As Probabilidades

1. As Probabilidades Sara Carreto. 9ºB

2. Origem das probabilidades • O interesse em problemas relacionados com probabilidades teve início, em primeiro lugar, devido ao desenvolvimento dos seguros. No entanto, as questões que levaram os grandes matemáticos do século XVII a pensar neste assunto, vieram dos pedidos dos nobres que se entregavam a jogos de acaso, como o jogo dos dados, moedas e das cartas (Struik, 1989). • É por volta de 1654, enquanto Pascal trabalhava no seu trabalho sobre cónicas que Chevalier De Maré, seu amigo, um nobre, homem de letras, mas um jogador inveterado, o consulta para lhe expor algumas dúvidas em relação ao jogo dos dados, nomeadamente: Dois jogadores, cada um aposta 32 moedas. O total será ganho por aquele que primeiro obtiver três vezes, seguidas ou não, o número em que apostou, de entre as 6 faces do dado. O jogo foi interrompido quando um jogador já tinha duas saídas do seu número e o outro apenas uma. Como dividir as 64 moedas que estão em jogo se em oito lances consecutivos dum dado, um jogador deve tentar obter o um, mas depois de três tentativas infrutíferas o jogo é interrompido, como deveria o jogador ser indemnizado? (Boyer, 1996) • Como é que num jogo de lançar um dado, 4 vezes consecutivas, era maior a probabilidade de aparecer um 6, que a de caso contrário, enquanto que no jogo de lançar 24 vezes dois dados, a probabilidade de aparecer o duplo 6, era menor do que a do caso contrário? Parecia-lhe paradoxal, pois estava convencido que ambas as probabilidades deviam ser iguais (Marques, 1991).

3. Matemáticos ligados ás probabilidades A noção de probabilidade tem a sua origem mais remota referida não só à prática de jogos ditos "de azar" mas também, antes disso, à instituição dos seguros que foram usados já pelas civilizações mais antigas, designadamente pelos fenícios, a fim de protegerem a sua actividade comercial marítima. O Cálculo das Probabilidades parece ter nascido, enquanto tal, na Idade Média, com as primeiras tentativas de matematização dos jogos de azar, muito difundidos na época. É sabido que desde sempre os jogos foram praticados como apostas mas também para prever o futuro, decidir conflitos, dividir heranças, etc. Devem-se aos algebristas italianos Pacioli, Cardanoe Tartaglia(séc. XVI) as primeiras considerações matemáticas acerca dos jogos e das apostas. Eles limitam-se, no entanto, a resolver alguns problemas concretos mas ainda sem demonstração de teoremas, embora façam já comparação de frequência de ocorrências e estimativas de ganhos. No entanto, o contributo decisivo para o início da Teoria das Probabilidades foi dado pela correspondência trocada entre os matemáticos franceses Blaise Pascal e seu amigo Pierre de Fermat, em que ambos, por diferentes caminhos, chegam à solução correcta do célebre problema da divisão das apostas em 1654. Este problema teria sido posto a Pascal pelo cavaleiro De Méré (considerado por alguns autores jogador inveterado e por outros, filósofo e homem de letras) quando viajava em sua companhia. Sem que Pascal e Fermat o soubessem, este problema era basicamente o mesmo que, um século antes, interessara também Pacioli, Tartaglia e Cardano. Blaise Pascal (1623-1662)Notável matemático nascido em Clermont (França)que se notabilizou também como filósofo da religião e escritor.

4. Pascal interessou-se, especialmente, pelos problemas relacionados com a divisão correcta dos prémios no caso de um jogo ser interrompido antes do final. Percebeu que eram problemas difíceis e que equivaliam a determinar a probabilidade que cada jogador tem de ganhar, em cada momento, conforme a evolução do jogo. • Pascal decidiu expor as suas reflexões a Fermat e propor-lhe os desafios tal como lhe tinham feito. Escreveu-lhe...Fermat interessou-se também pelo assunto. Numa das cartas trocadas, Fermat responde à terceira dúvida De Maré, demonstrando que a primeira probabilidade é 0.516, enquanto que a segunda é 0.491 (Marques, 1991). • É a sequência de sete cartas com as reflexões conjugadas de ambos, que marca o nascimento histórico da teoria das probabilidades como ciência. À medida que a correspondência se desenrola, vemos nascer os métodos da análise combinatória, na investigação dos diferentes modos pelos quais se pode realizar certo acontecimento.

5. O trabalho desenvolvido não recorreu às ideias de Cardano de um século antes, que permaneceram esquecidas até 1663. É só da troca de cartas sobre estes problemas e sobre outras questões com eles relacionadas, que vai nascer o ponto de partida, ou seja, alguns fundamentos, da moderna teoria das probabilidade. Fermat e Pascal são, então, considerados os fundadores da teoria matemática das probabilidades (Boyer, 1996) • Tanto Pascal, como Fermat não publicaram a sua correspondência, nem os resultados a que chegaram. O impulso definitivo ao nascimento e expansão do cálculo das probabilidades só foi dado em 1957, por Huygens. Estimulado pela leitura da correspondência entre os dois matemáticos, vai publicar um pequeno folheto, o primeiro tratado dedicado exclusivamente, à teoria das probabilidades chamado De rattiociniis in ludo aleae (Sobre o raciocínio nos jogos de azar), onde relata o Começando a ser conhecido o novo domínio das matemáticas, a teoria das probabilidades, avançou rapidamente, despertando o interesse de muitos matemáticos e físicos. Os passos seguintes foram dados por De Witt, em 1671 e por Halley, em 1693, ao construírem tabelas de anuidades e, por Jacques Bernoulli, que escreveu uma obra extensa sobre a teoria das probabilidades, a Ars conjectandi (A arte de conjecturar), que foi publicada em 1713.  Também Abraham de Moivre escreveu sobre probabilidades, principalmente probabilidades condicionadas e publicou a sua obra A doutrina das chances, em 1718. Thomas Bayes também desenvolveu o estudo sobre probabilidades condicionadas e é autor de uma obra que inclui o famoso teorema de Bayes, publicada em 1764. No entanto, à parte do nascimento, as maiores contribuições para o desenvolvimento da teoria das probabilidades devem-se, sem dúvida, ao matemático Laplace (1749-1827).

6. Pascal e Fermat não publicaram as soluções encontradas para os diversos problemas que estudaram.A publicação desses problemas com os respectivos resultados ficou a dever-se a JacquesBernoulli (1654-1705) num livro de edição póstuma intitulado " A Arte da Conjectura" (1713) no qual coligiu todos os problemas conhecidos até então, acompanhados das respectivas soluções, e onde estabeleceu alguns resultados novos entre os quais a "lei dos grandes números". Jacques Bernoulli(1654-1705)

7. A propósito do Cálculo das Probabilidades de Pascal, Laplace escreveu: A teoria das probabilidades, no fundo, não é mais do que o bom senso traduzido em cálculo; permite calcular com exactidão aquilo que as pessoas sentem por uma espécie de instinto. ..É notável que tal ciência, que começou com estudos sobre jogos de azar, tenha alcançado os mais altos níveis do conhecimento humano. Em 1812, Laplace publicou uma importante obra de Teoria Analítica das probabilidades, em que sistematizou os conhecimentos da época e onde se encontra a lei de Laplace. Já no séc. XX, o Cálculo das Probabilidades deu lugar, como veremos mais adiante, a uma teoria matemática dotada de uma axiomática própria, graças sobretudo aos trabalhos de Kolmogorov, publicados em 1933. Este foi um dos matemáticos que adoptaram um novo conceito de probabilidade baseado na experimentação e designado por "conceito frequencista de probabilidade"; por esse facto, os axiomas que Kolmogorov adoptou na construção da sua axiomática são muito semelhantes às propriedades das frequências relativas.

8. Conheçamos um pouco da vida e obra de um grande matemático português, seguidor de Newton, entre outros, que se antecipou na formulação de conceitos matemáticos, como por exemplo o de derivada, a outros matemáticos de renome internacional como Cauchy. José Anastácio da Cunha nasceu em Lisboa em 1744. Em 1773, o Marquês de Pombal, quando reformou a Universidade de Coimbra, tendo conhecimento dos seus méritos, nomeou-o professor da Faculdade de Matemática desta Universidade. A única obra que Anastácio da Cunha deixou impressa foi “ Os princípios Matemáticos”. Quando se percorre pela primeira vez este livro, nota-se com surpresa que o autor, no pequeno espaço de trezentas páginas, refere as primeiras noções de Aritmética e de Geometria, passa pela Teoria das Equações, pela Análise algébrica, pelas Trigonometria plana e esférica, pela Geometria analítica e pelo Cálculo diferencial e integral. José Anastácio da Cunha (1744-1787)

9. No fim do séc. XVI, o comércio e a banca sofreram grande desenvolvimento, o que veio a exigir a resolução de problemas de cálculo numérico cada vez mais complexos. Do mesmo modo, a determinação de alguns dados importantes para a navegação, como longitudes ou a rota mais curta, bem como os problemas de astronomia, constituíram um estímulo decisivo para que alguns matemáticos tivessem dirigido os seus esforços para a procura de novas técnicas simplificadoras daqueles (e de outros) cálculos. Surgiram assim os logaritmos.A primeira obra fundamentada e estruturada sobre logaritmos foi elaborada por John Napier (ou Neper) (1550-1617), barão e proprietário escocês que dedicou algum do seu tempo à matemática e registou os logaritmos com sete casas decimais numa obra (Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio - Descrição da Maravilhosa Regra dos Logaritmos) que publicou em 1614. Ele trabalhou os logaritmos sem dispor das tecnologias que hoje estão ao nosso alcance, mas com a preocupação de simplificar os cálculos. Foi o posterior progresso da Análise que veio a permitir o cálculo de logaritmos por outros processos mais expeditos, como os utilizados pelas calculadoras. John Napier (Neper)(1550–1617 )

10. Nasceu em Praga e foi um dos pioneiros da exigência de total formalização e rigor lógico das demonstrações matemáticas em que, até então, se admitia a introdução de conclusões com base na intuição.É tido como um solitário no seu trabalho que veio a ser, no entanto, retomado e continuado por outros matemáticos notáveis como Cauchy, George Cantor e Richard Dedekind, na linha de uma progressiva formalização e rigor.Num trabalho publicado em 1817, Bolzano apresentou definições rigorosas de função contínua e de derivada de uma função, tendo ainda estabelecido formalmente as relações entre derivabilidade e continuidade de uma função. O estudo analítico da Trigonometria, associado aos números complexos e às fórmulas que actualmente usamos e são conhecidas com o seu nome, foram apresentadas por Moivre em “Miscellanea Analytica” (1730). Em 1739, apresentou o processo de determinação das raízes de índice n de um número complexo a + bi. Bernhard Bolzano(1781-1848)

11. Francês por nascimento, De Moivre teve de abandonar o seu país por motivos religiosos, na sequência da revogação do Édito de Nantes, tendo vivido em Inglaterra a partir I de 1685. Por não ser inglês, foi-lhe sempre negado leccionar nas Universidades, embora tenha sido eleito ainda muito novo para a Royal Society, já que o mérito das suas investigações matemáticas (realizadas a par das aulas particulares que dava para subsistir) foi, desde cedo, reconhecido pela comunidade científica inglesa e, designadamente, pelo próprio Newton, com quem se relacionou.Na sua obra “Doctrine of Changes” dedicou-se ao estudo das leis do acaso, sendo um dos nomes que, no séc. XVIII, aparecem ligados à Teoria das Probabilidades. Abraham De Moivre (1667/1754)

12. Jean-Robert Argand (1768-1822)  No final do século XVIII, em 1797, um topógrafo norueguês, Caspar Wessel, entregou à Academia Dinamarquesa de Ciências e Letras uma Memória, publicada em 1799, "Sobre a representação analítica da Direcção" onde, pela primeira vez, foi apresentada uma representação geométrica dos números complexos. Há qualquer coisa de novo, para além da ideia de coordenadas cartesianas, pois, na J representação que acabámos de referir atrás, todos os complexos da forma O + bi, isto é, todos os imaginários puros, têm representação sobre o eixo Oy. Mas o trabalho de Wessel foi esquecido durante um século e, só alguns anos depois, em 1806, o suiço Jean-Robert Argand (1768-1822) criava, por sua vez, a mesma representação. Foi o seu nome que ficou ligado a ela durante muitas dezenas de anos. Entretanto, Gauss escreveu, numa carta datada de 1811: ". ..da mesma maneira que se pode representar todo o domínio das quantidades reais por meio de uma linha recta indefinida, pode representar-se o domínio complexo de todas as quantidades, as reais e as imaginárias, por meio de um plano indefinido; onde cada ponto determinado pela sua abcissa a e pela sua ordenada b representa, ao mesmo tempo, a quantidade a + bi.

13. Exemplo de um problema Aniversário no mesmo dia   Numa turma de 30 alunos, qual é a probabilidade de haver alunos que façam anos na mesma data? Intuitivamente parece ser mais ou menos de 50%?

14. Resolução Intuitivamente, e atendendo a que um ano tem 365 dias, parece (pelo menos a mim) que a probabilidade de haver alunos que façam anos na mesma data  é inferior a 50%. No entanto a intuição nem sempre é boa conselheira, casos há em que a intuição revela-se desastrosa e muito má conselheira.   Este problema conduz-nos a um resultado surpreendente.  Para o resolver vamos calcular a probabilidade de nenhum dos alunos fazer anos na mesma data. Número de casos favoráveis:   Suponhamos que começamos por perguntar ao nº1 a sua data de nascimento. Ele terá que indicar um dos 365 dias do ano. O aluno nº2  pode ter como data qualquer um dos outros 364 dias, o aluno nº3 pode ter como data de aniversário qualquer um dos outros 363 dias e assim sucessivamente.  Então, o número de casos favoráveis  a  não haver alunos com a mesma data de aniversário é:  365 x 364 x 363 x 362 x  ...  x 336  Número de casos possíveis: Cada um dos alunos pode fazer anos em qualquer um dos 365 dias do ano. Então, o número de casos possíveis é:  Cálculo da probabilidade de nenhum aluno fazer anos na mesma data  Cálculo da probabilidade de pelo menos dois dos alunos fazerem anos na mesma data   Os acontecimentos "nenhum aluno faz anos na mesma data" e "pelo menos dois dos alunos fazem anos na mesma data" são contrários, isto é, a soma das suas probabilidades é igual a 1. Então,  Probabilidade de pelo menos dois fazerem anos na mesma data = 1-0,293684=   = 0,706316 = 70,6316%  Bem acima dos 50%!!!!