IAR134 Procesamiento de Señales

1. IAR134Procesamiento de Señales Introducción al Proceso Digital de Señales (DSP) y sus Aplicaciones Dr. Juan José Aranda Aboy

2. Contenido • ¿Qué es una Señal? • ¿Por qué “procesar” señales? • Tiempo continuo y discreto • Tipos de señales: • Determinísticas, • Estocásticas, • Fractales y • Caóticas • ¿Qué es Ruido? • Aplicaciones comunes. Dr. Juan José Aranda Aboy

3. Objetivos • Definir en qué consiste el DSP. • Indicar para qué se debe utilizar y cuáles son los pasos fundamentales en el DSP. • Describir los elementos que forman un sistema de DSP. • Referenciar las principales aplicaciones del DSP. Dr. Juan José Aranda Aboy

4. Sistemas • Este concepto se utiliza para describir mediante modelos, principalmente matemáticos, los diferentes procesos físicos, químicos, biológicos ó sociales que ocurren. • Los sistemas están integrados por varios elementos ó dispositivos mediante interconexiones grandes y complejas. • Los elementos que conforman el sistema cumplen, por lo general, diferentes funciones dentro del mismo. Dr. Juan José Aranda Aboy

5. Ejemplos de sistemas Naturales Construidos por los seres humanos Las Naciones Unidas El Televisor Internet La Bolsa de Negocios La Universidad El Automóvil Una Fábrica Un Robot … • El Universo • La Galaxia • El Sistema Solar • La Tierra • El Cuerpo Humano • La Célula • La Molécula • El Átomo • … Dr. Juan José Aranda Aboy

6. Estático Periódico Invariante en el tiempo Lineal Determinístico Estable Causal Dinámico Aperiódico No Lineal Probabilístico (Aleatorio) Caótico Auto semejante (Fractal) Clasificaciones de los Sistemas En base a sus características, se ubican en categorías no necesariamente excluyentes entre si. Algunas categorías típicamente utilizadas son: Dr. Juan José Aranda Aboy

7. Información • Está formada por “mensajes” sobre los eventos relativos a los procesos que tienen efecto en el interior de los sistemas y en su relación con el entorno que les rodea. Dr. Juan José Aranda Aboy

8. Teoría de la Información • Se ocupa de la estimación cuantitativa acerca de cómo se comunica, o sea, como se transmite la información en el espacio y en el tiempo. • Se basa en estudiar las señales emitidas por un sistema. Dr. Juan José Aranda Aboy

9. Señales • Son funciones que describen la variación a través del tiempo de las variables dentro de un proceso. • Cada señal brinda información acerca del estado en que se encuentra una determinada condición de dicho proceso en estudio. Ejemplos: • El cambio en la temperatura de un cuerpo, • La posición de una válvula, • Etc. Dr. Juan José Aranda Aboy

10. Sistemas y Señales Para su estudio, los sistemas se definen en términos de la relación a través del tiempo que se establece entre dos vectores de señales, uno de entrada y otro de salida. SISTEMA Función de Transferencia H(t) Vector de Señales a la Entrada X(t) Vector de Señales a la Salida Y(t) Dr. Juan José Aranda Aboy

11. Interacción entre señales y sistemas • Puede comprenderse mejor si se considera que el vector de señales a la entrada se propaga a través del sistema y emerge como el vector de señales a la salida. • Desde este punto de vista, el sistema cambia la señal de entrada cuando dicha señal se propaga a través del mismo: realiza una Función de Transferencia. • El interés se centra en caracterizar el cambio en las propiedades de la señal utilizando las propiedades del sistema, lo cual es muy importante en muchos procesos. Dr. Juan José Aranda Aboy

12. Interconexiones de sistemas y señales • Muchos procesos son muy complejos y constan de muchas componentes interrelacionadas. • Para describir estos complicados procesos, es útil pensarles como si estuviesen compuestos de muchos sistemas interrelacionados que envían sus correspondientes señales. • Existen varias formas de combinar señales: Dr. Juan José Aranda Aboy

13. Ejemplos de combinaciones Aditiva Multiplicativa Dr. Juan José Aranda Aboy

14. Ejemplo de interconexiones Conexión en Serie ó Cascada H1 H2 Conexión en Paralelo H1 H2 Dr. Juan José Aranda Aboy

15. Teoría de Señales Existen varios motivos para estudiar señales: • Modelado: Para desarrollar una descripción del comportamiento del proceso observado. • Análisis: Para obtener información del proceso a partir de las señales que entrega. • Diseño: Cumple dos propósitos: • Asociar una señal con su contenido informativo, y • Determinar y predecir la forma de la señal que se propagará a través de un sistema. Dr. Juan José Aranda Aboy

16. Señales y sistemas en tiempo continuo • Una señal es una función que describe como se desarrolla una variable en el tiempo. • Los sistemas donde el tiempo se modela utilizando números reales se denominan sistemas en tiempo continuo. • Se relaciona directamente con muchos procesos físicos de la realidad cotidiana: voltaje, corriente, posición, velocidad, presión, temperatura, etc. Dr. Juan José Aranda Aboy

17. Señales y sistemas en tiempo discreto • Los sistemas donde el tiempo se modela utilizando números enteros se denominan sistemas en tiempo discreto. • Estas señales se denominan también secuencias. • Estas señales NO son tan familiares. Dr. Juan José Aranda Aboy

18. Comentario acerca de las señales y sistemas en tiempo discreto • Se relacionan directamente con procesos tales como la variación de la cotización de acciones en la bolsa de valores, etc. • Sin embargo, para nuestro estudio son importantes, debido a que los computadores digitales procesan datos secuenciales en pasos discretos, lo que se modela naturalmente mediante señales y sistemas en tiempo discreto. Dr. Juan José Aranda Aboy

19. Continua Discreta Ejemplos de Señales Las siguientes gráficas muestran la función seno: Dr. Juan José Aranda Aboy

20. Clases de Señales Dr. Juan José Aranda Aboy

21. Procesamiento de Señales • Brinda un marco de trabajo sólido para conceptuar y analizar la conducta de los sistemas de manera organizada y coherente. • Puede realizarse de dos formas: • Analógico: Si las señales se procesan de forma continua en el tiempo, aunque los valores de cada señal individual pueden ser continuos ó discretos. • Digital: Cuando las señales se procesan utilizando técnicas discretas, numéricas, para lo cual se emplean muestras digitalizadas con un período fijo, en valores de tiempo bien determinados; y cuantificadas en niveles de valores discretos de amplitud ó intensidad predefinidos. Dr. Juan José Aranda Aboy

22. Tipos de Procesamiento Principalmente se realizan las siguientes tareas: • Análisis del Espectro de Frecuencias • Filtrado.- Para eliminar ó suavizar el ruido que se introduce durante el proceso de adquisición de la señal y que puede originarse por múltiples fenómenos tales como: movimientos, interferencia electromagnética, otros fenómenos ajenos al que se mide, etc. • Detección de características.- Para contribuir al diagnóstico del estado de un sistema. • Compresión.- Para ocupar menos espacio de almacenamiento y menor tiempo en la transmisión de información útil. Dr. Juan José Aranda Aboy

23. Ejemplo: Filtrado Dr. Juan José Aranda Aboy

24. Ejemplo: Detección de características • Algoritmo utilizado: • Obtener la primera derivada de la señal: Sus ceros indican los Puntos de Inflexión. • Calcular la segunda derivada: Sus mínimos indican los valores máximos de la función. Dr. Juan José Aranda Aboy

25. Posiciones de los "peaks" encontradas 80 271 454 644 825 Dr. Juan José Aranda Aboy

26. Ejemplo: Compresión Dr. Juan José Aranda Aboy

27. Ruido • Se considera ruido a todas las perturbaciones que interfieren sobre las señales transmitidas o procesadas. • Los orígenes del ruido son múltiples. Sistema Señal a la Entrada Señal a la Salida Perturbación Ruido Dr. Juan José Aranda Aboy

28. Ejemplo de ruidos en procesos físicos • movimiento desordenado de las partículas elementales, • agitación térmica de las moléculas, • producido por fuentes tales como contactos defectuosos, artefactos eléctricos, radiación por ignición y alumbrado fluorescente, • errático producido por fenómenos naturales tales como tormentas eléctricas con relámpagos y rayos, eclipses y otros disturbios en las atmósfera o fuera de ella como las manchas solares. Dr. Juan José Aranda Aboy

29. Aplicaciones del Procesamiento de Señales Algunas aplicaciones actuales del Procesamiento de Señales son: • el espacio: Análisis inteligente de los cuerpos celestes mediante sondas espaciales, mejoramiento de fotografías, etc. • el comercio y la economía: Predicción de las variaciones de la bolsa, video conferencias, etc. • las telecomunicaciones y el entretenimiento: Internet, video juegos, telefonía móvil, etc. • la industria: Prospección minera y de combustibles fósiles, supervisión y control de procesos industriales, validación no destructiva de la calidad de los productos, etc. • la esfera militar: Radar, Sonar, conducción remota de armamento, etc. • la investigación científica: Grabación y análisis de terremotos, análisis espectral de compuestos, etc. • los cuidados de salud: Equipos para ayuda al diagnóstico, a la terapia y a la rehabilitación; Almacenamiento de estudios realizados a los pacientes, etc. • y otras múltiples en constante desarrollo e innovación ... Dr. Juan José Aranda Aboy

30. Conversión de señales en tiempo continuo a señales en tiempo discreto • Para poder procesar señales en tiempo continuo utilizando sistemas en tiempo discreto y viceversa se necesita realizar un proceso de conversión de la información. • Si lo que se desea es llevar una señal continua a digital el proceso es llamado Conversión Analógico - Digital (ADC). • Si se desea lo contrario, el proceso es llamado Conversión Digital – Analógica (DAC). Dr. Juan José Aranda Aboy

31. Conversión Analógico - Digital (ADC) • Para procesar señales en tiempo continuo utilizando sistemas en tiempo discreto se necesita realizar la Conversión Analógico - Digital (ADC), que consta de dos partes: • Muestreo y retención (Sampling and Hold –S/H) y • Cuantificación Dr. Juan José Aranda Aboy

32. Muestreo (Presentación del tópico) • Consiste en tomar valores de la señal a intervalos de tiempo fijos, o sea, con un período T dado. • Comúnmente se utiliza también el término frecuencia de muestreo, que equivale al inverso del período:  = 1/T y se mide en hertzios(Hz). Dr. Juan José Aranda Aboy

33. Teorema del Muestreo (Nyquist) “Una señal continua sólo puede ser muestreada apropiadamente si y solamente si no contiene componentes de frecuencia por encima de la mitad de la razón de muestreo.” Establece que para lograr la apropiada reconstrucción de una señal analógica a partir de una señal muestreada, se necesita que dicho muestreo se haya realizado al menos al doble de la máxima frecuencia existente en la señal analógica original. Dr. Juan José Aranda Aboy

34. Muestreo apropiado Estas muestras NO contienen toda la información necesitada para reconstruir la señal. Estas muestras SI contienen toda la información necesitada para reconstruir la señal. Dr. Juan José Aranda Aboy

35. Cuantificación • Proceso mediante el cual se convierte de una amplitud infinitamente precisa a un valor digital expresado comúnmente en el sistema binario de numeración. • Se toman valores en intervalos de amplitud ó intensidad fijos, a partir de un nivel prefijado conocido como “Bit Menos Significativo (LSB)”. • Su unidad depende del tipo de sistema que entrega la señal: • voltios si es tensión eléctrica, • amperes si se trata de intensidad de la corriente eléctrica, • etc. Dr. Juan José Aranda Aboy

36. Resumen del proceso de digitalización • Las partes de este proceso son: • Muestreo y Retención (Sampling and Hold - S/H). • Conversión Analógica a Digital (ADC) : Este proceso ocupa un tiempo conocido como “Tiempo de Conversión”. Error de Cuantificación Dr. Juan José Aranda Aboy

37. Conversión digital – analógica (DAC) • Es la conversión necesaria para poder reconstruir una señal en tiempo continuo a partir de una señal (secuencia) en tiempo discreto. Dr. Juan José Aranda Aboy

38. Herramientas matemáticas • Teoría de Funciones con variables reales y con variables complejas. • Álgebra Lineal: Teoría de Matrices, incluida la solución de sistemas de ecuaciones lineales, así como el cálculo de autovalores y autovectores de una matriz. • Transformaciones ortogonales: de Laplace, de Fourier, Z, Gabor, Wavelets, etc. Dr. Juan José Aranda Aboy

39. Funciones reales • Una función real es una regla ó aplicación (mapping) de un intervalo ó subconjunto de los números reales en otro intervalo. • Se denomina dominio ó conjunto de partida de la función al intervalo en que se define. • Se denomina rango ó conjunto de llegada al intervalo en que toma valores la función. • Una función es: • par si x(t) = x(-t) ej: cos(t) y abs(t) • impar si x(t) = -x(-t) ej: sin(t) y x(t)=t Dr. Juan José Aranda Aboy

40. Funciones comunes • Impulso unitario: Aδ(t-t0) (Delta de Dirac) • Paso ó escalón unitario: us(t) • Rampa unitaria: rp(t) • Pulso unitario: П(t) • Triángulo ó “diente de sierra”: Λ(t) Dr. Juan José Aranda Aboy

41. Otras funciones comunes • Exponencial (exp): • Logaritmo natural(ln): • Logaritmo en base 10(log): • Sinusoidales, con sus parámetros: • A-amplitud, • ω-frecuencia de la sinusoide y • ф- fase • Sincronismo(sinc): • Signo(sgn): Dr. Juan José Aranda Aboy

42. Función Sa Dr. Juan José Aranda Aboy

43. Funciones en tiempo discreto • Una función discreta es aquella que localiza los números enteros dentro del conjunto de los números reales. • Se escribe f(n), para n entero. • Una secuencia de números se representa por an, para n=1,2,3,… y puede corresponder a los valores de una función discreta si f(n)=an Dr. Juan José Aranda Aboy

44. Truncamiento • Una secuencia f(n) es: • truncada a la derecha si f(n) = 0 para todo n < n0 < ∞ • truncada a la izquierda si f(n) = 0 para todo -∞ < n1 < n • de longitud finita si f(n) = 0 para todo n < n0 ≤ n1 < ∞ Dr. Juan José Aranda Aboy

45. Funciones discretas comunes • Impulso unitario discreto • Paso unitario • Exponencial • Sincronismo • Sa • Pulso • Sinusoidal Ejercicio: Describir estas funciones. Dr. Juan José Aranda Aboy

46. Números complejos • Un número complejo s se define como s = σ+ jω donde: σ y ω son números reales, y j = √-1 (raíz cuadrada de -1) • Esta es la representación rectangular ó cartesiana, y σ = Re(s), y ω = Im(s) son su parte real y su parte imaginaria respectivamente. Dr. Juan José Aranda Aboy

47. Representación gráfica y operaciones • Se asocia s = σ+ jω al par ordenado (σ, ω) del plano real. • Las reglas de la suma y resta corresponden con las de suma y resta de vectores. • Los vectores pueden representarse también en coordenadas polares: σ = ρ cos(θ) y ω = ρ sin(θ) ρ = √(σ 2 + ω2) y θ = atan(ω / σ) Dr. Juan José Aranda Aboy

48. Exponencial e Identidad de Euler • Para un número complejo r = s + jt, la función exponencial se calcula como er = e(s+jt) = es(cos(t)+j sin(t)) • La ecuación ejt = cos t + j sin t es llamada Identidad de Euler, y proporciona la representación polar de un número complejo: r = p ejt Dr. Juan José Aranda Aboy

49. Magnitud y Fase • Dado el número complejo s = ρ ejθ, su valor absoluto ó módulo se define como: donde σ = Re(s) y ω = Im(s) • La magnitud de s es su valor absoluto: ρ • El ángulo ó fase de s es θ Dr. Juan José Aranda Aboy

50. Ejemplos • El número complejo 5ej(0.52) en representación polar corresponde a 4.3 + j2.5 en representación cartesiana. • El número 1 + j4 en representación cartesiana rectangular corresponde a (√17)ej1.33 en representación polar. Dr. Juan José Aranda Aboy