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Une nouvelle méthode de simulation : Stratification Directionnelle Adaptative GdR MASCOT-NUM du 18/03/2009

Une nouvelle méthode de simulation : Stratification Directionnelle Adaptative GdR MASCOT-NUM du 18/03/2009. J. Garnier, M. Munoz Zuniga [ miguel-externe.munoz-zuniga@edf.fr ] E. Remy, E. de Rocquigny, A. Arnaud. Tenants et Aboutissants. Objectifs du travail de thèse.

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Une nouvelle méthode de simulation : Stratification Directionnelle Adaptative GdR MASCOT-NUM du 18/03/2009

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  1. Une nouvelle méthode de simulation : Stratification Directionnelle Adaptative GdR MASCOT-NUM du 18/03/2009 J. Garnier, M. Munoz Zuniga [ miguel-externe.munoz-zuniga@edf.fr ] E. Remy, E. de Rocquigny, A. Arnaud

  2. Tenants et Aboutissants

  3. Objectifs du travail de thèse Concevoir et développer mathématiquement une méthode de simulations stochastiques : • Robuste • Rapide • Adaptée à l’estimation de faibles probabilités • Utilisable sur des « modèles complexes » Dans le but : • D’estimer efficacement, la probabilité de défaillance • de composants « fiables mais sensibles » d’unités de production d’électricité • (la cuve d’une centrale nucléaire) • De réutiliser cette méthode sur d’autres composants ou problématiques Table des matières Miguel Munoz Zuniga

  4. Contexte 1) Composant complexe à défaillance catastrophique 2) Cuve de la centrale nucléaire 3) Présentation du problème 4) Présentation de notre réponse

  5. 2.1 Exemples de composants complexes à défaillance catastrophique Existence de multiples composants complexes à défaillance aux conséquences catastrophiques : jumbo-jet, barrage, plate-forme marine, centrale nucléaire... Table des matières Miguel Munoz Zuniga

  6. 2.2 Cas de la centrale nucléaire Table des matières Miguel Munoz Zuniga

  7. 2.3 La cuve : un composant essentiel sous fortes contraintes • Situation normale : • Contrainte de pression : 155 bar • Irradiation de la cuve • Situation extrême : • Micro-défaut de fabrication • Choc thermique : injection de liquide de • refroidissement à environ 10°C dans un liquide à • environ 300°C Quelles est la probabilité de défaillance dans ce cas extrême ? Quelles sont les caractéristiques de ce genre de problèmes ? Table des matières Miguel Munoz Zuniga

  8. 2.4 Problèmes de type « cuve » : variables en jeu dans l'événement menant à la défaillance Proba. de défaillance = S X2 R-S<0 G(X1,X2)<0 • Pour la cuve : • le modèle physique est complexe • la défaillance est un événement rare • G est monotone par rapport à certaines • variables R X1 500 à 1000 appels à la fonction maximum - Estimation contrôlée de faibles probabilités sur des modèles physiques complexes - Table des matières Miguel Munoz Zuniga

  9. 2.5 Axes de la présentation Présentation d’une nouvelle méthode de simulation présentant : • Les avantages de la méthode de simulation directionnelle et de la • méthode de stratification • Les avantages d’une méthode adaptative à 2 étapes non-séquentielle • permettant un parallélisation partielle • Des résultats avec contrôle sur l’erreurd’estimation Table des matières Miguel Munoz Zuniga

  10. Les Bases 1) Méthodes FORM-SORM 2) Méthode de Monte Carlo standard 3) Méthodes de Monte Carlo accélérées 4) Méthode de Stratification 5) Méthode de Simulation Directionnelle

  11. 3.1 Méthodes FORM-SORM • Méthodes analytiques : FORM-SORM • Passage espace Gaussien • (transformation de Rosenblatt) • Recherche design point • Approximation Analyse : • Temps de calcul raisonnable • Efficacité dépend de la géométrie de la surface de défaillance • Pas de contrôle de l’erreur • Problème lié à la recherche du design point • (convergence de l’algorithme non garantie) • Problème lié à l’existence de plusieurs design points - Estimation contrôlée de faibles probabilités sur des modèles physiques complexes - Table des matières Miguel Munoz Zuniga 13 10 juin 2014

  12. 3.2 Méthode de Monte Carlo standard Intervalle de confiance 1) La loi forte des grands nombres Analyse : • Pas d’hypothèse de régularité • Contrôle de l’estimation • Temps de calcul proportionnel au • nombre de tirages • Si besoin de tirages • pour avoir un coefficient de variation de • 10% (k suffisamment grand) 2) Théorème centrale limite - Estimation contrôlée de faibles probabilités sur des modèles physiques complexes - Table des matières Miguel Munoz Zuniga 14 10 juin 2014

  13. . . . . . . . Stratification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Méthodes de MC accélérées : bref aperçu . . . . . . . Tirage sur maillage . . . . . . . . . Monte Carlo standard . . . Hypercube Latin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Simulation Directionnelle Table des matières Miguel Munoz Zuniga

  14. 3.4 Méthode de Stratification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Estimateur Déterminer le nombre de simulations par strate optimum pour que la variance de l’estimateur soit minimum Solution Problème Nombre de tirages total Table des matières Miguel Munoz Zuniga

  15. 3.5 Passage à l’espace gaussien Densité gaussienne centrée réduite n-dimensionnelle Transformation de Rosenblatt Espace gaussien invariant par rotation G g Transformation Table des matières Miguel Munoz Zuniga

  16. 3.6 Méthode de Simulation Directionnelle : la méthode classique (1/2) On se place dans l’espace gaussien, puis on utilise un autre point de vue pour estimer Loi Normale à déterminer : Loi du Chi 2 Uniforme Sphère unité A Loi Normale Table des matières Miguel Munoz Zuniga

  17. 3.6 Méthode de Simulation Directionnelle : la méthode classique (2/2) Ce qui donne le nouvel estimateur : Sous réserve de savoir calculer ce terme Graphiquement Réduction : • Réduction de variance par rapport à Monte Carlo standard • Estimateur de la variance de l’estimateur Conclusion : • Mais des erreurs sont commises lors de la recherche des zéros • Etude menée de l’impact sur les estimateurs (Cf. Annexe) Table des matières Miguel Munoz Zuniga

  18. StratificationDirectionnelle Adaptative 1) Illustration graphique du principe 2) Expression du problème et optimisation 3) Présentation générale de 2-SDA 4) Étude des estimateurs proposés 5) Choix des estimateurs pertinents 6) Généralisation : L-SDA

  19. 4.1 Illustration graphique Nombre de quadrants : Nombre de tirages : Étape 1 : Stratification Directionnelle (par quadrant) Étape 2 : Stratification Directionnelle Adaptative Table des matières Miguel Munoz Zuniga

  20. 4.2 Stratification dans l'espace directionnel (1/2) Application : Il faut être capable de calculer ce terme Table des matières Miguel Munoz Zuniga 22 10 juin 2014

  21. 4.2 Optimisation du nombre de tirages par strate (2/2) On se donne a priori m réels tels que tirages dans le quadrant i et on réalise Déterminer le nombre de simulations par strate optimum pour que la variance de l’estimateur soit minimum Problème Résolution Variance minimum associée Finalement : Résultat sur la stratification + sur la simulation directionnelle Table des matières Miguel Munoz Zuniga

  22. 4.3 Stratification directionnelle 2- adaptative • On commence par choisir et le pourcentage • de tirages par quadrant a priori (2) On réalise un premier jeu de simulations dans chaque quadrant avec les premiers tirages par quadrant (3) On estime la proportion de tirages optimum par strate avec les premiers tirages (4) On estime la probabilité de défaillance par stratification directionnelle classique avec les estimés Ici se pose la question du recyclage ou non recyclage des premières simulations : plusieurs estimateurs sont proposés Table des matières Miguel Munoz Zuniga

  23. 4.4 Étude des estimateurs proposés (1/3) Avec Recyclage : Sans Recyclage : Table des matières Miguel Munoz Zuniga 25 10 juin 2014

  24. 4.4 Étude des estimateurs proposés (2/3) Avec Recyclage : Estimateur biaisé Variance conditionnelle aux premiers tirages Variance minimale obtenue pour une allocation optimale Résultat asymptotique : Résultat asymptotique : Miguel Munoz Zuniga 26 10 juin 2014

  25. 4.4 Étude des estimateurs proposés (3/3) Sans Recyclage : Estimateur non biaisé Variance conditionnelle Variance conditionnelle Résultat asymptotique Table des matières Miguel Munoz Zuniga 27 10 juin 2014

  26. 4.5 Choix des estimateurs pertinents Conclusion : L’estimateur avec recyclage est biaisé avec un biais difficile à corriger L’ordre de grandeur du nombre de simulations réalisable étant faible on ne peut considérer ce biais négligeable Il paraît donc plus raisonnable d’utiliser dans notre cadre l’estimateur sans recyclage Nous perdrons certes un facteur sur la variance, mais celui-ci pourra être négligeable au vu de la précision recherchée On peut proposer des intervalles de confiance via une estimation empirique de la variance Table des matières Miguel Munoz Zuniga 28 10 juin 2014

  27. 4.6 Stratification directionnelle L-adaptativeet∞-adaptative (1/5) • Apprentissage « continu » : On fixe le nombre d’étapes d’adaptation et on effectue une étude asymptotique en n (nombre total de simulations) … On effectue une étude asymptotique en n et en nombre d’étapes d’adaptation Table des matières Miguel Munoz Zuniga 29 10 juin 2014

  28. 4.6 Stratification directionnelle L-adaptative (2/5) … • On commence par choisir (et le pourcentage • de tirages par quadrant a priori) (2) On réalise un jeu de simulation dans chaque quadrant avec les tirages par quadrant (3) On estime la proportion de tirages optimum par strate avec les tirages (recyclage possible) et on réitère (4) On estime la probabilité de défaillance par stratification directionnelle classique avec les estimés Table des matières Miguel Munoz Zuniga

  29. 4.6 Stratification directionnelle L-adaptative (3/5) Nombre de tirages dans la strate i jusqu’à l’étape k : Nombre de tirages réalisé à l’étape k : … Résultat asymptotique : Estimateur : Table des matières Miguel Munoz Zuniga

  30. 4.6 Stratification directionnelle ∞-adaptative (4/5) Nombre de tirages dans la strate i jusqu’à l’étape k : Nombre de tirages jusqu’à l’étape k : Résultat asymptotique : Estimateur : Table des matières Miguel Munoz Zuniga

  31. 4.6 Stratification directionnelle L-adaptativeet∞-adaptative (5/5) Conclusion : Le cadre L-adaptatif pour L>2 est trop coûteux en appels à la fonction de défaillance De plus, le fait que les strates soient fixes ne permet pas de tirer totalement profit d’une multi-adaptation Avec notre choix de strates fixes, nous constatons que L-SDA pour L>2 n’apporte pas de nette amélioration sur l’estimation Table des matières Miguel Munoz Zuniga 33 10 juin 2014

  32. 2-SDA : Applications 1) Exemple académique 2) Application au modèle « Crue » 3) Application au modèle « Cuve »

  33. 5.1 Résultats numériques sur une surface de défaillance hyperplane + p=2 pf=10-7 n=1000 nombre simulations=1000 Table des matières Miguel Munoz Zuniga

  34. 5.2 Modèle « Crue » Modèle : • Nous allons comparer les résultats obtenus par les méthodes suivantes : • Monte-Carlo Standard • Réduction de la dimension par rapport soit à Q soit à Ks • Simulation Directionnelle • 2-SDA • Tirage d’importance : tirages gaussiens autour du point de conception (FORM) Rq  pour la suite : AG = Appels à G Miguel Munoz Zuniga

  35. 5.2 Modèle « Crue » : illustration du caractère asymptotique (1/2) On réalise c=1000 calculs de notre estimateur avec n=1000 directions simulées (200-800). On peut ainsi avoir une bonne idée de la vrai variance de notre estimateur et la comparer à la variance asymptotique optimum que nous avons déterminée pour une allocation optimum des tirages directionnelles par strate K = nbre étapes de dichotomie = 4 Nbre AG = 6600 En moyenne 6.6 AG par direction Sigma-Real = 6.1*10-4 Sigma-Opt = 4.7*10-4 Table des matières Erreur = Estimateur- proba défaillance Miguel Munoz Zuniga Miguel Munoz Zuniga 37 10 juin 2014

  36. 5.2 Modèle « Crue » : illustration du caractère asymptotique (2/2) c = 1000 n = 5000 K = 5 Nbre AG = 40000 En moyenne 8 AG par direction Sigma-Real = 2.46*10-4 Sigma-Opt = 2.28*10-4 Table des matières Miguel Munoz Zuniga

  37. 5.2 2-SDA : résultats numériques « Crue » Worst Best Rq 2 : On a environ N.A.G = 6.8*N.S, donc en moyenne 6.8 appels par direction pour SDA Rq 3 : Ici on pourrait coupler réduction de la dimension avec SDA Table des matières Miguel Munoz Zuniga

  38. 5.2 2-SDA : résultats numériques « Crue » Attention pas encore en asymptotique • Ordre de grandeur de la probabilité estimée correcte vis-à-vis du faible nombre • de simulations - résultat équivalent à un calcul FORM-SORM en terme d’ordre de grandeur • Mais forte variabilité due au faible nombre de tirages : l’intervalle de confiance n’est pas • totalement à 95%. Table des matières Miguel Munoz Zuniga

  39. 5.3 2-SDA : résultats numériques « Cuve » Modèles et résultats numériques présentés à titre d’exploration scientifique, ne pouvant en aucun cas être utilisés pour tirer des conclusions sur la sûreté des ouvrages La probabilité de défaillance étudiée étant conditionnelle à un événement initiateur dont l’ordre de grandeur conventionnel de probabilité d’occurrence est < 10-4, toutes les valeurs de probabilités présentées doivent être multipliées par autant toutes les probabilités doivent être multipliées par 10-4 • Ordre de grandeur de la probabilité estimée correcte vis-à-vis du faible nombre • de simulations - résultat équivalent à un calcul FORM-SORM en terme d’ordre de grandeur • Pour une même longueur d’intervalle de confiance, SDA permet de réduire d’un facteur 5 • le nombre d’appels à la fonction par rapport à SD • Mais forte variabilité due au faible nombre de tirages : l’intervalle de confiance n’est pas • totalement à 95% Table des matières Miguel Munoz Zuniga 41 10 juin 2014

  40. 6. Perspectives • Comparaison et/ou combinaison avec autres méthodes adaptatives • Etude bootstrap • Méthodes à noyau Table des matières Miguel Munoz Zuniga

  41. Remerciements Merci pour votre attention! Table des matières Miguel Munoz Zuniga 43 10 juin 2014

  42. Annexes

  43. Annexe : point de vue tirage préférentiel (1/2) p=2 Table des matières Miguel Munoz Zuniga

  44. Annexe : point de vue tirage préférentiel (2/2) Table des matières Miguel Munoz Zuniga

  45. Annexe : résultats recherche de zéros (1/3) Dichotomie bmax r1 bmin Table des matières Miguel Munoz Zuniga

  46. Annexe : résultats recherche de zéros (2/3) Contrôle sur le biais de l’estimateur intégrant les erreurs commises lors de la recherche de zéros Dichotomie b SI : r1 r2 Résolution Optimisation : k-ième étape = dichotomie dans i-ième direction doit vérifier (*) Critère d’arrêt : Table des matières Miguel Munoz Zuniga

  47. Annexe : résultats recherche de zéros (3/3) p=2 pf=10-7 n =10000 Miguel Munoz Zuniga

  48. Annexe : résultats asymptotiques supplémentaires (1/3) Optimum ? Suffisamment grand pour max. d’information Pas trop grand pour marge de manœuvre sur les Notations : converge vers une gaussienne ? Table des matières Miguel Munoz Zuniga

  49. Annexe : résultats asymptotiques supplémentaires (2/3) TCL vectoriel Delta-Méthode Indépendance des Fonction caractéristique Table des matières Miguel Munoz Zuniga

  50. Annexe : résultats asymptotiques supplémentaires (3/3) Delta-Méthode Delta-Méthode Table des matières Miguel Munoz Zuniga

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