Esercizi

1. Esercizi Si consideri una sferetta di massa m=25.40 ± 0.04 g, della quale si vuole determinare la densità. Qual è la precisione con cui di deve determinare il diametro della sferetta per avere un errore percentuale sulla densità inferiore all’1% ? La densità della sferetta si esprime come: con La densità della sferetta si può quindi riscrivere come: (dove K è una costante che racchiude tutti i termini numerici) E’ richiesto un errore percentuale sulla densità inferiore all’1%, cioè: Risolvendo la disuguaglianza rispetto all’errore relativo sul diametro si ha:

2. ISTOGRAMMI E DISTRIBUZIONI:

3. ISTOGRAMMI E DISTRIBUZIONI:

4. ISTOGRAMMI E DISTRIBUZIONI: Numero di misure nell’intervallo

5. ISTOGRAMMI E DISTRIBUZIONI: Frequenza Numero di misure nell’intervallo

6. ISTOGRAMMI E DISTRIBUZIONI: Frequenza Numero di misure nell’intervallo Densità di frequenza

7. ISTOGRAMMI E DISTRIBUZIONI:

8. f(x) s x LA DISTRIBUZIONE GAUSSIANA: Funzione densità di probabilità: gaussiana: Funzione della varabile xcaratterizzata da due parametri: m e s

9. LA DISTRIBUZIONE GAUSSIANA: Al variare di m varia la posizione della curva (traslazione lungo l’asse x)

10. LA DISTRIBUZIONE GAUSSIANA: Al variare di m varia la posizione della curva (traslazione lungo l’asse x)

11. LA DISTRIBUZIONE GAUSSIANA: Al variare di m varia la posizione della curva (traslazione lungo l’asse x)

12. LA DISTRIBUZIONE GAUSSIANA: Al variare di s varia la larghezza della curva

13. LA DISTRIBUZIONE GAUSSIANA: Al variare di s varia la larghezza della curva

14. LA DISTRIBUZIONE GAUSSIANA: Al variare di s varia la larghezza della curva

15. LA DISTRIBUZIONE GAUSSIANA: Significato della gaussiana nel caso di misure affette solo da errori casuali: • m corrisponde al valore vero che si vuole misurare • s è legata alla precisione sulla misura: minore è la larghezza della curva, migliore è la precisione della misura Nell’ipotetico caso di un numero infinito di misure il valor medio risulta uguale al valore vero m. Nel caso reale di un numero finito di misure, il valor medio è la miglior stima del valore vero. Nell’ipotetico caso di un numero infinito di misure la deviazione standard risulta uguale al parametro s. Nel caso reale di un numero finito di misure, la deviazione standard è la miglior stima di s.

16. LA DISTRIBUZIONE GAUSSIANA: Significato della gaussiana nel caso di misure affette solo da errori casuali: • a ciascun area sottesa dalla curva corrisponde un valore di probabilità L’area tratteggiata fornisce la probabilità di ottenere da una misura un valore che dista dal valore medio non più di una deviazione standard. x2=m+s x1=m-s Tale area è pari a circa 0.68. Quindi nel 68% dei casi, ci aspettiamo di trovare come risultato della misura un valore che dista meno di una deviazione standard dal valore vero m

17. LA DISTRIBUZIONE GAUSSIANA: Significato della gaussiana nel caso di misure affette solo da errori casuali: • a ciascun area sottesa dalla curva corrisponde un valore di probabilità L’area tratteggiata fornisce la probabilità di ottenere da una misura un valore che dista dal valore medio non più di due deviazioni standard. x2=m+2s x1=m-2s Tale area è pari a circa 0.95. La probabilità di trovare il risultato della misura nell’intervallo±2σ dal valore vero è quindi pari a circa il 95%. m

18. LA DISTRIBUZIONE GAUSSIANA: Significato della gaussiana nel caso di misure affette solo da errori casuali: • a ciascun area sottesa dalla curva corrisponde un valore di probabilità È possibile ricavare tale probabilità per qualsiasi intervallo, simmetrico o meno, utilizzando una tabella che fornisce le probabilità di trovare un valore in un generico intervallo simmetrico ±tσ centrato intorno al valore vero μ. t=1.5 x2=m+ts x1=m-ts m

19. LA TABELLA DELLA GAUSSIANA: m-ts m+ts

20. LA TABELLA DELLA GAUSSIANA:

21. Esercizi Uno studente misura il diametro di una popolazione di 100 cellule, trovando come risultato per il valor medio: dmedio = 8.03 ± 0.06 mm Supponendo che la distribuzione dei valori sia di tipo gaussiano, trovare l’intervallo [x1, x2], simmetrico rispetto al valor medio, corrispondente alla probabilità dell’85% che una misura vi cada all’interno. Dalla tabella relativa alla distribuzione gaussiana si trova che l’intervallo dell’85% corrisponde ad un t = 1.44, Gli estremi dell’intervallo si calcolano come: x1=m-ts x2=m+ts Dove il valore vero m corrisponde al valor medio e la larghezza s corrisponde alla deviazione standard Essendo noti il numero di misure e la deviazione standard della media, si ricava la deviazione standard come: E quindi:

22. Esercizi In un allevamento ci sono 23000 pecore il cui peso medio è di 45.5 ± 0.05 kg. Se i pesi degli ovini sono distribuiti secondo una curva gaussiana, dare il numero N1 dei capi con peso compreso tra 43 e 48 kg e il numero N2 dei capi con peso inferiore a 55 kg La distribuzione del peso degli ovini è centrata sul valore medio 45.5 con deviazione standard pari a: Per il calcolo di N1 si ha a che fare con un intervallo simmetrico [43-48] rispetto al valore medio 45.5. Per il calcolo della probabilità associata a tale intervallo si ricava dapprima il valore di t e poi si guarda la tabella della gaussiana: Vi è quindi una probabilità del 25.86% che le pecore abbiano un peso tra 43 e 48 kg. Essendo le pecore totali 23000 ne consegue che: (segue)

23. Esercizi In un allevamento ci sono 23000 pecore il cui peso medio è di 45.5 ± 0.05 kg. Se i pesi degli ovini sono distribuiti secondo una curva gaussiana, dare il numero N1 dei capi con peso compreso tra 43 e 48 kg e il numero N2 dei capi con peso inferiore a 55 kg Per il calcolo di N2 si ha a che fare con un intervallo NON simmetrico. Il numero di ovini con peso inferiore a 55 kg si trova andando a determinare dapprima il valore di t corrispondente a 55: Dalla tabella della gaussiana, si trova che P(t=1.25) = 78.37% e corrisponde all’a probabilità di avere ovini con peso compreso tra 36 e 55 kg Devo tuttavia considerare anche tutti gli ovini con peso inferiore ai 36 kg (coda a sinistra della curva). (segue)

24. Esercizi In un allevamento ci sono 23000 pecore il cui peso medio è di 45.5 ± 0.05 kg. Se i pesi degli ovini sono distribuiti secondo una curva gaussiana, dare il numero N1 dei capi con peso compreso tra 43 e 48 kg e il numero N2 dei capi con peso inferiore a 55 kg E’ sufficiente ricordarsi che l’area totale sottesa dalla gaussiana corrisponde al 100% La probabilità di avere un peso inferiore a 55 kg è quindi pari a : Da cui il numero di pecore: :

25. Esercizi Una grandezza è distribuita normalmente attorno al valore 30 con deviazione standard pari a 3. Quale è la percentuale di misure che ci aspetta essere comprese tra 31 e 33? L’intervallo considerato è un intervallo non simmetrico in cui entrambi gli estremi si trovano a destra del valore centrale della distribuzione: x1=m-t1s x2=m+t2s Sostituendo i valori degli estremi x1 e x2, del valore medio e della deviazione standard si ricavano i due valori di t : Dalla tabella della gaussiana si trova: P(t1)= 25.86 % (figura A) e P(t2)=68.27 % (figura B) (segue)

26. Esercizi Una grandezza è distribuita normalmente attorno al valore 30 con deviazione standard pari a 3. Quale è la percentuale di misure che ci aspetta essere comprese tra 31 e 33? Guardando le curve la probabilità associata all’intervallo non simmetrico si ricava come:

27. Esercizi • Sia data una distribuzione centrata intorno a 25 con larghezza sigma 1.3. Trovare: • l’intervallo corrispondente alla probabilità del 68.27%; • La probabilità di trovare un valore compreso tra 21.9 e 25.5. a) La probabilità del 68.27% corrisponde all’intervallo: [m-s; m+s] Quindi: b) L’intervallo è non simmetrico. Calcolo i valori di t relativi ai due estremi: P(t1) P(t2) Dalla tabella della gaussiana: P(t1)= 98.27 % P(t2)= 30 % (segue)

28. Esercizi • Sia data una distribuzione centrata intorno a 25 con larghezza sigma 1.3. Trovare: • l’intervallo corrispondente alla probabilità del 68.27%; • La probabilità di trovare un valore compreso tra 21.9 e 25.5. P(t2) /2 P(t1) /2 Osservando le aree e sfruttando la simmetria della curva si trova: