Zastosowanie współczesnych metod numerycznych w projektowaniu implantów

1. Zastosowanie współczesnych metod numerycznych w projektowaniu implantów TOMASZ WALCZAK, BOGDAN MARUSZEWSKI, ROMAN JANKOWSKI Instytut Mechaniki Stosowanej, Politechnika Poznańska, Katedra Neurochirurgii i Neurotraumatologii, Uniwersytet w Poznaniu

2. Choroba zwyrodnieniowa kręgosłupa • Dotyczy każdego człowieka już po 18 roku życia • Spowodowana jest często nieprawidłowa konformacją kręgosłupa

3. Prowadzi do nieprawidłowego rozkładu obciążeń i naprężeń • Prowadzi do degeneracji stawów oraz dysków międzykręgowych

4. Dysk zdrowy • Dysk stary

5. Dysk częściowo zdegenerowany • Dysk całkowicie zdegenerowany

6. W konsekwencji prowadzi do wypadania dysków – dyskopatii • Utraty stabilności kręgosłupa • Ucisk na rdzeń kręgowy • Dolegliwości bólowe • Niedokrwienie mózgu • Paraliż

7. Leczenie operacyjne dyskopatii • Operacyjne usunięcie dysku międzykręgowego • Wstawienie implantu ze stopów tytanu, włókien węglowych, PEEK • Odzyskanie stabilności kręgosłupa • Zmniejszenie ruchliwości

8. Implanty

9. Proteza Bryana – sztuczny dysk

12. Dlaczego projektować nowe implanty? • 92% przypadków prezentuje radiologiczne cechy przeciążenia sąsiednich jednostek ruchowych, co nie zawsze ma związek z pogorszeniem stanu klinicznego. Z badań eksperymentalnych wynika, że segmenty sąsiadujące z usztywnionymi jednostkami ruchowymi narażone są na przeciążenie i zwiększoną ruchomość. • Również obserwacje kliniczne wskazują na rozwój zmian zwyrodnieniowych w sąsiednich jednostkach ruchowych u 25 – 50% chorych po 10 latach. Od 6 do 19% z tych chorych wymagało ponownej operacji szyjnego odcinka kręgosłupa.

13. Dlaczego projektować nowe implanty? • Ogromne koszty najprostszych implantów • Brak indywidualizacji problemu • Brak konkurencji w Polsce • Wciąż brak idealnych materiałów

14. Stosowane metody obliczeniowe • Metoda Elementów Skończonych (MES) • Najpopularniejsza • Łatwo dostępna • Brak alternatyw

15. F. Galbusera et al. / Medical Engineering & Physics 30 (2008) 1127–1133

16. Wady metody MES • Duże nakłady finansowe • Bardzo duża złożoność obliczeniowa • Duże nakłady czasowe

17. Metoda rozwiązań podstawowych • Stosowana od lat 50 XX wieku • Stosowana do rozwiązywania każdego równania różniczkowego, którego znamy rozwiązania podstawowe • Bezsiatkowa • Do znalezienia rozwiązania wystarcza zdefiniować warunki brzegowe w punktach kolokacji oraz zbiór punktów na zewnątrz badanego obszaru – tzw. punktów źródłowych

18. Punkty kolokacji Punkty źródłowe (z) Badany obszar (x) • Rozwiązanie podstawowe : U=U(x,z) pewna funkcja spełniająca równanie rządzące w obszarze • Rozwiązanie zagadnienia definiujemy jako kombinację liniową rozwiązań • podstawowych • Współczynniki tej kombinacji wyznaczamy w taki sposób aby rozwiązanie spełniało warunki brzegowe w zadanych punktach kolokacji

19. Równania rządzące • Na gruncie liniowej teorii sprężystości dla jednorodnego ciała o stałych parametrach materiałowych w trójwymiarowym obszarze Ω równania Cauchyego-Naviera dla przemieszczeń u1, u2, u3 maja postać:

20. warunki brzegowe zdefiniowanymi na ∂Ω postaci: • gdzie ∂Ω jest brzegiem obszaru Ω a operator Bi dla i=1,2,3 określa warunek brzegowy Dirichleta, Neumanna lub Robina.

21. Definiując odkształcenie eij jako: naprężenia możemy otrzymać z prawa Hooka: i za ich pomocą wyrazić oddziaływujące siły ti w postaci: w powyższych wzorach stałe Lamego λ i μ określone są zależnościami: gdzie E jest modułem sprężystości a ν współczynnikiem Poissona.

22. Dla ulokowanego na zewnątrz badanego obszaru punktu źródłowego Z działającego na punkt rozwiązania podstawowe układu równań Cauchyego-Naviera mają postać:

23. Rozwiązanie (poszukiwane przemieszczenia) otrzymujemy jako kombinację liniową rozwiązań podstawowych postaci: Gdzie 3N wymiarowy wektor Z zawiera współrzędne punktów źródłowych Zj natomiast N wymiarowe wektory a, b, c zawierają niewiadome współczynniki. Po rozwiązaniu powyższego układu równań liniowych z 3N niewiadomymi współczynnikami możemy wyznaczyć zgodnie z powyższymi wzorami naprężenia, przemieszczenia oraz odkształcenia w dowolnym punkcie rozważanego obszaru.

24. Zalety metody • Prostota implementacji • Możliwość kontroli błędów rozwiązania na poziomie algebry liniowej • Możliwość szacowania dokładności rozwiązania na podstawie spełniania warunków brzegowych • Możliwość poprawy jakości rozwiązań poprzez odpowiednią regulację położeń punktów kolokacji i punktów źródłowych • Mnogość zagadnień jakie można efektywnie rozwiązać za pomocą tej metody

25. Wciąż nie ma na rynku dostępnego systemu stosującego metodę rozwiązań podstawowych do rozwiązywania różnych zagadnień inżynierskich!!!

26. Dziękuję za uwagę