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Diskrete Fouriertransformation

Cosinus Funktionen. Sinus Funktionen. Diskrete Fouriertransformation. Informationsgewinnung. Signale können als Überlagerung (Summe) periodischer Funktionen mit Frequenzen  u und mit Amplituden F dargestellt werden.

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Diskrete Fouriertransformation

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Presentation Transcript

  1. Cosinus Funktionen Sinus Funktionen Diskrete Fouriertransformation Informationsgewinnung • Signale können als Überlagerung (Summe) periodischer Funktionen mit • Frequenzen u und mit • Amplituden F dargestellt werden. • Diese Koeffizienten geben an, mit welcher Häufigkeit die entsprechenden Funktionen vorkommen. g(x) Computer Vision 1_Seite 1

  2. Diskrete Fouriertransformation Informationsgewinnung • Die Berechnung der Koeffizienten heißt diskrete Fouriertransformation (DFT) und erfolgt via • Aus den Koeffizienten kann das Originalsignal zurück gewonnen werden: Inverse diskrete Fouriertransformation (IDFT) Computer Vision 1_Seite 2

  3. Diskrete Fouriertransformation Informationsgewinnung 1) • Die Fouriertransformation und ihre Inverse werden oft in komplexer Schreibweise angegeben: • Es ist DFT: IDFT: F(u) |F(u)| Fo(u) Amplitude (Magnitude) Fe(u) Phase 1) Die Umrechung von reeller in komplexe Schreibweise erfolgt mit Computer Vision 1_Seite 3

  4. Diskrete Fouriertransformation Informationsgewinnung • Die Fouriertransformation und ihre Inverse bilden einen Zusammenhang zwischen Orts- und Frequenzraum Ortsraum Frequenzraum (Amplitude) Frequenz Notation: oder oder Zweidimensional? Computer Vision 1_Seite 4

  5. Diskrete Fouriertransformation Informationsgewinnung Die zweidimensionale diskrete Fouriertransformation und ihre Inverse. Bild g ( B x H ) • DFT: • Die Inverse: IDFT Frequenzraum Ortsraum Computer Vision 1_Seite 5

  6. Bemerkung: Wegen der Punktsymmetrie muss nur eine Hälfte der DFT berechnet werden und der Ursprung kann in den Bildmittelpunkt gelegt werden: bzw. A D B bzw. bzw. B A Diskrete Fouriertransformation Informationsgewinnung Darstellung im Frequenzraum Amplitude Phase Frequenzraum (Amplitude und Phase) Frequenzraum Computer Vision 1_Seite 6

  7. Diskrete Fouriertransformation Informationsgewinnung Amplitude Amplitude Phasen Die Phase beinhaltet entscheidende Informationen! Computer Vision 1_Seite 7 Quelle: Jähne B. Digitale Bildverarbeitung

  8. Diskrete Fouriertransformation Informationsgewinnung Im Frequenzraum sind viele Operationen günstiger durchzuführen: • Alle linearen Operationen z.B. Hochpass, Tiefpass und Bandpass können mit hoher Güte durchgeführt werden. Der Faltungssatz besagt u.a., dass eine Faltung im Ortsbereich auch durch eine Multiplikation im Frequenzbereich durchgeführt werden kann: • Erkennung periodischer Strukturen • Manipulation periodischer Strukturen 1) Manipulation von F im Frequenzraum 1) Multiplikation von komplexen Zahlen: Computer Vision 1_Seite 8

  9. Diskrete Fouriertransformation Informationsgewinnung Beispiel: Tiefpaßfilter durch mit • Erinnerung: separierbarer Kern • Anwendung des Faltungssatzes (Führe anstelle der Faltung im Ortsraum eine Multiplikation im Frequenzraum durch): Computer Vision 1_Seite 9

  10. D B A A B Für die DFT muss der Ursprung des Kerns dem Ursprung des Bildes entsprechen! Diskrete Fouriertransformation Informationsgewinnung • Koordinatensysteme von Bild und Kern: Computer Vision 1_Seite 10

  11. DFT IDFT DFT Diskrete Fouriertransformation Informationsgewinnung Ortsraum Frequenzraum Ortsraum Multiplikation von komplexen Zahlen: Computer Vision 1_Seite 11

  12. Diskrete Fouriertransformation Informationsgewinnung • Die Berechnung des Kerns für die Gaußfunktion muss nicht durchgeführt werden, da die Gaußfunktion im Frequenzbereich wieder eine Gaußfunktion (mit reziproker Varianz) ist: • Die Fouriertransformierte lässt sich für weitere Funktionen analytisch berechnen, z. B. Computer Vision 1_Seite 12 Quelle: Handbook of Computer Vision

  13. Diskrete Fouriertransformation Informationsgewinnung Eigenschaften der DFT Computer Vision 1_Seite 13 Quelle: Handbook of Computer Vision

  14. wird für alle v und y berechnet wird für alle u und x berechnet Diskrete Fouriertransformation Informationsgewinnung Effizienz: Beispiel: N:=B=H, dann hat die Berechnung der DFT einen Aufwand von O(N4) void DFT(const CImageMemory< unsigned char >& source, CImageMemory< unsigned char >& real, CImageMemory< unsigned char >& imag) { ... Parametervereinbarung ... for (v = 0; v < H; v++) { for (u = 0; u < B/2; u++) { realTeil = 0; imagTeil = 0; for (y = 0; y < H; y++) { for (x = 0; x < B; x++) { summand = - fac * ((u*x)/double(B) + (v*y)/double(H)); realTeil += source.GetPixelValue(x,y) * cos(summand); imagTeil += source.GetPixelValue(x,y) * sin(summand); } } real.SetPixelValue(u,v,realTeil/sqrt_B_H); imag.SetPixelValue(u,v,imagTeil/sqrt_B_H); } } } Computer Vision 1_Seite 14

  15. Diskrete Fouriertransformation Informationsgewinnung • Effizienz: Die DFT kann separiert werden: • Weitere Effizienzsteigerung: Für die DFT existieren effiziente Verfahren, z.B. die FFT (Fast Fourier Transformation): DFT Implementierung nach dem Teile und Herrsche Prinzip. Voraussetzung: Die Bildgröße ist eine Zweierpotenz, also Eindimensionale DFT (abh. von x und v, unabh. von u) ! 1-dim DFT 1-dim DFT Computer Vision 1_Seite 15

  16. Diskrete Fouriertransformation Informationsgewinnung • Beispiel: Faltung von Gaußfunktion und Grauwertkeil durch Multiplikation im Frequenzraum Ortsraum Ortsraum komplexe Multiplikation DFT IDFT DFT Die Fouriertransformation geht von periodischen Signalen aus!!! Computer Vision 1_Seite 16

  17. Diskrete Fouriertransformation Informationsgewinnung Typische Randeffekte nichtperiodischer Signale Frequenzraum (Amplitude) Ortsraum Abhilfe: Multiplikation im Ortsbereich mit einer Fensterfunktion Computer Vision 1_Seite 17

  18. Diskrete Fouriertransformation Informationsgewinnung Eigenschaften der Fouriertransformation 1: Bezeichungen • Linearität (a,b reelle Zahlen) insbesondere ist Beispiel: Bild g(x,y) invertieren: f(x,y) := 255 • Verschiebung im Ortsbereich • Verschiebungen im Frequenzbereich Computer Vision 1_Seite 18

  19. Diskrete Fouriertransformation Informationsgewinnung Eigenschaften der Fouriertransformation 2: • Ähnlichkeit (invertierbare 2x2 Matrix A) insbesondere ist für Drehungen U Frequenzraum (Amplitude) Ortsraum 90°Drehung nach rechts 90°Drehung nach rechts Computer Vision 1_Seite 19

  20. Diskrete Fouriertransformation Informationsgewinnung Frage: Wie stark kann ein Bild ohne Informationsverlust in der Größe reduziert werden? jeder 4. Bildpunkt in x-und y-Richtung jeder 5. Bildpunkt in x-und y-Richtung Moiré-Effekt: Das Abtasttheorem wurde verletzt! Pro Wellenlänge werden mindestens zwei Abtastpunkte benötigt! Computer Vision 1_Seite 20 Quelle: Jähne B. Digitale Bildverarbeitung

  21. Diskrete Fouriertransformation Informationsgewinnung Abtastungen: • Bestimme die oberen Grenzfrequenzen im Bildbereich: • Normierung bzgl. Bildbreite und -höhe Abtasttheorem: Gilt und , so kann das Bild aus den abgetasteten Punkten exakt rekonstruiert werden. Ortsraum Frequenzraum (Amplitude) Computer Vision 1_Seite 21 Quelle: Jähne B. Digitale Bildverarbeitung

  22. Diskrete Fouriertransformation Informationsgewinnung Zusammenfassung: • Die DFT geht von periodischen Signalen aus. • Die DFT liefert das Spektrum eines Bildes. • Die DFT transformiert ein Bild in zwei Bilder mit identischer Größe (Real- und Imaginärteil). Diese können in Phase und Amplitude umgerechnet werden. • Faltungssatz: Faltungen im Ortsbereich können als Multiplikation im Frequenzbereich durchgeführt werden. • Diverse Funktionen und Operationen können analytisch auf den Frequenzbereichübertragen werden. • Das Spektrum liefert Informationen für die verlustfreie Abtastmöglichkeit (Abtasttheorem). • Die Manipulation des Spektrums (auch in einer einzigen Frequenz) beeinflusst das gesamte daraus rekonstruierte Bild. Computer Vision 1_Seite 22

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