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UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COLOMBIA

UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COLOMBIA. FACULTAD DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS NATURALES Y EXACTAS SECCION DE FISICA ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO LUIS FELIPE MILLAN BUITRAGO. Campo eléctrico y Ley de Gauss.

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  1. UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COLOMBIA FACULTAD DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS NATURALES Y EXACTAS SECCION DE FISICA ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO LUIS FELIPE MILLAN BUITRAGO U. AUTONOMA DE COLOMBIA

  2. Campo eléctrico y Ley de Gauss U. AUTONOMA DE COLOMBIA

  3. 2.1 Introducción 2.2 Objetivo general 2.3 Objetivos especifico 2.4 Campo gravitacional 2.5 Líneas del campo gravitacional 2.6 Campo eléctrico 2.7 Superposición de campos 2.8 Dipolo eléctrico 2.9 Líneas de campo eléctrico Unidad II U. AUTONOMA DE COLOMBIA

  4. 2.10 Movimiento de partículas cargadas en un campo eléctrico uniforme 2.11 Distribución continua de masa 2.12 Distribución continua de carga 2.13 Flujo eléctrico 2.14 Ley Gauss 2.15 Auto-evaluación 2.16 Solucionarlo U. AUTONOMA DE COLOMBIA

  5. Después introduciremos la ley de Gauss y las ventajas que proporciona su empleo. Esta ley facilita en muchos casos el calculo de campos eléctricos, las situaciones que pueden analizarse directamente utilizando la ley de Gauss es pequeña pero que pueden realizarse con extraordinaria facilidad, en particular, simplifica mucho el calculo de los campos eléctricos cuando hay simetría en la distribución de carga. Es justo decir que si la ley de Coulomb constituye el “caballo de batalla” de la electrostática, la ley de Gauss proporciona “perspicacia”. De igual modo que el sol influye sobre los planetas no obstante de estar a millones de kilómetros, una carga puede ejercer una fuerza sobre otra, aun cuando estén separadas por una gran distancia. En este capitulo presentaremos y desarrollaremos el concepto del campo eléctrico para una distribución continúa o discreta de cargas en reposo, aprenderemos algunos modos en que nos puede ser útil evaluar el campo eléctrico, así como la utilización de las líneas de campo para su representación.. 2.1 Introducción U. AUTONOMA DE COLOMBIA

  6. Proporcionar al estudiante los elementos fundamentales que estructuran y parametrizan conceptualmente la intensidad del campo eléctrico y la determinación de dicho campo generado por una distribución continua o discreta de cargas, así como, la aplicación de la ley de Gauss para relacionar el flujo eléctrico con la carga neta de un conjunto de cargas puntuales. 2.2 Objetivo general U. AUTONOMA DE COLOMBIA

  7. Proporcionar al alumno los principios teóricos que relacionan el concepto de campo eléctrico con el de líneas de fuerza para sistemas de carga sencillos y así poder obtener información respecto a la dirección e intensidad del mismo a partir del diagrama trazado. Proyectar la aplicación temática al estudio del movimiento de cargas en campos eléctricos como en el caso de los tubos de rayos catódicos. 2.3 Objetivos específicos U. AUTONOMA DE COLOMBIA

  8. ^ FMm = -GM m/ r2r r ^ FM = -GM m/ r2 r La masa tiene una propiedad muy importante y es modificar el espacio que la rodea formando un campo, el campo gravitacional. Consideremos que la masa que engendra el campo es (M), si colocamos un cuerpo de prueba de masa (m) dentro de ese campo a una distancia r de sus centros se genera una fuerza de carácter gravitacional. 2.4 Campo gravitacional U. AUTONOMA DE COLOMBIA

  9. ^ r g = -Fg/m (N/Kg) = - GM / r2r La fuerza gravitacional en la unidad de masa (m) nos da el valor de la intensidad del campo gravitacional a esadistancia r de su centro. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

  10. ^ ^ g = -G M / r2r = -9.8 m/s2r Calcule la intensidad del campo gravitacional en la superficie de la tierra, si el radio medio de la tierra r es 6.37*106 m, la masa de la tierra M es 5.98*1024 Kg. y G (constante de Cavendish) 6.67*10-11 N*m2/Kg2. Ejemplo 2.1 U. AUTONOMA DE COLOMBIA

  11. El campo gravitacional es radial, dirigido hacia el centro, en todas direcciones e intenso cerca de la superficie, ya que la líneas de campo están mas cerca. 2.5 Líneas del campo gravitacional U. AUTONOMA DE COLOMBIA

  12. FQQ r + + Q Q ^ FQQ = KQQ / r2r La materia en su estado natural es eléctricamente neutra, si se desequilibra la carga, la materia obtiene defecto o exceso de electrones. Esa carga neta diferente de cero modifica el espacio que la rodea engendrando un campo de carácter eléctrico E. Si la carga puntual u objeto cargadoque genera el campo es Q positiva y la carga que colocamos dentro del campo es Q a una distancia r de sus centros,entonces, se produce una fuerza de carácter eléctrico. 2.6 Campo eléctrico U. AUTONOMA DE COLOMBIA

  13. r EQ + Q ^ EQ=FQQ / Q (N/C) = KQ/r2r La fuerza eléctrica en la unidad de cargaQnos da el valor de la intensidad del campo eléctrico generado por la carga puntual Qu objeto cargadoa una distancia r de su centro. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

  14. r FQQ + + Q Q ^ FQQ = KQQ / r2r Se tiene una carga puntual Q positiva que engendra un campo eléctrico E, se coloca otra carga puntual Q positivau objeto cargadodentro de ese campoa una distancia r de sus centros y así evaluaremos la fuerza electrostática. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

  15. r EQ + Q ^ EQ=FQQ / Q (N/C) = KQ/r2r La fuerza eléctrica en la unidad de carga Q nos da el valor de la intensidad del campo eléctrico generado por la carga puntual Qu objeto cargadoa una distancia r de su centro. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

  16. ^ Er = K Q / r2r (N/C) E+ r r E- ^ Er = K Q / r2r (N/C) Campo eléctrico de repulsión generado por una carga puntual u objeto cargadoQ positiva a una distancia r. actúa en dirección radial + Campo eléctrico de atracción generado por una carga puntual u objeto cargadoQ negativa a una distancia r. - actúa en dirección radial U. AUTONOMA DE COLOMBIA

  17. ^ Er = K Q / r2r ^ Er = 5.13*1011r N/C El átomo de hidrogeno en su configuración normal, no excitada, tiene un electrón que gira alrededor de un protón a un distancia r = 5.3*10-11 m. ¿Cual es el campo eléctrico debido al protón en la posición del electrón? Ejemplo 2.2 K = 9*109 (N m/C2) Q = +1.6*10-19 C r = 5.3*10-11 m U. AUTONOMA DE COLOMBIA

  18. ^ r= rx + ry i E= Ex + Ey Y E= 11.25*103(Ö3/2 + 1/2 )N/C E= (KQ/r2)(Ö3/2 + 1/2 ) E= E (cosq + senq ) SEy SEy E= E cosq + E senq ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ j j j j j j i i i i i E SEx SEx r X UnacargaQ de +5 mC se encuentra en el origen de coordenadas. Encuentre la magnitud del vector campo eléctrico en el punto(1, Ö3) m El vector posición es: La magnitud del vector r es: r = (12+Ö32)1/2 = 2 m Ejemplo 2.6.1 El ánguloque forma el vector posicion con la horizontal es: Artan q = (Ö3/1) = 60o El vector campo eléctrico es: El campo eléctrico es de repulsion. Por tanto estadirigido hacia fuera. Las componentes rectangulares del vector campo eléctrico son: (1, Ö3) m q La magnitud del vector campo eléctrico es: E = 15.37*103 N/C q + U. AUTONOMA DE COLOMBIA

  19. Z Ez E Ex ^ ^ ^ ^ E= E u ^ ^ ^ E= E Cosai + E Cosb j + E Cosgk Ey rz E= Exi + Eyj + Ezk ^ ^ ^ E= E (Cosai + Cosb j + Cosgk ) ^ ^ ^ E = 849.06(5/Ö53 i + Ö3/Ö53 j + 5/Ö53 k) N/C r rx X ^ ^ ^ E = 583.14 i + 202 j + 583.14 k) N/C ry Y Una carga Q = +5 mC se encuentra en el origen, Encuentre la magnitud del vector campo eléctrico en el punto (5, Ö3, 5) m (5, Ö3, 5) m r = (52 + Ö3 + 52)1/2 = 53 m Ejemplo 2.6.2 La distancia de la carga al punto es: ¿POR QUE? El campo electrico es de repulsion y las componenetes del vector campo eléctrico son: El vector campo eléctrico ¿Que significado tiene la ecuacion? La direccion del vector campo eléctrico es: • = Arcos(5/Ö53) = 46.62o b = Arcos(Ö3/Ö53) = 76.24o La magnitud del vector campo eléctrico es: E = KQ/r2 = 849.06 N/C g = Arcos(5/Ö53) = 46.62o + El vector campo eléctrico es: U. AUTONOMA DE COLOMBIA

  20. ET = E1 + E2 +...+ Ei+.....+ En ^ ^ ^ ^ ET=K(q1/r12r1 + q2/r22 r2 +......+qi ri2 ri+.......+ qn/rn2 rn) ^ ET=K å qi / ri2 r Ya que el principio de superposición lineal es valido para la ley de Coulomb, también es valido para el campo eléctrico. Para calcular la intensidad del campo eléctrico en un punto producido por una serie de n cargas. puntuales la resultante es la suma vectorial de cada uno de los campos individuales. 2.7 Superposición de campos eléctricos U. AUTONOMA DE COLOMBIA

  21. E1 E1 + E2 E1 + E2 + E3 * + Q1 E2 - Q2 E3 Q3 - En la figura dibujar el campo eléctrico resultante en el punto(*) debido a una carga Q1 positiva y dos cargas negativas Q2 y Q3. Ejemplo 2.3 U. AUTONOMA DE COLOMBIA

  22. y r2 - Q2 (-1,3) r1 + Q1(2,1) x Se tiene una carga Q1 positiva en el punto (x1,y1)y una carga Q2 negativaen el punto (-x2,y2). a) ¿Cual es la magnitud y la dirección del campo en el punto (x,y)? b) Si Q1 = +2 mC y esta en (2,1) m, Q2 = -4 mC yestaen (-1,3) m. ¿Cual es la magnitud y la dirección del campo en el punto (5,5) m? Ejemplo.2.4 r2={(x2 - x)2+(y2 -y)2}½ = 2Ö10 m r1={(x1 -x)2+(y1 -y)2}½ = Ö25 m = 5 m U. AUTONOMA DE COLOMBIA

  23. E1y y E2x E1x E2y - Q2 (-1,3) + Q1(2,1) x q a Dibujamos la dirección de los campos. Trazamos un marco de referencia x,y en el punto donde se va a evaluar el campo eléctrico. Dibujamos las componentes del campo eléctrico en el eje x y en el eje y. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

  24. y r2 - Q2 (-1,3) r1 + Q1(2,1) x Cosq = (x-x1) / r1 = (5-2) / 5 = 3 / 5Senq = (y-y1 ) / r1 = (5-1) / 5 = 4 / 5 Cosa=(x-(-x2)) / r2 = (5-(-1)) / Ö40= 6 / 2Ö10=3/ Ö10Sena=(y-y2 ) / r2 = (5-3) / Ö40= 2 /2Ö10 =1/ Ö10 a q U. AUTONOMA DE COLOMBIA

  25. E1y E2x E1x E2y - Q2 (-1,3) + Q1(2,1) q a U. AUTONOMA DE COLOMBIA

  26. E1y E2x E1x E2y ^ ^ åEx= (E1x -E2x) = (E1 Cosq - E2 Cosa)åEy = (E1y -E2y) = (E1 Senq - E2 Sena) i i ^ ^ j j q a Ahora sumamos campos en sus respectivas componentes. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

  27. ^ åEx = K(Q1 Cosq / r12- Q2 Cosa / r22)i åEy = K(Q1 Senq / r12 - Q2 Sena / r22) j ^ ^ ^ E =(-421.8 i + 291.4 j) åEx= 9*109 (2*10-6 * (3/5)/25 – 4*10-6 * (3/Ö10)/40) åEx= -421.8 N/C åEy= 9*109 (2*10-6 * (4/5)/25 – 4*10-6 * (1/Ö10)/40) åEy= 291.4 N/C E= Ö(åEx2+åEy2) E= ((-421.8)2 + 291.42)½ = 512.67 N/C La magnitud del campo es: Dirección del campo l = Artan (åEy / åEx)= -34.64°=145.36° U. AUTONOMA DE COLOMBIA

  28. ^ Y ^ j å Ey = ((E+y)-(E-y)) = 0 E+y E+ å Ex = ((E-x)+(E+x)) i a E-x + E+y X a r r y E- E-y a a + - 2a Trazamos el marco referencia X,Y en el punto donde vamos a evaluar el campo. Descomponemos los vectores campo eléctricos en sus componentes x,y Un dipolo consta de dos cargas de igual magnitud pero de signos contrarios separadas una distancia d = 2a. Si las cargas son +5 mC y -5 mC respectivamente, la separación entre la cargas es de 20 cm y el punto de la bisectriz es de 50 cm. Encontrar el campo eléctrico en el punto sobre la bisectriz. 2.8 Dipolo eléctrico Dibujamos la dirección de los campos r = Ö(y2+a2) = 0.51 cm Cosa = a/r = a/(y2+a2) Sena = y/r U. AUTONOMA DE COLOMBIA

  29. ^ åEx = K (Q Cosa / r2+ Q Cosa / r2)i åEx = 2 (K Q Cosa / r2) i ^ ^ åEx = 2(K Q a / (y2 + a2)3/2) i ^ E = K(Q2a) / ((y2 + a2)3/2) i ^ Ex = 67886.35 i N/C P = Q2a = momento dipolar eléctrico U. AUTONOMA DE COLOMBIA

  30. q3 - f r3 E3 E2 E1 r2 r1 f f q1 q2 + 2L + Se tienen tres cargas de igual magnitud q que forman un triángulo equilátero de lado 2L. Si q1 es positiva y esta en el punto (0,0), q2 es positiva y se encuentra en (2L , 0) m y q3 es negativa y esta en (L , LÖ3) m. Encuentre a) La magnitud y la dirección del campo eléctrico en el centro del triángulo. b) Si q = 2mC y L = 50 cm Cual es la magnitud y la dirección del campo eléctrico en el centro del triángulo. r1 = r2 = r3 = r Cosf = L / r r = L / (Cosf) r = L / (Ö3/2) r = 2 L / Ö3 Ejemplo.2.5 U. AUTONOMA DE COLOMBIA

  31. Y q3 - ^ SEy= (E1y + E2x+E3) j E3 E2 E2y E1 E1y f f X E1x E2x ^ SEx= (E1x - E2x) = 0 i q1 q2 + + r1 = r2 = r3 = r Cosf = L / r r = L / (Cosf) r = L / (Ö3/2) r = 2 L / Ö3 U. AUTONOMA DE COLOMBIA

  32. Y q3 - E3 E2 E2y E1 E1y a a X E1x E2x ^ S Ex=K(q1 /r2 Cosa -q2 /r2 Cosa) = 0 i q1 q2 + + ^ ^ ^ ^ ^ S Ey=K (q/r2 Sena + q/ r2 Sena +q/r2) Ey =(3/2)Kq/L2 j = 1.08*105j N/C j SEy= (3/4)(Kq/L2) (1/2 + 1/2 +1)j = (3/2)(Kq/L2) j r = 2L / Ö3 l = ArTan(SEy / SEx) =Artan (SEy / 0) = p/ 2 U. AUTONOMA DE COLOMBIA

  33. E2 + r1 + r q2 q1 r2 r2 r E1=E2 r1 E1 ^ ^ E1 = 81.0i N/C E2 = -81.00 i N/C Se tienen dos cargas positivas de 4*10-9 C y 1*10-9 C, separadas una distancia r de 1 m. ¿En que punto diferente del infinito a lo largo de la recta que une sus centros el campo neto es cero? ¿Cual es la magnitud y la dirección del campo? Ejemplo.2.6 Siq1 >q2 q1 / r12=q2 /(r -r1)2 Öq1 / r1 =Öq2 /(r -r1) rÖq1 =r1 Öq2 +r1Öq1 r=r1 +r2 r Öq1 -r1 Öq1=r1 Öq2 q1 /r12=q2 /r22 r1 =rÖq1 /(Öq2 +Öq1) = 0.67 m r2 = r-r1 = 0.33 m Kq1 /r12= Kq2 /r22 U. AUTONOMA DE COLOMBIA

  34. Siq1 <q2 E2 r2 r + - q1 q2 r2 r1 r E1 r1 E1=E2 ^ ^ E1 = -36.i N/C E2 = 36i N/C Se tiene una carga positiva de 1*10-9 C y otra negativa de –9*10-9 C separadas una distancia de 1 m. ¿En que punto a lo largo de la recta que une sus centros diferente del infinito el campo neto es cero? ¿Cual es la magnitud y la dirección del campo? Ejemplo.2.7 r2=r1+r=1.5 m Kq1 /r12=Kq2 /r22 rÖq1 =r1 Öq2-r1 Öq1 Öq1/r1 =Öq2/(r+r1) r1 =rÖq1 /(Öq2-Öq1) = 0.5 m q1 /r12=q2 /r22 q1 /r12=q2/(r+r1)2 r Öq1 +r1 Öq1=r1 Öq2 U. AUTONOMA DE COLOMBIA

  35. ^ E=(-10 +20 )*104 N/C i ^ j Se coloca dentro de un campo eléctrico E una esfera de cargaqymasam,suspendida de una cuerda delongitudly masa despreciable, cuando esta en equilibrio forma un ánguloqcon la vertical. a) ¿Cual es la carga de la partícula? ¿Cual es la tensión en la cuerda? b) Si la masa de la esfera es de 1gr, el ángulo es 30° con la vertical cuando esta en equilibrio y el campo es: Ejemplo.2.8 U. AUTONOMA DE COLOMBIA

  36. E=-Ex +Ey Y ^ ^ j i F Fy T q l l Ty Fx Tx X m,q m,q W q U. AUTONOMA DE COLOMBIA

  37. ^ ^ å Fx = (TSenq -Fx) i= (TSenq - Ex q) i = 0 åFy = (TCosq+ Fy -W) = (TCosq+Ey q -W) = 0 ^ ^ j j 1)TSenq=Ex q 2) TCosq= W- Ey q q= mg Tanq / (Ey Tanq+Ex) = 26.26 nC = 26.26*10-9 C mg Tanq=q(EyTanq+Ex) W Tanq–Ey qTanq=Ex q WTanq=Ey qTanq+Ex q Dividimos 1 en 2 Þ Tanq=Ex q/ (W- Ey q) T =Ex q/Senq=5.252N U. AUTONOMA DE COLOMBIA

  38. La intensidad del campo es proporcional a la densidad de las líneas, esto es, el campo es proporcional al numero de líneas que pasan a través de un área normal a la dirección del campo N = E · A Miguel Faraday, en 1840 introdujo el uso de las líneas de campo, creía que eran reales y las dotó de propiedades elásticas, casi se pueden “sentir” las líneas, jalando las cargas para que se junten o empujándolas para que se aparten. Aun cuando desde el punto de vista moderno las líneas de campo no son reales, ayudan a visualizar el campo que si es real. 2.9 Líneas de campo eléctrico Las líneas de campo también proporcionan información sobre la intensidad del campo. Las líneas de campo están mas juntas donde el campo es intenso y mas separadas donde es débil. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

  39. 4) La intensidad del campo es proporcional a la densidad de líneas de campo, es decir, al numero de líneas por unidad de área. N = E · A Propiedades de las líneas del campo electrostático 2) El numero de líneas que se originan o terminan en una carga es proporcional a la carga. N µ Q 3) La dirección del campo en un punto es la dirección de la tangente a la línea de campo. 1) Las líneas de campo electroestático siempre parten de las cargas positivas y terminan en las cargas negativas. 5) Las líneas de campo nunca se cruzan. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

  40. Las líneas de campo son radiales salen de la carga en todas direcciones. Líneas de campo de una carga positiva. + U. AUTONOMA DE COLOMBIA

  41. Las líneas de campo llegan a la carga de todas direcciones. Líneas de campo de una carga negativa. - U. AUTONOMA DE COLOMBIA

  42. +++++++++++ ----------- Líneas de campo en unas placas planas y paralelas Se puede considerar uniforme el campo dentro de las placas,ya que la líneas de camposonparalelas. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

  43. E+ E E- Las líneas de campo salen de la carga positiva hacia la negativa o hacia el infinito El campo eléctrico es tangente a la línea de campo. + - U. AUTONOMA DE COLOMBIA

  44. + + Líneas de campo de dos cargas positiva U. AUTONOMA DE COLOMBIA

  45. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

  46. + + + + + + + + + + y VO - - - - - - - - - - x Se lanza un electrón con una velocidad inicialen la dirección del eje equidistante de las placas. ¿En que punto de las placas sale el electrón? Entre dos placas planas y paralelas con cargas iguales y de signos opuestos existe un campo eléctrico E uniforme dirigido verticalmente hacia abajo, separadas una distancia y y de longitud x. 2.10 Movimiento de partículas cargadas en un campo eléctrico uniforme U. AUTONOMA DE COLOMBIA

  47. ComoF=m a. y F=EqÞ a=E(q / m) y(t) = voy t + ½(E-)(-q)/m t2 ^ ^ r = x i + y j vy = voy +{(E-)(q-)/m}t ^ ^ v = vox+vy j i El movimiento en el eje X es uniforme, ya que no hay componente horizontal del campo. La distancia que recorre el electrón a lo largo del eje X. x = vo t Þ t = x / vo Para este tiempo la distancia vertical que recorre el electrón, con movimiento uniforme acelerado. y(t) = ½(Eq/m)(x/vo)2 La posición del electrón al salir de las placas vy =(Eq /m) t La velocidad vertical al salir de las placas es La velocidad horizontal es constante vo =vX La velocidad del electrón al salir de las placas La dirección al salir de las placas F = Artan (vy / vx) U. AUTONOMA DE COLOMBIA

  48. + + + + + + + + + + y S vO - - - - - - - - - - x L Entre dos placas planas y paralelas con cargas iguales y de signos opuestos existe un campo eléctrico E uniforme de 1600 N/C dirigido verticalmente hacia abajo, separadas una distancia de 2 cm y de longitud de 4 cm. Se lanza un electrón con una velocidad inicialv0 = 6*106 m/s en la dirección del eje equidistante de las placas. ¿En que punto de la pantalla incide el electrón? a una distancia L de 6 cm de las placas se encuentra una pantalla s Ejemplo 2.9 U. AUTONOMA DE COLOMBIA

  49. + + + + + + + + + + ^ ^ r = (4 i + 0.9 j) cm y - - - - - - - - - - x Para este tiempo la distancia vertical que recorre el electrón, con movimiento uniforme acelerado. y(t) = ½(Eq/m)(x/vo )2 = 0.90 cm La posición del electrón al salir de las placas El tiempo para la distancia horizontal recorrida es: x = vo t Þ t = x / vo = 8 ns = 8*10-9 s U. AUTONOMA DE COLOMBIA

  50. ^ ^ h v = (5 i + 2.25 j )*106 m/s voy + + + + + + + + + + y S L vox - - - - - - - - - - x L La velocidad del electrón al salir de las placas es: La velocidad vertical al salir de las placas es vy =(Eq /m) t = 2.25*106 m/s La velocidad horizontal es constante La dirección al salir de las placas F = Artan (vy / vx) = 24.23° El electrón pega en la pantalla S h = L * tan F = 2.7 cm F U. AUTONOMA DE COLOMBIA

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