KOMBINATORIAL & PELUANG DISKRIT : PERMUTASI

1. KOMBINATORIAL & PELUANG DISKRIT :PERMUTASI MATEMATIKA DISKRIT

2. Kelereng Tabung 2 Tabung 3 Urutan Tabung 1 k h mkh m m k h mhk h k Kantong m h kmh k 1 2 3 h m khm k m hmk h hkm m k Ilustrasi 1 Misal ada 3 buah kelereng yang berbeda warna : merah (m), kuning (k) dan hijau (h). Kemudian dimasukkan ke dalam 3 buah kaleng, masing-masing kaleng 1 buah kelereng. Berapa jumlah urutan yang berbeda yang mungkin dibuat dari penempatan kelereng ke dalam kaleng-kaleng tersebut ?

3. Kelereng m k h b u c Kantong 1 2 3 Ilustrasi 2 Misal ada 6 buah kelereng yang berbeda warna : merah (m), kuning (k) hijau (h), biru (b), ungu (u) dan coklat (c). Kemudian dimasukkan ke dalam 3 buah kaleng, masing-masing kaleng 1 buah kelereng. Berapa jumlah urutan yang berbeda yang mungkin dibuat dari penempatan kelereng ke dalam kaleng-kaleng tersebut ? n = banyaknya objek r = pemilihan objek Sehingga : n = 6 r = 3

4. Definisi • Permutasi adalah : • jumlah urutan berbeda dari pengaturan objek-objek • Permutasi merupakan bentuk aplikasi dari kaidah perkalian • Sehingga permutasi dari n objek (pada ilustrasi a): • Jumlah susunan berbeda dari pemilihan r objek yang diambil dari n objek disebut dengan permutasi-r (pada ilustrasi b ), n  r :

5. Contoh 1 • Berapa banyak kata yang terbentuk dari kata “KULIAH” ?

6. Solusi • Kata “KULIAH”  n = 6 • Ada 2 cara penyelesaian : • Cara 1 : Anggap kata “KULIAH” sebagai kelereng yang berbeda warna dan 6 buah tabung terisi dengan 1 buah kelereng pada setiap tabung Sehingga : (6)(5)(4)(3)(2)(1) = 720 buah kata • Cara 2 : Dengan menggunakan rumus permutasi-r : n = 6 ; r = 6 Sehingga :

7. Contoh 2 • Tiga buah ujian dilakukan dalam periode lima hari (Senin sampai Jumat). Berapa banyak pengaturan jadwal yang dapat dilakukan sehingga tidak ada 2 ujian atau lebih yang dilakukan pada hari yang sama ?

8. Solusi • Ada 2 cara penyelesaian : • Cara 1 : • Ujian ke-1 dapat ditempatkan pada salah satu dari 5 hari • Ujian ke-2 dapat ditempatkan pada salah satu dari 4 hari • Ujian ke-3 dapat ditempatkan pada salah satu dari 3 hari Jumlah pengaturan jadwal ujian : (5)(4)(3) = 60 pengaturan jadwal • Cara 2 : • Dengan menggunakan rumus permutasi :

9. Contoh 3 • Berapa banyak string yang dapat dibentuk yang terdiri dari 4 huruf berbeda dan diikuti dengan 3 angka yang berbeda pula

10. Solusi • String  n1 = 26 (a, b, …, z) • Angka  n2 = 10 (0, 1, …, 9) • Untuk mengisi posisi 4 buah huruf yang berbeda (n1=26; r1=4): • Untuk mengisi posisi 3 buah angka yang berbeda (n2=10; r2=3): • Karena string disusun dari 4 buah huruf dan 3 buah angka, maka jumlah string yang dapat dibuat : P(26,4) x P(10,3) = (26)(25)(24)(23)(10)(9)(8) = 258.336.000

11. Permutasi Melingkar • Permutasi melingkar dari n objek adalah : • Penyusunan objek-objek yang mengelilingi sebuah lingkaran (atau kurva tertutup sederhana) • Jumlah susunan objek yang mengelilingi lingkaran : (n – 1)!

12. Contoh 4 • Ada 10 orang yang duduk pada satu barisan kursi terdiri dari 10 kursi yang mengelilingi meja melingkar. Berapa banyak cara pengaturan tempat duduk bagi mereka ?

13. Solusi • Kursi = 10 n = 10 • Objek pertama dapat ditempatkan dimana saja pada lingkaran dengan 1 cara • Sisa n – 1 objek lainnya dapat diatur searah jarum jam (misalnya) dengan : P(n – 1, n – 1) = (n – 1) ! cara • Sehingga : P(9, 9) = 9 !

14. Latihan • Diketahui X = {a,b,c}, maka banyaknya permutasi-2 • Berapa banyak cara memilih seorang ketua, wakil ketua, sekretaris dan bendahara dari kelompok yang terdiri dari 10 orang • Berapa banyak cara mengurutkan nama 25 orang mahasiswa ? • Jika suatu toko menjual 3 ukuran T-shirt dengan 6 warna berbeda dan setiap T-shirt bisa bergambar naga, buaya atau tidak bergambar sama sekali, berapa jenis T-shirt yang dapat anda beli ? • Berapa jumlah kata (terdiri dari 8 huruf) yang dapat dibentuk dari 26 huruf, tanpa memperhitungkan arti kata yang terbentuk. Buatlah untuk 2 kemungkinan (boleh mengulang huruf atau tidak boleh mengulang huruf) • Enam orang melamar pekerjaan untuk 3 pekerjaan yang sama, yang masing-masing akan ditempatkan di Surabaya, Sidoarjo dan Malang. Berapakah kemungkinan susunan orang yang diterima untuk menempati posisi tersebut ?

15. Latihan (cont.) • Berapa banyak permutasi bilangan yang dibentuk dari {1, 2, …, 8} • Tentukan banyaknya “kata” yang terbentuk dari huruf-huruf dalam kata “SELEBES” jika setiap “kata” : • Berawal dan diakhiri dengan huruf E • Tiga huruf E berdampingan satu sama lain • Lima belas pemain basket akan direkrut oleh 3 tim profesional di Jakarta, Bandung dan Surabaya, sedemikian sehingga setiap tim akan merekrut 5 orang pemain. Dalam berapa banyak cara dapat dilakukan ? • Sebuah bioskop mempunyi jajaran kursi yang disusun per baris. Tiap baris terdiri dari 6 tempat kursi. Jika 2 orang akan duduk, berapa banyak pengaturan tempat duduk yang mungkin pada suatu baris ?