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3.3 多维随机变量及其分布 一、多维随机变量及其联合分布函数

3.3 多维随机变量及其分布 一、多维随机变量及其联合分布函数 定义 1 ： 如果 是概率空间 上的 n 个随机变量，那么称向量（ ）为 n 维随机变量或 n 维随机向量。 定义 2 ： 对 ，称 为 n 维随机变量 的联合分布函数。. 【 注 】 为方便，我们重点讨论二维随机变量. 此时，. 有. y. （ x ， y ）. ●. 由上述得： F(x,y ）是二维随机变量 落入图中阴影部分的概率。. x.

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3.3 多维随机变量及其分布 一、多维随机变量及其联合分布函数

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  1. 3.3 多维随机变量及其分布 一、多维随机变量及其联合分布函数 定义1：如果 是概率空间 上的n个随机变量，那么称向量（ ）为n维随机变量或n维随机向量。 定义2：对 ，称 为n维随机变量 的联合分布函数。 【注】为方便，我们重点讨论二维随机变量 此时， 有

  2. y （x，y） ● 由上述得：F(x,y）是二维随机变量 落入图中阴影部分的概率。 x

  3. 显见： 落入任一矩形 内的概率： · · · ·

  4. 的联合分布函数F(x,y) 具有如下的基本性质： • F（x，y）对每个变元是非降的； • F（x，y）对每个变元左连续； • F（-∞，y）＝0，F（x，-∞）＝0,F(-∞, +∞ ）=1 定理1：二维随机变量 【注】

  5. 定理2：n维随机变量 的联合分布函数 具有如下性质： 对每个变量是非降的； 对每个变量是左连续的； 对任意的实数 ，

  6. 二、二维连续型随机变量 定义：如果二维R.V. 的联合分布函数 F（x，y），存在非负可积函数p（x，y），使得 那么，称F（x，y）是连续型联合分布函数，并称 是二维连续型R.V。 此时，也称p（x，y）为 的概率密度函数。

  7. 的联合密度函数p(x,y)具有如下性质： p(x,y) ≥0 在p(x,y)的连续点(x,y)处有 G是平面上某一区域，则

  8. F(x,y)的边际分布函数 边际分布

  9. p(x,y)的边际p.d.f

  10. 假设 三、常用的二维连续型分布 1.均匀分布 设 是一平面区域，其面积为 ，向 内随机地投一点， 表示投点的坐标，由几何概型知：对任一区域 ,有 显然： p(x,y)是随机变量 服从区域 上的均匀分布

  11. 注： 可以把二维区域 上的 均匀分布推广到n维区 域上的均匀分布

  12. 【解】 【注】1. 上的二元 均匀分布可推广 到m维区域上的均 匀分布。 2. 可推广 到n次矩形体上的 多元均匀分布。 【例1】设 ，求边际分布

  13. 附：

  14. 2.二元正态分布 （1）二元正态分布定义

  15. （2）二元正态密度的性质

  16. 【例1】 两个边际分布都是正态的，但它们的联合分 布可以不是二元正态

  17. 定义： 四、随机变量的独立性 定理1 定理2

  18. 思考题 把定理1和定理2推广到n元的情形 【例2】 【解】

  19. 定理3

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