Ayudantía 5: Arboles

1. Ayudantía 5: Arboles Carlos Pulgar R. Mail: carlos.pulgar@alumnos.usm.cl Página Ayudantía: http://capulgar.wordpress.com/

2. Arboles • Describir estructuras con algún tipo de jerarquía • Organizan información • Permiten localizar mas rápidamente la información • En informática se utilizan en distintos ámbitos • Sistema de archivos: estructura de directorios y subdirectorios con forma de árbol • Esquema para el desarrollo de algoritmos

3. Arboles (Concepto) • Estructura jerárquica no lineal • Relaciones padre-hijo entre nodos • Def: • Colección de elementos llamados NODOS, uno de los cuales es la raíz, junto con una relación PADRE-HIJO, que coloca a todos los nodos en una estructura JERARQUICA. • Un Padre puede tener varios Hijos, pero un Hijo solo puede tener UN Padre. • Hay un único camino desde la raíz al nodo

4. Terminología Básica • Raíz: único NODO sin padre. • Nodo interno: tiene al menos un hijo • Nodo hoja (externo): no tiene hijos • Descendiente directo: hijo • Descendientes: hijo, nieto… • Subárbol : árbol formado por un nodo y sus descendientes • Grado de un nodo: numero de descendientes directos • Grado de un árbol: mayor grado de sus nodos • Árbol binario: árbol de grado 2. • Lista: árbol degenerado de grado 1. • Profundidad de un nodo: número de predecesores • Altura de un árbol: profundidad máxima de cualquier nodo (numero máximo de los enlaces de las ramas del árbol) • Rama: camino desde el nodo raíz a una hoja • Nivel: numero de nodos desde la raíz al nodo • Bosque: colección de dos o más árboles.

5. Terminología Básica • Árbol completo: si todo nodo no terminal tiene asociado exactamente el grado del árbol. • Árbol lleno: si esta completo y tiene todas sus hojas en el mismo nivel. • Casi lleno: es cuando el árbol esta lleno hasta el penúltimo nivel y las hojas que están en el ultimo nivel se encuentran lo mas a la izquierda posible. • A. Isomorfos: cuando dos árboles tienen la misma estructura, pero no necesariamente los mismos elementos. • A. Semejantes: son aquellos que poseen los mismos elementos, pero no necesariamente la misma estructura.

6. Árbol Binario • Arbol de grado 2. • Propiedades • n: número de nodos • e: número de nodos hoja • i: número de nodos internos • h: altura del árbol

7. Árbol Binario • Recorrido de un árbol: • InOrden -> ( I , R , D ) • PreOrden -> ( R , I , D ) • PostOrden -> ( I , D , R ) • Ejercicio: • En un árbol general, el recorrido en inorden se puede definir recorriendo el primer hijo en inorden, seguido de la raíz y de los demás hijos en inorden. Indicar los recorridos en preorden, inorden y postorden del siguiente árbol general:

8. Arboles de Búsqueda Binaria (ABB) • Los valores de la izquierda son menores al padre y los de la derecha mayores • Al eliminar sube el mayor de la izquierda, o en algunos casos el menor de la derecha. • Ejercicio: • Genere un ABB al insertar la secuencia de claves enteras: 100, 29, 71, 82, 48, 39, 101, 22, 46, 17, 3, 20, 25, 10. • Altura del árbol? • Hojas? • Recorrido Postorden?

9. AVL • Si para todo nodo, se tiene una diferencia de a lo más 1 en la altura de los subárboles. • Se ocupa el Factor de Equilibrio, para comprobar la definición. • Si 1< F.E. < -1 se aplica rotación. • Si F.E. < -1 rotar derecha. • Si F.E. >1 rotar izquierda. • Si se elimina un nodo con dos hijos, el valor debería ser substituido por el menor de su hijo derecho.

10. Arboles 2-3 • Todas las hojas se encuentran al mismo nivel • Balanceado por altura • Tienen 2 o 3 descendientes • Al agregar se ordenan los 3 datos y sube el del medio. • En la eliminación, los nodos que quedan vacios se fusionan con uno de sus hermanos para formar uno solo.

11. Arboles B • Cada nodo puede tener mas de dos ramas. • División del árbol en subarboles, llamados páginas. • Un árbol B de orden “d” contiene a lo más “2d” claves y “2d+1” punteros. • Camino mas largo: logd(n) nodos, donde d es el orden del árbol. • Borrar: • Caso 1: la clave está en una página hoja • Desplazar a la izquierda el resto de las claves • Caso 2: la clave no está en una página interior • Lo mismo que el ABB • (fusión : izq primero, luego drch) • Ejercicio: • Insertar en un Árbol B los siguientes elementos: 23, 45, 100, 5, 87.

12. Árbol B* (de orden M) • Cada página tiene un máximo de M descendientes. • Todas las páginas, menos la raíz y las hojas, tienen al menos (2M-1)/3 descendientes. • Asegura ocupación >=66,6%

13. Árbol B+ • Formados por: • Índice: nodos interiores • Secuencia: página Hoja enlazadas secuencialmente en las que se repiten las claves interiores. • Cuando una hoja se divide en 2, sube una copia del valor medio y el real queda en la hoja derecha • Orden : n • Altura : h • N° máximo de claves = n^h • N° mínimo de claves = 2(n/2)^(h-1)