S3 Teor a de L neas de Espera

1. S3 � Teor�a de L�neas de Espera Ing. en Sistemas Computacionales Paul Ram�rez De la Cruz 08 feb 2007

2. 08 feb 2007 Teor�a de L�neas de Espera 2 Contenido Introducci�n Ejemplo Referencias

3. 08 feb 2007 Teor�a de L�neas de Espera 3 Introducci�n Las colas (l�neas de espera) est�n presentes en muchas de las ocasiones en que requerimos de que se nos preste un servicio El tiempo que las personas pasan en una fila puede llegar a ser excesivo y ocasionar p�rdidas por la inactividad a causa de la espera La teor�a de colas se aplica a otras �reas en donde quienes esperan servicio no son �nicamente personas, sino actividades productivas, m�quinas, equipo, etc

4. 08 feb 2007 Teor�a de L�neas de Espera 4 Ejemplo La sala de urgencias del Hospital General atiende a los pacientes que llegan en ambulancia o en veh�culo particular Las urgencias son atendidas por un m�dico Como los pacientes tienden a usar m�s este servicio que a asistir a una cl�nica privada, se ha observado que en horas pico (temprano por la tarde) las personas que llegan tienen que esperar turno para ser atendidos Se desea examinar la conveniencia de asignar un m�dico m�s durante las horas pico

5. 08 feb 2007 Teor�a de L�neas de Espera 5 Estructura b�sica de los modelos de colas Los clientes que requieren un servicio se generan a lo largo del tiempo en una fuente de entrada Estos clientes entran al sistema y con ellos se forma una cola En determinado momento, se selecciona un miembro de la cola para darle servicio, mediante alguna regla conocida como disciplina de cola Se proporciona al cliente seleccionado el servicio mediante el mecanismo del mismo El cliente servido sale del sistema

6. 08 feb 2007 Teor�a de L�neas de Espera 6 Fuente de entrada Su principal caracter�stica es su tama�o, es decir, el n�mero total de clientes que podr�a solicitar servicio. A estos se les llama poblaci�n de entrada La poblaci�n de entrada puede ser finita o infinita Generalmente, la suposici�n de que la poblaci�n es infinita facilita algunos c�lculos Se requiere tener en cuenta el patr�n estad�stico mediante el cual se generan los clientes en el tiempo

7. 08 feb 2007 Teor�a de L�neas de Espera 7 Fuente de entrada La suposici�n usual es que esto ocurre mediante un proceso Poisson, es decir, el n�mero de clientes que llega hasta un determinado momento tiene una distribuci�n Poisson Esta suposici�n corresponde con la situaci�n en que las llegadas ocurren de manera aleatoria, pero con una tasa media fija y sin importar cu�ntos clientes ya est�n ah� (lo cual equivale a suponer que el tama�o de la fuente de entrada es infinito) Un supuesto equivalente es que los tiempos de llegada entre los clientes se distribuyen de manera exponencial Al tiempo que transcurre entre dos llegadas consecutivas se le llama tiempo entre llegadas Tambi�n debe especificarse cualquier supuesto inusual sobre el comportamiento de los clientes, por ejemplo, si se puede perder clientes cuando la fila es muy larga

8. 08 feb 2007 Teor�a de L�neas de Espera 8 Cola Es el lugar donde los clientes esperan antes de recibir el servicio Puede ser de longitud finita o infinita, generalmente se supone esto �ltimo

9. 08 feb 2007 Teor�a de L�neas de Espera 9 Disciplina de cola Se refiere al m�todo por el cual se selecciona un cliente de la fila para darle servicio Primero en entrar, primero en salir (first in, first out; FIFO) �ltimo en entrar, primero en salir (last in, first out; LIFO) Por jerarqu�a o prioridad Aleatorio

10. 08 feb 2007 Teor�a de L�neas de Espera 10 Mecanismo de servicio Consiste de una o m�s estaciones de servicio, con uno o m�s canales de servicio paralelos, llamados servidores Si existe m�s de una estaci�n de servicio el cliente puede recibir el servicio en secuencia o en serie Al tiempo transcurrido desde el inicio hasta el final de la atenci�n del cliente se le llama tiempo de servicio Un modelo de colas debe especificar la distribuci�n de probabilidad de los tiempos de servicio de cada servidor Usualmente se supone que son del mismo tipo que las llegadas de los clientes

11. 08 feb 2007 Teor�a de L�neas de Espera 11 Medidas importantes en el an�lsis de l�neas de espera El n�mero promedio de clientes en el sistema o en la fila El tiempo promedio invertido en la cola, o en el sistema La distribuci�n estad�stica de los tiempos de llegada y de servicio La probabilidad de que la fila est� llena o vac�a La probabilidad de que la fila se encuentre en cierto estado (con cierta cantidad de clientes)

12. 08 feb 2007 Teor�a de L�neas de Espera 12 Notaci�n La notaci�n utilizada para describir las caracter�sticas de un sistema de colas es la propuesta por David G. Kendall, a mediados del s. XX: A/B/c A = Distribuci�n de los tiempos de llegada B = Distribuci�n de los tiempos de servicio s = N�mero de servidores Los valores comunes para A y B son: D = Distribuci�n degenerada (constante) M = Distribuci�n Markoviana (exponencial) G = Distribuci�n de tipo general (i.e. cualquier otra) Ejemplo Un sistema M / M / 1 indica un sistema con tiempos de llegada Markovianos (exponenciales) que tiene un �nico servidor Es el modelo de fila m�s simple

13. 08 feb 2007 Teor�a de L�neas de Espera 13 Terminolog�a Estado del sistema = N�mero de clientes en el sistema Longitud de la cola = N�mero de clientes que espera servicio = Estado del sistema � N�mero de clientes que est� siendo servido N(t) = N�mero de clientes en el sistema al tiempo t = 0

14. 08 feb 2007 Teor�a de L�neas de Espera 14 Terminolog�a Pn(t) = Probabilidad de que haya n clientes en el sistema al tiempo t, dado el n�mero en el tiempo 0 ?n = Tasa media de llegadas (n�mero esperado de llegadas por unidad de tiempo) de nuevos clientes cuando hay n clientes en el sistema Si esta tasa es la misma para todo n, entonces se le llama simplemente ? ?n = Tasa media de servicio de todos los servidores por unidad de tiempo. Representa la tasa combinada a la que los servidores ocupados logran terminar sus servicios Cuando esta tasa es constante para todo valor de n, entonces se le llama ?

15. 08 feb 2007 Teor�a de L�neas de Espera 15 Terminolog�a Cuando las tasas de llegada y servicio son constantes para todo valor de n, entonces los tiempos promedio de llegada y de servicio son, respectivamente, 1/? y 1/? ? = ?/s? es la �tasa de tr�fico�. Es una medida de �qu� tan ocupados� est�n los servidores. En particular, cuando hay un solo servidor, ? = ?/? Si ? = 1, la longitud de la fila crece sin control

16. 08 feb 2007 Teor�a de L�neas de Espera 16 Applets C�lculo de medidas de una filahttp://bradley.bradley.edu/~rf/wait.htm Simulaci�n de un sistema M/M/1http://www.uni-koblenz.de/~gi/java/MM1.en.html

17. 08 feb 2007 Teor�a de L�neas de Espera 17 La distribuci�n exponencial Se dice que la variable aleatoria (v.a.) X sigue la distribuci�n exponencial con par�metro ?>0 si su funci�n de densidad de probabilidad y funci�n de distribuci�n son El valor esperado y la varianza de una v.a. exponencial son

18. 08 feb 2007 Teor�a de L�neas de Espera 18 Ejemplo El gerente de un nuevo restaurante observa que, en promedio, los clientes llegan a restaurantes similares al suyo a una tasa de uno cada 35 minutos. Si los tiempos de llegada se distribuyen exponencialmente, calcule la probabilidad de observar que el tiempo entre llegadas sucesivas de clientes sea: De menos de 2 minutos De m�s de dos minutos De entre 2 y 3 minutos

19. 08 feb 2007 Teor�a de L�neas de Espera 19 Supuestos b�sicos de l�neas de espera con tiempos de llegada exponencial Axioma 1. Dado el n�mero de eventos (llegadas) durante el intervalo (0,t), al cual denotamos por N(t), el proceso de probabilidad que describe a N(t) tiene incrementos independientes estacionarios, en el sentido de que l probabilidad de un evento que ocurre en el intervalo (t, t+s) depende solamente de la longitud de s Axioma 2. La probabilidad de que un evento ocurra en un intervalo de tiempo suficientemente peque�o, h > 0, es positiva, pero menor que 1 Axioma 3. En un intervalo de tiempo suficientemente peque�o, h > 0, como mucho puede ocurrir un evento, es decir, P(N(h) > 1) = 0

20. 08 feb 2007 Teor�a de L�neas de Espera 20 Modelos de nacimiento puros Se refiere a un tipo simplificado de l�nea de espera en donde solamente se permite la llegada de clientes, pero no su salida Creaci�n de actas de nacimiento para beb�s que nacieron recientemente Cuando los tiempos entre llegadas se distribuyen de manera exponencial con par�metro ?, el n�mero de llegadas en un intervalo de tiempo t se distribuye Poisson con par�metro ?t:

21. 08 feb 2007 Teor�a de L�neas de Espera 21 Referencias Hillier, Frederick S. & Lieberman, Gerald. Introducci�n a la investigaci�n de operaciones. McGraw-Hill Interamericana. M�xico 2006 Taha, Hamdy A. Investigaci�n de operaciones. Una introducci�n. 6� edici�n. Prentice Hall. M�xico 1998 Willig, Andreas. A Short Introduction to Queueing Theory. Technical University Berlin, Telecommunication Networks Group. Berlin, Alemania. Julio 21, 1999. http://www.tkn.tu-berlin.de/curricula/ws0203/ue-kn/qt.pdf consultado el 08 feb 2007