1 / 57

LOGIKA (LOGIC)

LOGIKA (LOGIC). TUDÁSREPREZENTÁCIÓ ÉS KÖVETKEZTETÉS. Analógia Hogyan oldunk meg egy problémát hagyományos programozással? Hogyan bírható rá egy számítógép, hogy megoldjon egy intelligenciát igénylő problémát? Melyek a legnehezebb lépések? Mi a tudásreprezentáció?

teryl
Télécharger la présentation

LOGIKA (LOGIC)

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. LOGIKA (LOGIC)

  2. TUDÁSREPREZENTÁCIÓ ÉS KÖVETKEZTETÉS Analógia • Hogyan oldunk meg egy problémát hagyományos programozással? • Hogyan bírható rá egy számítógép, hogy megoldjon egy intelligenciát igénylő problémát? • Melyek a legnehezebb lépések? Mi a tudásreprezentáció? • pótlék (inkább következtetünk, mint tevékenykedünk) • (erős) szemüveg • médium mely • lehetővé teszi a hatékony számítást • az emberi kifejezést • (töredékes) elmélet arról, hogy mit nevezünk intelligens gondolkodásnak

  3. TUDÁSREPREZENTÁCIÓ ÉS KÖVETKEZTETÉS Mit várunk el egy reprezentációs nyelvtől? • kifejező, tömör • egyértelmű • hatékony következtetést enged meg Felhasználási cél is fontos! (pl. osztás arab/római számmal) programozási nyelvek, természetes nyelvek, logika

  4. A LOGIKA, MINT REPREZENTÁCIÓS NYELV LOGIKA ELEMEI • szintaxis • nyelv szimbólumai (kifejezések, amelyekkel bánni tudunk) • hogyan lehet mondatokat formálni • szemantika • a mondatok a világ mely tényeire vonatkoznak • a mondatok jelentése • következtetés • adott szintaxis és szemantika mellett új mondatok származtatása (mechanikus eljárások alkalmazásával)

  5. ÍTÉLETKALKULUS (NULLADRENDŰ LOGIKA)

  6. ÍTÉLETKALKULUS – SZINTAXIS jelkészlet • elválasztó jelek: ( ) • logikai műveleti jelek:  • ítéletváltozók (logikai változók): p, q, r, . . . • ítéletkonstansok: T, F szintaxis szabályai • atomi formula (atom) • minden ítéletkonstans atomi formula • minden ítéletváltozó atomi formula • formula • minden atomi formula egyben formula is • ha A és B formulák, akkor (A), (A  B), (A  B), (A  B), (A  B) kifejezések is formulák a formulaképzés szabálya rekurzív

  7. ÍTÉLETKALKULUS – PÉLDA állítások: A1: Ha süt a nap, akkor Péter strandra megy. A2: Ha Péter strandra megy, akkor úszik. A3: Péternek nincs lehetősége otthon úszni. A4: Ha süt a nap, akkor Péter nem marad otthon. A1, A2, A3 állításokból következik-e A4? atomok (atomi formulák): p: süt a nap q: Péter strandra megy r: Péter úszik s: Péter otthon marad eredeti állítások szerkezetét tükrözi formulák: F1: p  q F2: q  r F3: (s  r) F4: p s

  8. ÍTÉLETKALKULUS – SZEMANTIKA logikai formula (wff): szabályos szimbólumsorozat – igazságértéke ad jelentést (szemantika szabályai szerint) • formula interpretációja • minden ítéletváltozóhoz igaz (T) vagy hamis (F) érték rendelése minden lehetséges módon • interpretált formula kiértékelése • műveleti jelek szemantikája alapján (igazságtáblák)

  9. IMPLIKÁCIÓ p  q Ha a-disznók-repülnek akkor 2=1.  T  F F hamis előtagból bármi következik? Értelmezés lehet: „Ha p igaz, akkor azt állítom, hogy q is igaz, egyébként q-ról nem állítok semmit.” p  q  p  q

  10. FORMULÁK INTERPRETÁCIÓJA Formula: G: (p  q)  (r  s) Lehetséges interpretációk (összesen 24): I1: (p, q, r, s) = (T, T, F, F) I2: (p, q, r, s) = (F, T, T, F) G formula igazságértéke I1 és I2 interpretációban: G(I1) = F G(I2) = T I2 interpretáció kielégíti G formulát, I2modellje G-nek

  11. ALAPVETŐ TULAJDONSÁGOK ÉS RELÁCIÓK Igazság • Egy formula igaz, ha az, amit leír, valóban előfordul a világban. • Egy formula igazsága függ • a világ állapotától, és • az interpretációtól (szemantikától) Érvényes formula (tautológia) • A formula igazsága nem függ sem a világ állapotától, sem a szemantikától. • minden interpretációban igaz, minden modellben benne van • T x Kielégíthetetlen formula • Kielégíthetetlen egy formula, ha a világ soha nem olyan, mint amilyennek leírja. • minden interpretációban hamis, nincs modellje • x F

  12. ALAPVETŐ TULAJDONSÁGOK ÉS RELÁCIÓK Kielégíthető formula • van olyan interpretációja, amelyben igaz az értéke, van modellje Kapcsolat a 3 formulaosztály között: • x érvényes  x kielégíthetetlen • x érvényes  x kielégíthető  Logikai kifejezések modellje • (x  y)  M  x  M és y  M • (x  y)  M  x  M vagy y  M • x  M x  M

  13. FORMULÁK EKVIVALENCIÁJA Két formula ekvivalens, ha minden interpretációban ugyanaz a logikai értékük. Nevezetes ekvivalenciák, logikai törvények: • A  B = (A  B)  (B  A) • A  B = A  B • A  B = B  A kommutatív A  B = B  A • (A  B)  C = A  (B  C) (A  B)  C = A  (B  C) asszociatív • A  (B  C) = (A  B)  (A  C) A  (B  C) = (A  B)  (A  C) disztributív

  14. FORMULÁK EKVIVALENCIÁJA Logikai törvények • A  F = A A  T = A • A  T = T A  F = F • A  A = T A  A = F • (A) = A kettős tagadás • (A  B) = A  B (A  B) = A  B deMorgan • A  (A  B) = A A  (A  B) = A abszorpció, elnyelés A  A = A A  A = A idempotencia

  15. LOGIKAI KÖVETKEZMÉNY A W W formula A formulának logikai következménye, ha W igaz minden olyan interpretációban, amelyben A igaz. MI-ben: A1 , . . . , An W bizonyos formulákról tudjuk, hogy igazak (A1, . . . , An) ha W ezek logikai következménye, W is igaz esetek végignézése nélkül hogy lehet eldönteni?? a  (a  b) b

  16. LOGIKAI KÖVETKEZMÉNY • Logikai következmény fogalmának értelmezése az érvényesség fogalmával: A1 , . . . , An W iff (A1  . . .  An)  W érvényes. • Logikai következmény fogalmának értelmezése a kielégíthetetlenség fogalmával: A1 , . . . , An W iff A1  . . .  An W kielégíthetetlen. Elnevezések: (A1  . . .  An)  W tétel A1  . . .  An tétel axiómái, feltételei W következmény, konklúzió

  17. TÉTELBIZONYÍTÁS IGAZSÁGTÁBLÁVAL F1: p  q F2: q F3: p ?: F1  F2 F3 lehetőségek: • beláthatjuk, hogy minden olyan interpretációban, amelyben F1F2 igaz, igaz F3 is • bebizonyíthatjuk, hogy F1F2F3 érvényes • beláthatjuk, hogy F1F2F3 kielégíthetetlen    a b c

  18. TÉTELBIZONYÍTÁS QUINE ALGORITMUSSAL • a formula egy változójának interpretálása (T, F)  két új formula • eljárás folytatása mindaddig, míg a bináris fa levelein csak igazságértékek találhatók • ha minden levél T, érvényes a formula (((p  q)  r)  (p  q))  (p r) (((p  q)  r)  (p  q))  (p r) ((q  r)  q)  r T r  r T T T p=T p=F q=T q=F r=T r=F

  19. TÉTELBIZONYÍTÁS FORMÁLIS LEVEZETÉSSEL Formula formális levezetése egy axiómahalmazból • axiómahalmaz (egyszerű, érvényes formulák) • levezetési (következtetési) szabályok (érvényes formulákból érvényes formulát hoznak létre) p q Kleen: A  (B  A) (A  (B  C))  ((A  B)  (A  C)) (A  B)  ((A  B)  A) levezetési szabály: modus ponens Modus ponens: A, A  B B A  B A B Ha az A és az A→B formula érvényes, akkor a B formula is érvényes.

  20. LEVEZETÉSI SZABÁLYOK Érvényes kártyák: • mássalhangzó • magánhangzó és páros szám Modus ponens: A  B, A B(K, E) Modus tollens: A  B, B A(7) mássalhangzó  érvényes magánhangzó  páros  érvényes magánhangzó  érvényes  páros

  21. LEVEZETÉSI SZABÁLYOK a  b a, a  b b levezetési szabályok? Helyes következtetés: Def. Ha p q, akkor p q az előállított formula logikai következmény legyen a  b b nem helyes (igazságtáblából) a  b a, modus ponens helyes (igazságtáblából) Teljes következtetés: Def. Ha p q, akkor p q mindent előállítson, ami logikailag következik modus ponens nem teljes a  b a  s b  s s ??

  22. LEVEZETÉSI SZABÁLYOK Rezolúció: a  b a  b c  a c  a c  b c  b a1 ...  am b1 ...  bk c1 ...  cn d1 ...  dlahol dj = ai a1  ...  ai  ...  am  c1  ...  cn b1 ...  bk d1  ...  dj  ...  dl a1 ... am b1 ...  bk c1 ... cn d1 ...  dlahol dj = ai a1 …  ai …  am  c1 ...  cn  b1...  bk d1 ...  dj ...  dl

  23. TÉTELBIZONYÍTÁS REZOLÚCIÓVAL Rezolúciós eljárás: cáfoló eljárás (ellentmondással történő bizonyítás), mellyel egy konjunktív normálforma ill. egy klózhalmaz kielégíthetetlenségét bizonyítjuk. Konjunktív normálforma: speciális részformulák (klózok) konjunkciója klóz: literálok diszjunkciója ill. egy literál literál: egy ítéletváltozó vagy annak negáltja (p  q)  (q  r)  (s  r)  p  s Implikációs normálforma: speciális részformulák (klózok) konjunkciója klóz: implikáció – bal oldalon atomok konjunkciója, jobb oldalon atomok diszjukciója (p  q)  (q  r)  (s  r  F)  (T  p)  (T  s)

  24. TÉTELBIZONYÍTÁS REZOLÚCIÓVAL minden formula átalakítható normálformára Transzformációs szabályok: • A  B = (A  B)  (B  A) ( kiküszöbölése) • A  B = A  B ( kiküszöbölése) • (A  B) = A  B ( hatáskörének redukálása) • (A  B) = A  B ( hatáskörének redukálása) • A = A ( hatáskörének redukálása) • A  (B  C) = (A  B)  (A  C) (klózok konjunkciójának létrehozása) (((p  q)  (q  r)  (s  r))  (p  s)) (((p  q)  (q  r)  (s  r))  (p  s)) b.) ((p  q)  (q  r)  (s  r)  (p  s)) d.) (p  q)  (q  r)  (s  r)  (p  s) c.) e.) (p  q)  (q  r)  (s  r)  p  s c.) d.) e.)

  25. TÉTELBIZONYÍTÁS REZOLÚCIÓVAL klóz alak, klóz halmaz: C1: p  q C2: q  r C3: s  r C4: p C5: s Lássuk be, hogy C1 . . . C5 klózhalmaz kielégíthetetlen indirekt bizonyítás: tfh létezik modellje (minden klóz igaz) C4 igaz, ha p = T C5 igaz, ha s = T C1 igaz, ha q = T (mivel p = F, C4-ből) C3 igaz, ha r = F (mivel s = F, C5-ből) C2 igaz, ha q = F (mivel r = F, C3- és C5-ből) ellentmondás!

  26. TÉTELBIZONYÍTÁS REZOLÚCIÓVAL A bizonyítási eljárás szemléltetése: C1: p  q C2: q  r C3: s  r C4: p C5: s rezolúciós gráf, cáfolati gráf új klóz előállítása: rezolúcióval p  q s  r q  r q p s r q q r q NIL q NIL r q

  27. TÉTELBIZONYÍTÁS REZOLÚCIÓVAL A1, A2, …, An B ?? A1  A2  …  An   B kielégíthetetlen igazolása rezolúciós eljárással A rezolúciós eljárás lépései: • Cél tagadása, az axiómákhoz való hozzáadása • Az A1  A2  …  An   B formula klóz formára hozása (kiindulási klózhalmaz) • Az üres klóz (NIL) előállításáig: • a klózhalmazból két rezolválható klóz választása, • a kiválasztott klózok rezolvensének képzése, • a rezolvens klóz hozzáadása a klózhalmazba.

  28. TÉTELBIZONYÍTÁS REZOLÚCIÓVAL rezolválható klózok: komplemens literálpárt tartalmaznak komplemens literálpár: egy logikai változó és a negáltja együtt rezolvens klóz: komplemens literálok elhagyása után maradó részek diszjunkcióval összekapcsolva üres klóz: NIL, minden reprezentációban hamis rezolúció tulajdonságai: • algoritmusa nemdeterminisztikus C1: p  q p  r C2: q  r p  s C3: s  r s C4: p NIL C5: s • helyes (logikai következmény) • teljes (minden logikai következmény belátható rezolúcióval)

  29. PREDIKÁTUMKALKULUS (ELSŐRENDŰ LOGIKA)

  30. PREDIKÁTUMKALKULUS Alapok: az elsőrendű logika felosztja a világot • objektumokra, • az objektumok tulajdonságaira, • az objektumok közti relációkra. igaz vagy hamis állítások reprezentálása a kijelentések egy alaphalmaz elemeire vonatkoznak konstansok, változók, függvények, predikátumok minden, létezik

  31. PREDIKÁTUMKALKULUS - SZINTAXIS jelkészlet • elválasztó jelek: , ( ) • logikai műveleti jelek:  • kvantorok:  • objektumváltozók, változók: x, y, z, . . . • objektumkonstansok, konstansok: a, b, c, . . . • függvényszimbólumok: f, g, h, . . . • ítéletváltozók (logikai változók): p, q, r, . . . • ítéletkonstansok: T, F • predikátumszimbólumok: P, Q, R, . . .

  32. PREDIKÁTUMKALKULUS - SZINTAXIS szintaxis szabályai • term • minden objektumkonstans term • minden objektumváltozó term • ha f n-argumentumú függvényszimbólum és t1, ... ,tn termek, akkor f(t1, ... ,tn) is term • atomi formula • minden ítéletkonstans atomi formula • minden ítéletváltozó atomi formula • ha P n-argumentumú predikátumszimbólum és t1, ... ,tn termek, akkor P(t1, ... ,tn) atomi formula

  33. PREDIKÁTUMKALKULUS - SZINTAXIS szintaxis szabályai • formula (jól formált formula, wff) • minden atomi formula egyben formula is • ha A és B formulák, akkor a A, (A  B), (A  B), (A  B), (A  B) kifejezések is formulák • ha A egy formula és x egy változó, akkor a x A, x A kifejezések is formulák wff? szereti(Kati, kutyája(Kati)  macskája(Kati)) szereti(Kati, f drága(f)) szereti(Kati, x) x szereti(Kati, x) x szereti(Kati, x) x [P(x, y) y Q(x, y)]

  34. PREDIKÁTUMKALKULUS - PÉLDA állítások: A1: Van olyan páciens, aki minden doktorban megbízik. A2: A kuruzslókban egyetlen páciens sem bízik meg. A3: Egyetlen doktor sem kuruzsló. A1 és A2 állításokból következik-e A3? predikátumok: P(x): x egy páciens D(y): y egy doktor K(z): z egy kuruzsló M(x,y): x megbízik y-ban formulák: F1: x {P(x) y [D(y)  M(x,y)]} F2: x {P(x) y [K(y) M(x, y)]} vagy F2: x y {[P(x)  K(y)] M(x, y)} F3: x [D(x) K(x)]

  35. PREDIKÁTUMKALKULUS - SZEMANTIKA • interpretáció • értelmezés alaphalmazának megválasztása (U ) • hozzárendelések: • minden konstans szimbólumnak egy elem megfeleltetése U-ból • minden n-argumentumú függvényszimbólumhoz egy Un U leképezés rendelése • minden n-argumentumú predikátumszimbólumnak egy Un {T, F} leképezés megfeleltetése Példa: x [P(f(x,x),a)  P(x,a)] U: természetes számok a: 1 f(x,x): x2 P(x,y): x=y x [(x2=1)  (x=1)]

  36. PREDIKÁTUMKALKULUS - SZEMANTIKA • kiértékelés • ha A, B formulák igazságértéke ismert, akkor A, (A  B), (A  B), (A  B), (A  B) formulák igazságértékének meghatározása (igazságtábla) • x A igazságértéke T, ha A formula minden xU esetén T, egyébként F • x A igazságértéke T, ha A formula legalább egy xU esetén T, egyébként F

  37. PREDIKÁTUMKALKULUS - SZEMANTIKA Kielégíthető formula: van modellje. x [(x2 = 1)  (x = 1)] U: természetes számok  modellje U: egész számok  nem modellje Érvényes formula (tautológia): minden modellben benne van. x p(x) y p(y) Kielégíthetetlen formula (ellentmondás): nincs modellje. x p(x) y p(y) formulák kiértékelése az összes lehetséges interpretációban???

  38. FORMULÁK EKVIVALENCIÁJA Logikai törvények: . . • Qx A(x)  B = Qx (A(x)  B) Q:  vagy  Qx A(x)  B = Qx (A(x)  B) • (x A(x)) = x A(x) (x A(x)) = x A(x) • x A(x) x B(x) = x (A(x)  B(x)) x A(x) x B(x) = x (A(x)  B(x)) • Qx A(x)  Qx B(x) = Qx Qy (A(x)  B(y)) Qx A(x)  Qx B(x) = Qx Qy (A(x)  B(y)) (14) x A(x) x B(x) x (A(x)  B(x)) !! x A(x) x B(x) = x A(x) y B(y) = x y (A(x)  B(y)) - (15) x A(x) x B(x) x (A(x)  B(x)) !! x A(x) x B(x) = x A(x) y B(y) = x y (A(x)  B(y)) - (15)

  39. LOGIKAI KÖVETKEZMÉNY F1: x (P(x)  Q(x)) F2: P(a) F3: Q(a) F1 és F2 formulákból következik-e F3? • Logikai következmény definíciója alapján: • F1 igaz minden x-re, speciálisan a-ra is • F2 igaz •  F3 is igaz (implikáció) • Cáfoló módszer (kielégíthetetlenség): • F1  F2 F3 kielégíthetetlen

  40. TÉTELBIZONYÍTÁS REZOLÚCIÓVAL a1 . . . am b1 . . .  bk c1 . . . cn d1 . . .  dlahol dj = ai a1  . .  ai . .  am  c1  . .  cn  b1 . .  bk d1  . .  dj  . .  dl Problémák: • normálformára hozás • kvantorok kezelése • egyesítés

  41. NORMÁLFORMÁRA HOZÁS • A  B = (A  B)  (B  A) ( kiküszöbölése) A  B = A  B ( kiküszöbölése) • (A  B) = A  B ( hatáskörének redukálása) (A  B) = A  B A = A x A(x) = x A(x) x A(x) = x A(x) • változók standardizálása - változók átnevezése, hogy az egyes kvantorok által lekötött változók különbözzenek (nem csak formulán belül!) x (P(x)  x Q(x)) x (P(x)  y Q(y))

  42. NORMÁLFORMÁRA HOZÁS • egzisztenciális kvantorok kiküszöbölése x P(x) h háza(h, János) P(a) háza(Sk_1, János) Skolem konstans x y P(x,y) sz h háza(h, sz) x P(x, g(x)) sz háza(Sk_2(sz), sz) x1, . . . ,xn y P(y) x1, . . . ,xn P(g(x1, . . . ,xn)) Skolem függvény y x P(x, y) h sz háza(h, sz) x P(x, b) sz háza(Sk_3, sz) Skolem konstans

  43. NORMÁLFORMÁRA HOZÁS • prenex formára hozás csak -k maradtak (a változókat standardizáltuk)  kiemelése x1 . . . xn A(x1, . . . ,xn) • univerzális kvantorok elhagyása • klózok kialakítása csak  és  műveletek A  (B  C) = (A  B)  (A  C) klózok konjunkciójának létrehozása • konjunkciók elhagyása (klózhalmaz)

  44. EGYESÍTÉS/UNIFIKÁCIÓ x szereti(Fifi, x) y szereti(y, alma) szereti(Fifi, alma) kötési/helyettesítési lista: véges  halmaz, amelyben minden vi változó, minden ti term és vi-k különbözőek  = {v1t1, . . . , vntn}  = {xalma, yFifi} kötés/helyettesítés: p p formula helyettesítése -val S(x, g(x, y)){x1, z345} = S(1, g(1, y)) p és q egyesíthető -val: p = q legáltalánosabb egyesítő: legrövidebb kötési lista, amely egyesít 2 formulát

  45. EGYESÍTÉSI ALGORITMUS H = { P(x, u, f(g(x))), P(a, y, f(y)) } x, y, u: változók, a: konstans, f, g: függvény szimbólum, P: predikátum szimbólum különbségi halmaz: D • D = { x, a }  = { xa } H = { P(a, u, f(g(a))), P(a, y, f(y)) } • D = { u, y }  = { xa, uy } H = { P(a, y, f(g(a))), P(a, y, f(y)) } • D = { g(a), y }  = { xa, uy, yg(a) } H = { P(a, g(a), f(g(a))), P(a, g(a), f(g(a))) } x = f(x) ??? f(f(f…. OCCUR CHECK – ELŐFORDULÁS-ELLENŐRZÉS

  46. TÉTELBIZONYÍTÁS REZOLÚCIÓVAL a1 ... am b1 ...  bk c1... cn d1 ...  dlahol dj = ai [a1 ...  ai ...  am  c1 ...  cn  b1...  bk d1 ...  dj ...  dl] bináris rezolúció: a rezolválandó literálnak csak 1-1 előfordulását választjuk ki mindkét szülő klózból tulajdonságai: • helyes • nem teljes • nemdeterminisztikus

  47. TÉTELBIZONYÍTÁS REZOLÚCIÓVAL K1: P(x)  P(a) K2: P(y)  P(a) K1 mindkét és K2 első literáljának egyesítése: H = P(x), P(a), P(y)  = xa, ya K3: P(a) K1 első és K2 mindkét literáljának egyesítése: H = P(x), P(a), P(y)  = xa, ya K4: P(a) K3 és K4 klózok rezolválása: NIL bináris rezolúcióval: K1 – 1, K2 – 1, x|y K3: P(a)  P(a) tautológia (törölhető) K1 – 2, K2 – 1, y|a K4: P(x)  P(a) K1 – 2, K2 – 2 K5: P(x)  P(y) K1 – 1, K2 – 2, x|a K6: P(a)  P(y) … NIL nem érhető el

  48. TÉTELBIZONYÍTÁS REZOLÚCIÓVAL FAKTORIZÁCIÓ • bináris rezolúció teljessé tehető faktorizációval • C klóz egy faktora: C|, ( egy legáltalánosabb egyesítő helyettesítés, amely C két vagy több literálját azonossá teszi) • klóz faktorizációja: klóz összes faktorának előállítása • klózhalmaz faktorizációja: klózhalmaz összes klózának faktorizációja • faktorhalmaz: faktorizáció műveletével kibővített klózhalmaz

  49. TÉTELBIZONYÍTÁS REZOLÚCIÓVAL P(x, a)  P(y, z)  P(z, x) klóz összes faktora: P(y, a)  P(a, y) (1. és 2. literál egyesítése,  = {x|y, z|a}) P(a, a)  P(y, a) (1. és 3. literál egyesítése,  = {z|x, x|a})) P(x, a)  P(x, x) (2. és 3. literál egyesítése,  = {y|z, z|x})) P(a, a) (1., 2. és 3. literál egyesítése,  = {x|y, z|y, y|a})) K1: P(x)  P(a) K2: P(y)  P(a) K1’: P(a) K2’: P(a)

  50. TÉTELBIZONYÍTÁS REZOLÚCIÓVAL A1: Van olyan páciens, aki minden doktorban megbízik. A2: A kuruzslókban egyetlen páciens sem bízik meg. A3: Egyetlen doktor sem kuruzsló. F1: x {P(x)  y [D(y)  M(x,y)]} F2: x {P(x)  y [K(y)  M(x, y)]} F3: x [D(x)  K(x)] F3 negáltja: x [D(x)  K(x)] klóz forma: K1: P(a) K2: D(y) M(a, y) K3: P(x) K(y) M(x, y) K4: D(b) K5: K(b) F1-ből, a: skolem konstans F2-ből F3-ból, b: skolem konstans

More Related