1. IL CALCOLO DIFFERENZIALE

2. RAPPORTO INCREMENTALE DEFINIZIONE Sia f: D  R  R , x0 , x0 + h  D, h  R \ 0 Il quoziente RAPPORTO INCREMENTALE di f relativo al punto iniziale x0 e all’incremento h y P2 .  f (x0+h) h0 RI+ destro h0 RI- sinistro f P1 .  f (x0) Ox x0+h x0 x = h Geometricamenterappresenta il coefficiente angolare della retta SECANTE passante per i punti del grafico di coordinate (x0 , f(x0)) e (x0+h, f(x0+h))

3. RAPPORTO INCREMENTALE y f (x2+h) f (x2) . f2    f (x1+h) f1 .  f (x1) x2 O x2+h x1 x1+h x = h x = h Intuitivamente: quanto più RI è elevato in modulo  tanto più la f risulta sensibile a una variazione pari ad “h” in x0 ossia la pendenza della retta aumenta

4. DERIVATA DI UNA FUNZIONE IN UN PUNTO Per determinare la “reattività” in un punto x0 della funzione f rispetto ad una variazione arbitrariamente piccola di h (spostamento INFINITESIMOda x0 ) DEFINIZIONE Una funzione f: D  R  R , si dice DERIVABILE IN UN PUNTO, x0  D, se in tale punto esistono finiti e sono uguali le derivate sinistra e destra: Il valore comune dei 2 limiti si dice DERIVATA della funzione f nel punto x0:

5. Ricordando che: Guardo se esiste il limite con x0 = 1 b3]

7. DERIVATA DI UNA FUNZIONE PROPRIETÀ f è derivabile in x0 se esistono finite ed ugualila derivata destra e sinistra in x0 Se non  x0è un punto di non derivabilità Un punto di non derivabilitàper f è NON APPARTENENTE al dom(f ′) • OSSERVAZIONE • Se x0  D è un punto estremodel dominio D della funzione f • ad esempio D è del tipo [x0, b) o (a, x0], • in x0, che nonè un punto all’internodel dominio, • si può calcolare solo il limite destro o sinistro • per convenzione si dirà in ogni caso che f è derivabile in x0 se • il esiste o • e si porrà: • oppure [x0, b) (a, x0]

8. DERIVATA DI UNA FUNZIONE IN UN PUNTO retta tangente . . f(x0+h) . . h h h h x0+h y . f(x0) Ox x0 0  h Al tendere di h a 0, i due punti si avvicinano e la retta secantetende ad assumere una posizione limite, che prende il nome di retta tangente al grafico nel punto (x0, f(x0)) GEOMETRICAMENTE la derivata di una funzione f in un punto x0 rappresenta il coefficiente angolare della RETTA TANGENTE alla curva y = f(x) in (x0 , f(x0)) RETTA TANGENTE

9. DERIVATA DI UNA FUNZIONE IN UN PUNTO PROPRIETÀ GEOMETRICHE la derivabilità da destra e da sinistra di f in x0 equivalgono all’esistenza di rette tangenti rispettivamente al ramo destro e al ramo sinistro del grafico di f in P(x0 , f(x0)) xo

10. DERIVATA DI UNA FUNZIONE IN UN PUNTO PROPRIETÀ GEOMETRICHE geometricamente, una funzione f è derivabile in x0se:  esiste la retta tangente ad f nel punto x0  è unica  non è una retta verticale

11. DERIVATA DI UNA FUNZIONE IN UN PUNTO una funzione f è derivabile in x0 se esiste la retta tangente ad f in x0 e questa non è una retta verticale derivabile in: - x0 = 0 e - x0 = 1 non derivabile in: - x0 = 1

12. DERIVATA DI UNA FUNZIONE IN UN PUNTO PROPRIETÀ GEOMETRICHE A. f ′ (x0) = 0  tangente ORIZZONTALE B. f ′ (x0) = 1  tangente parallela alla bisettrice del 1° e 3° quadrante ( =45°) C. f ′ (x0) =  (NON ESISTE)  tangente VERTICALE

13. DERIVATA DI UNA FUNZIONE IN UN PUNTO x^3+2*x^2+0.5

14. DERIVATA DI UNA FUNZIONE  OSSERVAZIONE  la funzione f(x) è pari  la funzione f (x) è dispari f(x)=x2

15. DERIVATA DI UNA FUNZIONE OSSERVAZIONE  la funzione f(x) è dispari  la funzione f (x) è pari f(x)= x3

16. DERIVATA DI UNA FUNZIONE       y=0   OSSERVAZIONE  dove la funzione f(x) è crescente  dove la funzione f(x) è decrescente la funzione f (x) è positiva  la funzione f (x) è negativa

17. DERIVATA DI UNA FUNZIONE y=0 OSSERVAZIONE  dove la funzione f(x) è crescente  la funzione f (x) è positiva f(x)= sin(x)+tan(x)

18. DERIVATA DI UNA FUNZIONE y=0 OSSERVAZIONE  dove la funzione f(x) è decrescente  la funzione f (x) è negativa f(x)=  [ sin(x)+tan(x) ]

19. DERIVATA DI UNA FUNZIONE    y=0    OSSERVAZIONE  la funzione f(x) ha un estremo (max o min)  la funzione f (x) si annulla f(x)=(sin(x))2+cos(x)

20. DERIVATA DI UNA FUNZIONE y=0 OSSERVAZIONE  la funzione f(x) è lineare  f(x) non è derivabile in x=0  la funzione f (x) è costante f(x)= |x|

21. ARCO A SESTO ACUTO Esiste una tangente nel vertice dell’arco?

22. DERIVABILITÀ In x0 = 2 esiste una tangente (rossa) se analizzo il comportamento di f a sinistra di x0 = 2 e un’altra tangente (blu) se analizzo il comportamento di f a destra di x0 = 2 in x0 = 2 non esiste una sola tangente  f non è derivabile In tutti gli altri punti x  2esiste unica retta tangente alla funzione, cioè f èderivabile in tutti gli x  2

23. DERIVABILITÀ CONCLUSIONE graficamente f èderivabile in x0 se  esiste una sola retta tangente in x0  e questa nonè una retta verticale

24. ANDAMENTO GRAFICO DELLA FUNZIONE IN x0 e f  (x0) RETTA TANGENTE ORIZZONTALE f  (x0) = 0 y y f  (x0)=0  f(x0)  f(x0) f  (x0)=0 x0 x0 O x O x x0 è un punto di massimo  x I(x0)  xx0  f(x)  f(x0) x0 è un punto di minimo  x I(x0)  x x0  f(x)  f(x0)

25. ANDAMENTO GRAFICO DELLA FUNZIONE IN x0 e f  (x0) RETTA TANGENTE y=x f  (x0)=1 y  f(x0) f  (x0)=1 4 x0 x O la retta tangente alla curva in x0 è parallela alla bisettrice del 1° e 3° quadrante

26. DALLA DERIVABILITÀ ALLA CONTINUITÀ TEOREMA Sia f una funzione f: D  R  R se f è derivabile in x0  f è CONTINUA in x0

27. DALLA DERIVABILITÀ ALLA CONTINUITÀ • ATTENZIONE • Mentre la derivabilità implica la continuità non vale il contrario: • la derivabilità è più forte della continuità • la continuità è necessaria alla derivabilità ma non sufficiente • può succedere che una funzione sia continua in un punto • ma non derivabile FUNZIONI CONTINUE FUNZIONI DERIVABILI

28. DALLA DERIVABILITÀ ALLA CONTINUITÀ MA NON VICEVERSA FUNZIONI CONTINUE MA NON DERIVABILI IN UN PUNTO

29. DALLA DERIVABILITÀ ALLA CONTINUITÀ MA NON VICEVERSA

30. PUNTI DI NON DERIVABILITÀ • un punto di non derivabilità per f è un punto che • NON appartiene al dom(f ′) • i punti in cui questo accade possono essere: •  punti di flesso a tangente verticale •  punti angolosi •  punti cuspidali

31. PUNTO ANGOLOSO • x0  dom(f) e in x0 f è continua • è PUNTO ANGOLOSO per f se •  esisitono derivata destra e sinistra di f in x0 diverse •  almeno una delle due è finita le tangenti a destra e a sinistra formano un angolo in un punto angoloso la funzione è continua ma non derivabile

32. DALLA DERIVABILITÀ ALLA CONTINUITÀ ESEMPIO: considerando i rapporti incrementali destro e sinistro in x0=0 La funzione f=|x| è continua in x0=0 ma non è derivabile PUNTO ANGOLOSO

33. PUNTO A TANGENTE VERTICALE x0∈ dom(f) è punto a tangente verticale per f se  esistono derivata destra e sinistra di f in x0  entrambe infinite  e di segno concorde y y f(x0) f(x0)   f  (x0)= f  (x0)=+ x0 x0 O x O x in x0 c’è un flesso verticale discendente in x0 c’è un flesso verticale ascendente in un punto a tangenza verticale la funzione è continua ma non derivabile

34. CUSPIDE x0∈ dom(f) è punto a tangente verticale per f se  esistono derivata destra e sinistra di f in x0  entrambe infinite  e di segno discorde in un punto di cuspide la funzione è continua ma non derivabile

35. CLASSIFICAZIONE DEI PUNTI DI NON DERIVABILITÀ CUSPIDE ESEMPIO: considerando i rapporti incrementali destro e sinistroin x0=0

36. CLASSIFICAZIONE DEI PUNTI DI NON DERIVABILITÀ CUSPIDE

37. CALCOLO DELLE DERIVATE

38. DERIVATE DI FUNZIONI ELEMENTARI • Il procedinmento da seguire per determinare la derivata di una funzione • si scrive il rapporto incrementale • si semplifica o si manipola fino a portare il RI ad una forma “utile” • si calcola il limite del rapporto incrementale per h  0

39. DERIVATA DI FUNZIONI COSTANTI f(x) = k RI:  Il RI di una funzione costante è sempre nullo  il limite del RI per h  0 vale 0 la derivata prima di una funzione costante è sempre nulla Graficamente una funzione costante ha per grafico una retta orizzontale  tutte le rette tangenti coincidono con questa retta orizzontale (coefficiente angolare m=0) Vale anche il viceversa: una funzione derivabile con derivata identicamente nulla su di un intervallo è necessariamente costante su quell’intervallo se f : R  R : f (x)=0  x  I  R  f(x)=k xI

40. DERIVATA DI FUNZIONI COSTANTI f(x) = k

41. DERIVATA DI FUNZIONI LINEARI f(x) = mx + q RI:  il RI di una funzione lineare non dipende né da h né da x : è sempre nullo  il limite del RI per h  0 vale m le funzioni lineari sono derivabili e la loro derivata prima è pari al coefficiente angolare m Tutte le rette secanti e quindi anche le rette tangenti ad una qualsiasi retta nel piano coincidono con la retta stessa  devono avere lo stesso coefficiente angolare m

42. DERIVATA DI FUNZIONI LINEARI f(x) = mx + q

43. DERIVATA DI FUNZIONI QUADRATICHE Una funzione quadratica può essere interpretata come la somma di una funzione potenza ax2 e di una funzione lineare bx+c applicando la definizione di derivata si ottiene:

44. DERIVATA DI FUNZIONI QUADRATICHE OSSERVAZIONI la derivata della funzione quadratica ha le seguenti proprietà: si annulla nel vertice  nel vertice ha tangente orizzontale f (xV)=0 f<0 per x<xV  dove f decresce f>0 per x>xV  dove f cresce 3. f è crescente sse il grafico di f è convesso f decresce sse il grafico di f è concavo

45. CALCOLO DI DERIVATE

46. DERIVATA DELLA FUNZIONE POTENZA si applica il limite notevole ESEMPI

47. CALCOLO DI DERIVATE

48. DERIVATA DEL LOGARITMO

49. DERIVATE Formulario online delle derivate fondamentali http://www.math.it/formulario/derivate.htm

50. DERIVATA COME VELOCITÀ ISTANTANEA