Ley de Gauss (Karl Friedrich Gauss 1777-1855)

1. Ley de Gauss (Karl Friedrich Gauss 1777-1855) Es muy útil para calcular campos eléctricos de distribuciones de carga altamente simétricas. Flujo: A A

2. Densidad de partículas = r A Pasaron Ardx partículas en un tiempo dt dx Por unidad de tiempo pasaron Arv partículas, donde v es la velocidad de las partículas. Esto es lo que se llama el flujo: F = rvA.

3. . F A’ = rv A’ = r v A cos q = r v A A es un vector perpendicular al área y su módulo es igual al área. Campo de velocidades v. Densidad de partículas = r dx dx v q q A A’= A cos q Flujo de materia.

4. . dF = F da da da da F F F Flujo para un campo vectorial arbitrario. Si F es un vector en un punto del campo y da es un vector representando un elemento de área en ese punto se define el elemento de flujo por: A

5. E da E da q ^ ^ r r r Flujo, a través de una superficie esférica, del campo eléctrico debido a una carga eléctrica q colocada en el centro: ∫ q ∫ . . = 4kep q ke F = E da = da r2

6. Angulo sólido dAR R dAR dAr dW = = r2 R2 dAr q r keq dAr dFr = r2 q keq R2 dAr dFr = dAR = ke dFR = r2 R2 R2

7. dA’ q dAR = dA’cos q dAR q

8. ke q ke q k eq ^ . dA’ cos q dAR = dFR r dA’ = = dFA’= R2 R2 R2 ∫ . F = E da = El flujo a través de cualquier superficie que contenga a la carga q0 es el mismo. q2 q1 q0 ; E = E0 + E1 + E2 4kepq0 + 4kepq1 + 4kepq2

9. ∫ r( r ) dV N N ∑ ∑ qi qi i=1 i=1 ∫ ∫ ∫ r( r ) dV . . E da E da F = 4p distribución continua de cargas ke F = 4p distribución discreta de N cargas. ke 4p ke = Ley de Gauss 4p ke =

10. z E r q q y dEy R p/2 - q dx dq ∞ p/2 cos q l dq ∫ l ∫ l ∫ cos q dq dx ke ke = Ey= ke = R2 r R - ∞ - p/2 2kel Rdq = x r Rdq = dx cos q r = R cos q

11. > > = = ∫ . E da = 4kep l L L Er L 2p r = = 4kep l L 2kel r Er = r r

12. + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + E = 2eo Plano de carga no conductor + + + + + + + + + + + A + E E sA F = 2EA = eo s

13. Dos placas infinitas no conductoras cargadas uniformemente: y s ^ E = E1= 0 j E2 = 0 eo s -s

14. E = sA F = EA = eo eo Conductor muy pequeño + + + + + E d + + + A + + + + + + + + Justo fuera del conductor: Cargas en la superficie. Campo es nulo en el interior. Campo perpendicular a la superficie. Campo es mayor donde la curvatura es mayor. s

15. r r ^ r E = 2eo Aplicación de la ley de Gauss a aislantes cargados: P29 Considere una larga distribución de carga cilíndrica de radio R con densidad de carga uniforme r. Encuentre el campo eléctrico a a una distancia r < R del eje. L R r

16. p r2 L r ∫ ∫ ^ ^ E r da r = E 2p r L E da = = eo ley de Gauss Nota: Hemos elegido una superficie donde E es constante y donde el campo es paralelo al elemento de área. Hemos hecho uso de la simetría del problema.

17. Carga eléctrica distribuida homogéneamente en una esfera de radio R. R

18. r i) Aplicando ley de Gauss:

19. ii) r

21. Cascarón esférico delgado de radio R afuera adentro

22. P53, P55

23. -Q 3Q a c b

24. i) ii) Interior del conductor

25. iii) iv)

26. a c b

27. no conductor cargado homogéneamente conductor descargado

28. i) Campo en r < a luego: ii) Campo en a < r < b iii) Campo en b < r < c interior del conductor

29. iv) Campo en r > c v) Densidad de carga superficial en el interior del conductor luego:

30. vi) Densidad de carga en la superficie exterior del conductor. Puesto que el conductor está descargado la carga total sobre esta superficie es luego:

31. ra Ey = 3eo P60 y Esfera no conductora con una cavidad y cargada uniformemente. r1 No hay campo gravitacional. a r a Campo en la cavidad esférica x 2a Ex = 0

32. La cavidad es representada por dos esferas de cargas opuestas y de densidad r. Queda entonces una esfera completa de radio R= 2a con densidad de carga r y una esfera de radio a con densidad de carga –r. En el punto ; el campo de la esfera de radio R es: y el de la esfera de radio a es:

33. Aplicando el principio de superposición tenemos, para el campo dentro de la cavidad: pero luego,

34. Soltar desde el origen una masa con una carga positiva q.

35. Problema 3 Considere una esfera no conductora de radio 2a, con dos cavidades de radio a en su interior y cargada uniformemente con una densidad de carga r, como se muestra en la figura. Encuentre el campo eléctrico sobre el eje y.

36. Problema 7 Un hilo no conductor de radio 2R y longitud infinita tiene una cavidad paralela a su eje y desplazada una distancia R de su centro. Además se encuentra cargado uniformemente con densidad de carga r. Encuentre el campo en la cavidad y en el punto

37. Solución. Se trata de dos cilindros paralelos: uno de radio 2R centrado en 0 y otro de radio R centrado en +R. El primero tiene densidad de carga uniforme r y el segundo una densidad de carga uniforme –r. En la cavidad: En

38. P67 Una placa infinita de material aislante tiene una densidad de carga positiva uniforme r. y vista de canto Campo en este punto está en la dirección x. Aplicamos Gauss al cilindro A x x x r A x EA = eo r x ^ E = i eo