隨機變數 Random Variables

隨機變數Random Variables

隨機變數的定義 • 將隨機現象之出相(outcome)以數字表達的變數，稱為隨機變數(random variable)，多以大寫英文字母X, Y 等代表。 • 隨機變數為一將樣本空間映至實數之函數。X: SR 。 • 隨機變數X的機率分配，表達 X 的可能取值(樣本空間)和指派機率的規則。

隨機變數的型態 • 隨機變數的可能取值是離散的數字，如計數型或分類型等，稱為離散隨機變數(discrete random variable)。 • {0, 1,…, 9} 均等(uniform)分配，又稱均勻分配。 • 20次實驗中成功的次數。 • 隨機變數的可能取值是某一實數的區間，如“大於0”或“-2~2之間”等，稱為連續型隨機變數(continuous random variable)。 • 常態隨機變數 • 下次再發生所需的時間

樣本平均數與理論平均數 • 服從{1, 2,…, 5}均等分配之離散隨機變數U。30 個樣本資料如下： • 5 3 4 2 4 2 2 5 5 1 4 5 2 5 5 3 5 4 5 1 1 5 5 1 1 2 2 5 1 1 • MTB > desc c3 N MEAN MEDIAN STDEV Q1 Q3 30 3.200 3.200 1.669 1.750 5.000

樣本平均數與理論均數 • 樣本平均數為 (5+3+4+2+4+ … +5+1+1)/30 = 3.2 (1+1+1+1+1+1+1+2+2+2+2+2+2+3+3+4+4 +4+4+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5)/30 = 3.2 (17+ 26 + 32 + 44 + 511)/30 = 3.2 • 理論平均數(與樣本數無關)為

理論平均數的定義 • 離散隨機變數 X 的樣本空間為 {x1, x2, …, xk}，對應的機率為 P(X= xi) = p(xi)。定義理論平均數，記為EX或m又稱為 X 的期望值(Expectation)，為 X 的可能值以對應的機率為權數的加權平均。 • 隨機變數 X 的函數 g(X) 的期望值為

理論平均數的性質 • 兩(離散)隨機變數 X 與Y，a與 b為兩常數則 1. E(a)= a，或記為ma= a 2. E(aX + bY) = aEX + bEY，或記為 m(aX+bY)= amX + bmY

均等分配的理論平均數 • 均等分配 X 的樣本空間為 {1, 2, 3, 4, 5}，對應的機率為 P(X= i) = p(i)=0.2。X 的期望值 EX 為

樣本變異數與理論變異數 • 樣本變異數為 [(5-3.2)2+(3-3.2)2 +… +(1-3.2)2)]/29=1.6692 [(1-3.2)27+(2-3.2)26+(3-3.2)22+(4-3.2)24+(5-3.2)211]/29 = 1.6692

樣本變異數與理論變異數(續) mX = 3 取代 = 3.2，30 取代 29 則上式即為理論變異數

理論變異數的定義 • 離散隨機變數 X 的樣本空間為 {x1, x2, …, xk}，對應的機率為 P(X = xi) = p(xi)。 • 定義理論變異數(Variation)，記為Var(X)或，為 X 的可能值與期望值差的平方以對應的機率為權數的加權平均。

變異數的性質 • 變異數的另一型式的表達

變異數的性質(續) • 兩(離散)隨機變數 X 與Y，a與 b為兩常數則 1. Var(a)= 0 2. Var(X + a)= Var(X) 3. Var(aX)= a2Var(X)，或記為 4. 若X 與Y 互相獨立，則 Var(aX + bY) = a2Var(X) + b2Var(Y)，或記為

隨機變數 Random Variables