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Funciones Reales de Varias variables

UPC. UNIVERSIDAD PERUANA DE CIENCIAS APLICADAS. Funciones Reales de Varias variables. Tema:. Funciones reales de dos variables. Sea D contenido en RxR. Una función f:D R (x,y) z=f(x,y)

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Funciones Reales de Varias variables

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Presentation Transcript

  1. UPC UNIVERSIDAD PERUANA DE CIENCIAS APLICADAS Funciones Reales de Varias variables Tema:

  2. Funciones reales de dos variables Sea D contenido en RxR. Una función f:D R (x,y) z=f(x,y) es una correspondencia que asocia cada par (x,y) un único número real denotado por z=f(x,y)

  3. Curvas de Nivel: Son aquellas curvas que se generan al hacer z= k, cte real DOMINIO: Conjunto de pares (x;y) para El cual tiene sentido la regla que define a f. Gráfica de una función: Gf = {(x,y,z)/ z = f(x,y), (x,y) D}

  4. DERIVADA PARCIAL RESPECTO X Z Y X

  5. Ejemplo: Si Entonces:

  6. Otras notaciones z = f(x,y)

  7. Reglas de cálculo: u=f(x,y) v=g(x,y)

  8. Ejemplo: hallar fx y fy si ,

  9. Derivadas parciales de segundo orden

  10. Derivadas parciales de segundo orden

  11. Ejemplo hallar Si

  12. Teorema de Clairaut Sea z = f(x,y) una función real de dos variables. Si fxy y fyx son continuas en una región D, entonces fxy = fyx en D .

  13. DERIVADAS DIRECCIONALES z y x

  14. Definición: La derivada direccional de f en la dirección dada por el vector unitario u si el límite existe.

  15. Teorema: Si f tiene sus primeras derivadas parciales continuas entonces tiene derivada direccional en la dirección de cualquier vector unitario u y:

  16. Hallar la derivada direccional de f(x,y)=x2-xy+y en la dirección del vector v=(1,2)

  17. z y x GRADIENTE

  18. Ñ Derivada Direccional en término s del

  19. Teorema a) El valor máximo de Du f(x0,y0) se alcanza en la dirección f(x0,y0). b) La tasa máxima de crecimiento es || f (x0,y0 ) ||.

  20. Corolario a) El valor mínimo de Du f(x0,y0) se alcanza en la dirección de - f(x0,y0) b) La tasa mínima de crecimiento de f en P(x0,y0) es -||f (x0,y0) ||.

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