOS.
Medida de ángulos Para medir ángulos se utilizan las siguientes unidades: Grado sexagesimal (°) Si se divide la circunferencia en 360 partes iguales, el ángulo central correspondiente a cada una de sus partes es un ángulo de un grado (1°) sexagesimal. Un grado tiene 60 minutos (') y un minuto tiene 60 segundos ('').
