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TEOREMAS DE HAGA E A DIVISÃO DE UM SEGMENTO EM n PARTES IGUAIS

DISCIPLINA INTEGRADORA II. TEOREMAS DE HAGA E A DIVISÃO DE UM SEGMENTO EM n PARTES IGUAIS. A ÁRVORE DAS DOBRADURAS E A ÁRVORE BINÁRIA. Você pode dividir o lado do quadrado de papel em 2 partes iguais?. Sim, é fácil!. E em 4?. Também é fácil!. Agora divida em 3. É difícil?.

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TEOREMAS DE HAGA E A DIVISÃO DE UM SEGMENTO EM n PARTES IGUAIS

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Presentation Transcript

  1. DISCIPLINA INTEGRADORA II TEOREMAS DE HAGA E A DIVISÃO DE UM SEGMENTO EM n PARTES IGUAIS A ÁRVORE DAS DOBRADURAS E A ÁRVORE BINÁRIA

  2. Você pode dividir o lado do quadrado de papel em 2 partes iguais? Sim, é fácil!

  3. E em 4? Também é fácil!

  4. Agora divida em 3 ... É difícil? É possível dividir em 3, ou mesmo em um número inteiro qualquer, somente dobrando. Vamos ver agora...

  5. Divisão em 3 partes (trisecção)  1º Teorema de Haga: Dado o quadrado unitário ABCD e P o ponto médio de AB, se T é a intersecção do lado CD com o lado AD, após a dobra que faz coincidir o vértice C com o ponto P, então |DT| = 1/3. B P A A B P E T D C D C

  6. Divisão em 3 partes (trisecção)  2º Teorema de Haga: Dado o quadrado unitário ABCD e P o ponto médio de AB, se S é o ponto onde se encontra o vértice B, após a dobra CP, e T é o ponto onde inicia a dobra que faz coincidir D com S, mantendo o vértice C fixo, então |DT| = 1/3. A P P A B A P S S T T C C C D D D

  7. Divisão em 3 partes (trisecção)  3º Teorema de Haga: Dado o quadrado unitário ABCD e P o ponto médio de AB, consideremos a dobra que leva o ponto P sobre o lado BC, ao mesmo tempo que o vértice C é levado sobre o lado AD. Se T é o ponto do lado AD onde o vértice C se encontra após a dobra, então |DT| = 1/3. P A B A P T D C E D

  8. Divisão em n partes  A seguir...

  9. A B P C D A A B B M M P P C C D D Dado um segmento AP qualquer do lado AD do quadrado unitário ABCD, vamos estabelecer dois tipos de dobras: Paralela e Oblíqua AD = 1 AP = 1/m Paralela: é a que faz juntar o vértice A com o ponto P, mantendo o lado AB paralelo ao lado CD do quadrado. Obtemos assim o ponto M, intersecção da dobra com o lado AD. AM = 1/(2m)

  10. A B P C D N N A A B B P P C C D D Dado um segmento AP qualquer do lado AD do quadrado unitário ABCD, vamos estabelecer dois tipos de dobras: Paralela e Oblíqua AD = 1 AP = 1/m Oblíqua: é a que faz juntar o vértice C com o ponto P, tornando o lado BC oblíquo em relação aos outros. Obtemos assim o ponto N, intersecção do lado BC com o lado AB, após a dobra. BN = 1/(2m-1)

  11. P O PROPOSIÇÃO: A partir de um segmento inicial de medida 1/m, depois de uma dobradura paralela, ele se reduzirá à metade de seu comprimento, passando o segmento derivado a medir 1/(2m); depois de uma dobradura oblíqua, o segmento derivado passará a medir 1/(2m-1). |AM| = 1/(2m) |AP| = 1/m |BN| = 1/(2m-1)

  12. N A B P C D Demonstração de: |AP| = 1/m  |BN| = 1/(2m-1) x y E

  13. 1/14 14 = 2 x 7 P 7 = 2 x 4 – 1 O 4 = 2 x 2 P 2 = 2 x 1 P 1/7 1/4 1/2 1 Ex.: Dividir o lado do quadrado em 14 partes iguais.

  14. TEOREMA: Em um número com representação binária, associando a cada dígito 1 uma dobradura paralela e a cada dígito 0 uma dobradura oblíqua, a seqüência de dobraduras que leva do lado do quadrado a 1/n dele é dada pela seqüência dos dígitos da representação binária do número n-1.

  15. 1 p 1/2 O P 1/3 1/4 O P O P 1/5 1/6 1/7 1/8 O P O P O P O P 1/13 1/14 1/15 1/16 1/11 1/12 1/9 1/10 1/k+1 1/m O P O P 1/2k+2 1/2m 1/2k+1 1/2m-1 A Árvore das Dobraduras

  16. 0 1 1 0 1 2 3 0 1 0 1 5 6 7 4 0 1 0 1 0 1 0 1 8 9 12 13 14 15 10 11 2n-1 k 2n-1 0 0 1 0 1 1 2n+1-1 2n 2k 2k+1 A Árvore Binária

  17. 0 1 1 0 1 2 3 0 1 0 1 5 6 7 4 0 1 0 1 0 1 0 1 12 13 14 15 10 11 8 9 1 P 1/2 O P 1/3 1/4 O P O P 1/5 1/6 1/7 1/8 O P O P O P O P 1/13 1/14 1/15 1/16 1/11 1/12 1/9 1/10 A Árvore Binária Representação binária de n-1 Ex.: (13)10 = (1101)2 A Árvore das Dobraduras Seqüência de dobraduras para obter 1/n Ex.:1/14 => P P O P

  18. Referências: Revista do Professor de Matemática: nº 16 e nº 50 http://www.origami.gr.jp

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