Intervalos de confianza bootstrap métodos percentil

1. Intervalos de confianza bootstrapmétodos percentil Programa de doctorado Estadística, Anàlisi de dades i Bioestadística Métodos de Montecarlo y Estadística computacional Departament d’Estadística Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques

2. El método percentil. Definición • Situación de partida: q parámetro de interés, su estimador “plug-in”, estimador bootstrap de la distribución de • IC percentil bootstrap de q, con recubrimiento nominal 1 – a: • En la práctica se suele aproximar mediante donde corresponde al percentil muestral p obtenido a partir de B réplicas bootstrap: Intervalos de confianza percentil bootstrap

3. Motivación método percentil (i) • Sea estimador de la desviación estándar de • Recordemos: si entonces es IC “estándar” con recubrimiento 1 – a, aproximadamente • Extremos del IC estándar equivalentes a percentiles a/2 y 1 – a/2 de la distribución de Intervalos de confianza percentil bootstrap

4. Motivación método percentil (ii) • Si cierto en general también a su vez bien emulada por la estima bootstrap de la distribución de • Es decir: • Pero ¿y si no normal? (p.e. q = r, coef. de correlación): ¿existe transformación normalizadora y estabilizadora de varianza? Intervalos de confianza percentil bootstrap

5. Motivación método percentil (y iii) • Si existe g, monótona creciente, tal que • En escala f, intervalo percentil  estándar • Monotonicidad de g en escala q = g-1(f), IC percentil (¡obtenido directamente, sin conocer g!) aproximadamente correcto Intervalos de confianza percentil bootstrap

6. En resumen: • Esquemáticamente: donde es la distribución bootstrap de y F es la función de distribución N(0,1) • Por lo tanto, en estas condiciones define IC g-1 Intervalos de confianza percentil bootstrap

7. Modelo para el sesgo y la heteroscedasticidad • Supongamos que existe una transformación g, normalizadora, pero que no corrige el sesgo ni estabiliza la varianza, en concreto sea Intervalos de confianza percentil bootstrap

8. Construcción de los IC BCa. Intervalo en la escala normal Intervalos de confianza percentil bootstrap

9. Construcción de los IC Bca. Intervalo en la escala normal Intervalos de confianza percentil bootstrap

10. Construcción de los IC Bca. Intervalo en la escala original • Por lo tanto, el intervalo en la escala q: tendrá extremos de la forma: Intervalos de confianza percentil bootstrap

11. Estima de la corrección del sesgo z0 • Falta determinar el valor del parámetro de corrección del sesgo, z0, y de la “constante de aceleración”, a • Estima de z0: • En efecto: Intervalos de confianza percentil bootstrap

12. Estima de la constante de aceleración • Efron, para funcionales • Ui es la función empírica de influencia asociada al dato i: • Alternativamente, aproximación jackknife: Intervalos de confianza percentil bootstrap

13. Resumen de intervalos percentil • IC percentil: • Validez:  transformación normalizante, centrada y estabilizadora de varianza (no necesario conocerla) • Definición: • IC percentil corregido para el sesgo, acelerado (BCa): • Validez:  transformación normalizante (no necesario conocerla) • Definición: • Si sesgo pero homoscedasticidad a = 0: intervalo “corregido para el sesgo”: BC Intervalos de confianza percentil bootstrap