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Introdução à Probabilidade

Introdução à Probabilidade. A probabilidade é usada sempre que o indivíduo toma decisões em situações de incerteza. A utilização da probabilidade indica a existência de um elemento ao acaso, ou de incerteza, quanto a ocorrência ou não de um evento.

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Introdução à Probabilidade

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Presentation Transcript

  1. Introdução à Probabilidade A probabilidade é usada sempre que o indivíduo toma decisões em situações de incerteza. A utilização da probabilidade indica a existência de um elemento ao acaso, ou de incerteza, quanto a ocorrência ou não de um evento. Uma experiência aleatória é aquela comporta resultados imprevisíveis e mutuamente exclusivos. ESPAÇO AMOSTRAL Conjunto de todos os eventos simples de uma experiência aleatória No lançamento de um dado: S={1,2,3,4,5,6}

  2. MEDIDAS DE PROBABILIDADE Onde: m = número de casos favoráveis ao evento A n = número de casos possíveis

  3. Exemplos: 1 - Jogando-se uma moeda duas vezes, temos os seguintes resultados: CARA-CARA CARA-COROA COROA-CARA COROA-COROA Qual a possibilidade de obtermos cada uma dos seguintes resultados ? - Zero Cara ? - Uma Cara ? - Duas Caras ? 2 - Jogando-se uma moeda três vezes, temos os seguintes resultados: CARA-CARA-CARA COROA-COROA-CARA CARA-CARA-COROA COROA-CARA-COROA CARA-COROA-CARA CARA-COROA-COROA COROA-CARA-CARA COROA-COROA-COROA Qual a possibilidade de obtermos cada uma dos seguintes resultados ? - Zero Cara ? - Uma Cara ? - Duas Caras ? - Três Caras ?

  4. Exemplos: Problema1: Qual a probabilidade de se obter o total 5 (soma =5) na jogada de 2 dados? Solução: Há 36 resultados possíveis, isto é N=36 ou (62) (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) O evento A consiste em obter soma = 5 Há 4 resultados possíveis: (1,4) (2,3) (3,2) (4,1) Então: P(A) = n(A) / N = 4/36 = 1/9

  5. Problema2: Qual a probabilidade de um ÁS na extração de uma carta de um baralho? Solução: Há 52 resultados possíveis, isto é N=52 O evento A consiste em obter um ÁS Há 4 resultados possíveis: ÁS de ouro; ÁS de copa; ÁS de paus; ÁS de espada Então: P(A) = n(A) / N = 4/52 = 1/13

  6. Problema3: Qual a probabilidade de se obter uma bola branca numa urna que contém 5 bolas brancas e 7 bolas pretas? Solução: Há 12 resultados possíveis, isto é N=12 O evento A consiste em obter uma bola branca. Há 5 resultados favoráveis: Então: P(A) = n(A) / N = 5/12

  7. Problema 4: Qual a probabilidade de se obter duas bolas brancas numa urna que contém 5 bolas brancas e 7 bolas pretas?

  8. Solução: Neste caso temos que fazer uma consideração inicial: Se é um experimento com reposição (bola é devolvida à urna após a observação) ou sem reposição (a bola não é devolvida à urna após a observação) Com reposição: Probabilidade da primeira bola ser branca P(B) = n(A) / N = 5/12 Probabilidade da segunda bola ser branca P(B) = n(A) / N = 5/12 Probabilidade das duas serem brancas P(B,B) = (5/12).(5/12) = 25/144 Isto é, probabilidade de se obter bola branca na primeira bola vezes a probabilidade de se obter bola branca na segunda. Sem reposição: Probabilidade da primeira bola ser branca P(B) = n(A) / N = 5/12 Probabilidade da segunda bola ser branca P(B) = n(A) / N = 4/11 Probabilidade das duas serem brancas P(B,B) = (5/12).(4/11) = 20/132

  9. REGRAS BÁSICAS DE PROBABILIDADE • 0 ≤ P(A) ≤ 1 • Regra da adição de probabilidades Caso os eventos sejam mutamente exclusivos: 3. Probabilidade de um evento complementar

  10. Multiplicação de probabilidades e independência estatística Dois eventos são estatisticamente independentes se a ocorrência de um deles não afetar a ocorrência do outro. A probabilidade de obter uma seqüência regula de sucessos pode ser calculada como o produto das probabilidades associadas com os acontecimentos em cada lance.

  11. PROBABILIDADE CONDICIONADA Sejam A e B eventos de um experimento tal que a ocorrência de B influencie a ocorrência de A. Então a probabilidade de A ocorrer dado que B tenha ocorrido (Probabilidade Condicional) é:

  12. Eventos Independentes

  13. Novo Exemplo Vamos ver o ocorre se jogarmos uma moeda 4 vezes ? Probabilidade de p caras Evento p caras Resultados Possíveis C=coroa K=cara 1/16 4/16 6/16 4/16 1/16 0 1 2 3 4 CCCC CCCK CCKC CKCC KCCC CCKK CKCK KCCK KKCC KCKC CKKC KKKC KKCK KCKK CKKK KKKK

  14. n ! C = p n p ! (n - p) ! E para o Lançamento de 5 vezes uma moeda ? Da Análise Combinatória, tem-se que este é um exercício do tipo Combinação de n x p Número de Combinações com p caras Probabilidade de p caras p 0 1 2 3 4 5 5! / ( 0! x 5! ) = 1 5! / ( 1! x 4! ) = 5 5! / ( 2! x 3! ) = 10 5! / ( 3! x 2! ) = 10 5! / ( 4! x 1! ) = 5 5! / ( 5! x 0! ) = 1 1/32 5/32 10/32 10/32 5/32 1/32 2n = 32 1,0 Total

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